MODELOWANIE ZMIENNOŚCI CEN AKCJI MODEL ADDYTYWNY MODEL MULTIPLIKATYWNY

Modele zmienności aktywów z czasem dyskretnym / Model addytywny Przyjmijmy następujące oznaczenia: S(0) - cena początkowa akcji S(k) - cena akcji w k-tym momencie (etapie). u(k) , k= 0,1,2,…n ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowej wartości oczekiwanej μ oraz o tej samej wariancji równej σ2. Będziemy go interpretować jako losowe fluktuacje.

Model addytywny Rozważmy model ceny aktywu postaci (1) S(k+1) = a S(k) + u (k) Gdzie u(k) – losowe fluktuacje, k=0,1,2,... zaś a jest pewną dodatnią liczbą rzeczywistą, decydującą o trendzie głównym. Dla a > 1 trend główny jest wzrostowy.  Znając wartości u(0),...,u(n) można wyznaczyć S(1), S(2), …,S(n).  W tym modelu cena akcji w dowolnym momencie zależy wyłącznie od ceny w momencie go poprzedzającym i od losowej fluktuacji.

Ze wzoru (1) otrzymujemy Model addytywny Ze wzoru (1) otrzymujemy S(1) = aS(0) + u(0) , S(2) = aS(1) + u(1) = a[aS(0) + u(0)] + u(1)= = a2S(0) + au(0) + u(1) S(3) = aS(2)+u(2) = a [a2S(0) + au(0) + u(1)] +u(2)= = a3S(0) + a2u(0) + au(1) + u(2) Uwaga 1. Można pokazać, że dla każdego k: (2) S(k) = akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+a u(k-2) + u(k-1).

Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Model addytywny Rzeczywiście, dla k = 1 wzór jest prawdziwy (z definicji modelu). Zakładając prawdziwość dla k, z ciągu równości : S(k+1) = a S(k) + u (k)= a[akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +… +a u(k-2) + u(k-1)] + u (k)= = ak+1S(0) + aku(0) + ak-1u(1) +…+a2 u(k-2) + au(k-1) + u (k) oraz indukcji matematycznej wynika prawdziwość wzoru (2)

Model addytywny. Wartość oczekiwana Wartość oczekiwana zmiennej S(k). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej oraz z założenia E[u(k)] = μ dla każdego k mamy E[S(k)] = E( akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ au(k-2) + u(k-1))= = akE[S(0)] + ak-1E[u(0)] + ak-2E[u(1)] +…+aE[u(k-2)]+E[u(k-1)] = akS(0) + ak-1 μ + ak-2 μ +…+a μ + μ E[S(k)] = akS(0) + μ(1-ak)/(1-a), o ile a jest różne od 1 albo E[S(k)] = S(0) + k μ, gdy a = 1

Model addytywny. Wariancja ceny Korzystając z podstawowych własności wariancji oraz założenia niezależności zmiennych losowych otrzymujemy Var [S(k)] = Var [akS(0) + ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [ak-1u(0) + ak-2u(1) +…+ u(k-1)] = = Var [ak-1u(0)] + Var[ak-2u(1)] +…+Var[u(k-1)] = = (ak-1)2 Var [u(0)]+ (ak-2)2 Var [u(1)]+…+ a2 Var [u(k-2)] + +Var [u(k)] = = a2(k-1)σ2+ a2(k-2)σ2 +…+a2σ2 +σ2 = = (1+a2+a4+…+a2k-2) σ2 = σ2(1- a2k) / (1- a2), gdy a różne od 1 Var [S(k)] = k σ2, dla a = 1

Model addytywny. Przykład Rozważmy 300 – etapową symulację w modelu addytywnym. Cena początkowa akcji: 100 zł, a =1, fluktuacje w każdym etapie są liczbami losowymi z przedziału (-5 zł, 5 zł).

Model addytywny. Przykład symulacji

Model addytywny. Przykład symulacji

Model addytywny. Przykłady symulacji

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedziału (0;1) o przeciętnej wartości równej 0,5

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz

Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz Jednakowe prawdopodobieństwa wzrostu i spadku. Losowe wahanie z przedz. (0; 2) Histogram częstości

Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1)

Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku Prawdopodobieństwo wzrostu 1,5 raza większe niż spadku. Losowe wahanie z przedziału (0; 1) Wykres oczekiwanej wartości – czerwona prosta

Model addytywny (przypadek a=1) Model addytywny (przypadek a=1). Zmienne losowe u(k) o rozkładzie dwupunktowym S(k+1) = S(k) + u (k) u(k) mają rozkład dwupunktowy, k=0,1,2,...tzn. u(k) = σ lub u(k) = - σ, ( σ > 0 ) z jednakowymi prawdopodobieństwami S(n) = S(0) + u (0) + u (1) +…+ u (n-1) Sn= u (0) + u (1) +…+ u (n-1) S(n) = S(0) + Sn Sn wyraża zmianę ceny po n etapach Wtedy: E[u (i)] = 0 Var [u (i)] = 0,5(σ-0)2 + 0,5(-σ-0)2 = σ2 E[Sn]= 0 Var Sn = Ʃni=1 Var [u (i)] = n σ2 Wzór na wariancję wynika z niezależności ciągu zmiennych losowych (u(i)). Z elementarnych własności wartości oczekiwanej i wariancji otrzymujemy E[S(n)]= S(0) Var S(n) = n σ2 Oznaczając przez σn odchylenie standardowe zmiennej Sn, mamy σn = σ n

Model addytywny. Uwagi Mimo swej prostoty i łatwości stosowania model addytywny nie zawsze nadaje się do stosowania go w rzeczywistości. Zmienne u(k) mogą przyjmować wartości ujemne, co oznacza, że model dopuszcza ujemne wartości cen akcji, co jest niemożliwe. Model ten nadaje się do analizy w krótkich okresach i stał się podstawą do zbudowania wielu innych modeli.

Model multiplikatywny Rozważmy model zmienności cen aktywów w którym „nowa” cena powstaje ze „starej” przez pomnożenie przez pewien losowy czynnik.   S(k+1) = u(k)S(k) dla k = 0, 1, ..., n – 1. Zakładamy, że dana jest cena początkowa S(0) oraz że zmienne losowe u(k), k = 0, 1,... ,n - 1, są dodatnie, mają jednakowe wartości oczekiwane oraz jednakowe wariancje.

Model multiplikatywny Logarytmując (3) stronami: ln S(k+l) = ln S(k) + ln u(k) dla k = 1, 2,..., n - 1. Uwaga. Uzyskana postać jest jedną z form modelu addytywnego - wartości ln S(k) są modelowane addytywnie ze stałą a = 1 Oznaczmy w(k) = ln u(k) Losowe fluktuacje są wyrażone w formie logarytmu naturalnego z u(k). Załóżmy dalej, że ciąg {w(k)} jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach. Niech wartość oczekiwana każdej z nich wynosi μ zaś wariancja σ2.

Model multiplikatywny Korzystając z modelu (3) cena aktywa w chwili k dana jest wzorem S(k) = u(k-1)u(k-2)…u(0)S(0). Po zlogarytmowaniu obu stron

Model multiplikatywny Jeśli wszystkie zmienne w(i) mają tę samą wartość oczekiwaną μ i wariancję σ2 oraz są niezależne, to korzystając z własności wartości oczekiwanej i wariancji sumy niezależnych zmiennych losowych możemy zapisać: E [ln S(k)] = ln S(0) + μk Var [lnS(k)] = k σ2. Łatwo zauważyć, że zarówno wartość oczekiwana jak i wariancja rosną proporcjonalne do k.

Model multiplikatywny, dwumianowy Zakładamy, że w każdym okresie cena akcji może obniżyć się lub wzrosnąć, zawsze w tej samej proporcji, czyli przy czym pierwsza z tych wartości jest przyjmowana z prawdopodobieństwem p a druga z (1-p)

Drzewo cen w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (4 etapy, S – cena początkowa)

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Ze wzoru (3) wynika, że możliwe ceny końcowe muszą mieć postać S u k d n-k, gdzie k = 0,1,…,n. Na drzewie cenowym istnieje różnych dróg prowadzących do węzła identyfikowanego z ceną Sukdn-k , gdyż każda droga jest jednoznacznie scharakteryzowana przez n-wyrazowy ciąg (u,u,d,u,…,d,u), zawierający k liter u oraz (n-k) liter d.

Ceny końcowe w modelu multiplikatywnym dwumianowym, n-etapowym Prawdopodobieństwo każdej takiej drogi – jako koniunkcji zdarzeń niezależnych - wynosi pk (1-p)n-k Zatem prawdopodobieństwo ceny końcowej Sukdn-k wynosi

Przykład modelu multiplikatywnego, dwumianowego

Drzewo cen akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

Ceny akcji w modelu multiplikatywnym, dwumianowym (10 etapów)

Ceny końcowe akcji w modelu 10-etapowym oraz prawdopodobieństwo ich uzyskania

Model dwumianowy Symulacja

Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304 etapów Model dwumianowy. Symulacja ceny dla 304 etapów. Różne prawdopodobieństwa wzrostu i spadku

Oczekiwana wartość ceny w (n+1)- szym kroku S0=100 (cena początkowa) ESn - oczekiwana wartość ceny po n – tym krokach ESn+1= (1,1 ESn ) • 0,6 + (0,9 ESn) • 0,4 = = 1,02 ESn Ciąg (ESn) jest ciągiem geometrycznym o ilorazie 1,02

Model dwumianowy. Symulacja ceny

Model dwumianowy. Rozkład prawdopodobieństwa ceny końcowej dla 304 etapów