TERMO-SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY MODEL MATERIAŁU LIGHTWEIGHT STRUCTURES in CIVIL ENGINEERING INTERNATIONAL SEMINAR of IASS POLISH CHAPTER Organized by Polish Chapter of International Association for Shell and Spatial Structures Warsaw-Częstochowa, 3 December, 2004 Krzysztof Kubicki, Andrzej Służalec TERMO-SPRĘŻYSTO-PLASTYCZNY MODEL MATERIAŁU W ANALIZIE WRAŻLIWOŚCI LEKKICH KONSTRUKCJI

4 Założenia materiały traktowane będą jako jednorodne, izotropowe, spełniające kryterium plastyczności Hubera – Misesa, poszukiwane wielkości fizyczne będą rozważane wyłącznie w sensie ich małych przyrostów, powierzchnia plastyczności nie jest stała, a zmienia się wraz z odkształceniami i temperaturą, nieliniowe zachowanie materiału podczas małych przyrostów obciążenia, wynikające np. z zależności E(T).

Model materiału termo-sprężysto-plastycznego 4 (1) Równanie konstytutywne (2) (3) gdzie (4) a (5)

4 Odkształcenie wywołane zmianą temperatury (6) Ogólną postać warunku plastyczności można wyrazić jako (7) W przypadku płynięcia plastycznego, tj. gdy zachodzi i natomiast dla procesu sprężystego, tj. gdy jest Tensor prędkości odkształceń plastycznych wyprowadza się, postulując jego normalność do powierzchni płynięcia 4 (8)

Wzmocnienie izotropowe Funkcja plastyczności Hubera–Misesa (9) gdzie jest naprężeniem uplastyczniającym jest zakumulowanym, efektywnym odkształceniem plastycznym jest przyrostem efektywnych odkształceń plastycznych

Różniczkując równanie (7) otrzymamy (10) Wykonując przepisane różniczkowanie równania (9) oraz obliczając (11) dostaniemy, po wprowadzeniu do równania (10), zależność (12) Ponieważ w stanie plastycznym F = 0 , więc równanie (12) upraszcza się do postaci

Natomiast z równań (3) i (8) mamy (13) Natomiast z równań (3) i (8) mamy (14) Po podstawieniu równania (14) do (13) otrzymamy ostatecznie (15)

Dla modelu sprężysto-plastycznego ze wzmocnieniem liniowym (16) Po zróżniczkowaniu równania (16), podstawieniu do (15) i wykorzystaniu zależności na otrzymamy (17)

RÓWNANIE PRAC WIRTUALNYCH (22) gdzie są siłami powierzchniowymi, są siłami masowymi.

Równanie prac wirtualnych poddane jest inkrementacji aby ostatecznie otrzymać (23)

Metoda różniczkowania bezpośredniego ANALIZA WRAŻLIWOŚCI Metoda różniczkowania bezpośredniego Do określenia zmiennych projektowania zastosowano podejście objętości kontrolnej. Przy tym podejściu wszystkie pola zmiennych i całki są transformowane do stałego obszaru odniesienia przed obliczeniem poszukiwanej wariacji. Transformację pomiędzy konfiguracją materialną i odniesienia charakteryzuje jakobian transformacji i Rysunek 1 przedstawia transformację konfiguracji materialnych dla zmiennych b1 i b2 na stałą konfigurację odniesienia. To odwzorowanie można zapisać w postaci

Rysunek 1 – Idea metody objętości kontrolnej. Stosując transformację do równania prac wirtualnych (22), przy czym są współrzędnymi w stałym obszarze odniesienia o brzegu , mamy

(24) gdzie a Wprowadzając podejście objętości kontrolnej do metody bezpośredniego różniczkowania, całkowita wariacja wszystkich pól zmiennych jest obliczana przez wariację równań prac wirtualnych i równań konstytutywnych.

Wariacje odkształceń wyniosą (25) (26) (27) gdzie oznaczenia i przedstawiają odpowiednio całkowite, jawne i uwikłane wariacje.

Całkowite wariacje równań konstytutywnych (2) są dane wzorem (28) (29) (30) (31)

Wariacja parametru wzmocnienia z równania (17) wyniesie Wariacja przyrostu odkształceń plastycznych danego w równaniu (8) wynosi (32) Wariacja parametru wzmocnienia z równania (17) wyniesie (33)

Z kolei, aby wyznaczyć  , całkowita wariacja równania prac wirtualnych (22) obliczana jest jako (35) Równanie wrażliwości (35) ma takie same operatory jak przyrostowe równanie prac wirtualnych (23). Lewa strona równania wrażliwości zależy od rozwiązania wariacji i     . Te wielkości muszą być obliczone z równań (32) i (31).

WNIOSKI KOŃCOWE Przedstawione w pracy wyniki mogą znaleźć zastosowanie: - w procesach optymalnego projektowania; - przy analizie wpływu błędów wykonawczych; - przy wpływie zmienności parametrów materiałowych na stan naprężenia i odkształcenia; - w problemach identyfikacji parametrów materiałowych.