Wstęp do Fizyki Środowiska Continuum Opisując zjawiska makroskopowe, takie jak przepływ wody w glebie, nie możemy opisywać poszczególnych porów i ich geometrii, bo już jednym metrze sześciennym mielibyśmy ok. 1018 stopni swobody !! Musimy więc przejść do wartości średnich i traktowania ośrodka porowatego jako continuum. W opisie mikroskopowym każdy punkt ośrodka należy do jednej z faz: stała frakcja gleby, jakaś ciecz lub gaz (zwykle powietrze). Mamy więc 3 funkcje „indykacyjne” Obejmują one olbrzymi zakres skal przestrzennych. Aby uzyskać bardziej użyteczne funkcje opisujące ośrodek dokonujemy uśredniania Wtedy jest makroskopowym ułamkiem objętościowym fazy. Podobnie otrzymujemy makroskopowe średnie dowolnej wielkości : Funkcja wagowa musi spełniać Najczęstszy wybór: 1) funkcja charakterystyczna kuli 2) funkcja Gaussa uśrednia po obszarze o promieniu s Zaletą jest gładkość. Wartości średnie zależą od wyboru W i k. Jeśli jednak zwiększamy W, to dla pewnej wielkości przestają zależeć. Taki obszar nazywamy „representative elementary volume” (REV) Wstęp do Fizyki Środowiska

Wstęp do Fizyki Środowiska REV Gęstość próbki gleby uśredniana po sześcianach maksimum Cała próbka pokryta została sześcianami o boku . Zbadano rozkład gęstości w funkcji długości boku sześcianu. Jak widać szerokość rozkładu szybko maleje z długością boku. Z rysunku można ocenić, że dla tej gleby REV wynosi ok. 17mm. Fluktuacje na skalach powyżej REV uznajemy za makroskopowe. Za wartości punktowe dla continuum przyjmujemy wartości uśrednione po REV. Tę średnia oznaczamy < > Gęstość uśredniona po sześcianie kwartyle średnia wartość w punkcie minimum Rozmiar sześcianu [mm] średnia gęstość skały REV typowa porowatość (ułamek objętościowy porów) ( przyjmujemy za stałe) nasycenie – szczególnie w odniesieniu do cieczy http://ciks.cbt.nist.gov/~garbocz/isotherm/node3.htm Wstęp do Fizyki Środowiska ilość cieczy

Parametry stanu, potencjał Parametry określające stan elementu płynu Do opisu przepływu wygodniejsze są potencjały niż siły. Definiujemy energię potencjalną elementu płynu, jako energie [potrzebna do przeprowadzenia do istniejącego stanu od pewnego stanu referencyjnego Rozważamy najprostszy przypadek izotermicznego przepływu czystego płynu. Jedyny wkład do energii potencjalnej (na jednostkę objętości) pochodzi od grawitacji i różnicy ciśnień. potencjał ciśnienia potencjał grawitacji Do tego się sprowadza potencjał w ośrodku nieściśliwym Wstęp do Fizyki Środowiska

Woda związana i swobodna Rozważmy dwa płyny, wodę i powietrze, w sztywnym ośrodku porowatym, który jest zwilżany przez wodę. Ciśnienie atmosferyczne oznaczmy przez . Wodą związaną nazywamy wodę, w której panuje ciśnienie niższe niż w otaczającym powietrzu. Wodę, w której ciśnienie jest wyższe niż nazywamy wodą swobodną (wolną). Z wodą związaną mamy zwykle do czynienia w glebie dobrze napowietrzonej na dostatecznie dużej wysokości nad zwierciadłem wody gruntowej. Woda gruntowa, to zwykle woda swobodna. Uwaga: Podział na wodę związaną i swobodną utożsamia się często z podziałem na ośrodek nienasycony (strefa aeracji) i ośrodek nasycony (strefa saturacji). Nie jest to ścisłe. Pomiędzy strefami występuje skraj kapilarny gdzie ośrodek jest nasycony, ale woda jest związana. Ujemne ciśnienie Może się więc zdarzyć, że ciśnienie w wodzie będzie ujemne. Przy czym nie chodzi tu o spadek poniżej ciśnienia referencyjnego (np. atmosferycznego), a ujemną wartość ciśnienia bezwzględnego. Doświadczenia pokazują, że ujemne ciśnienie jest możliwe. Jeśli kapilara jest bardzo cienka, to woda może „znieść” naprężenia rozciągające. W większej objętości ujemne ciśnienie powoduje kawitację. W bardzo małych objętościach powstawanie bąbla kawitacyjnego jest utrudnione. Wartość ujemnego ciśnienia można wnioskować z pomiarów odkształcenia ścianek kanału kapilarnego. W wyniku odkształcenia menisk przybiera skomplikowany kształt http://www.chem.ualberta.ca/~microtas/Volume1/004-52.pdf Wstęp do Fizyki Środowiska

Wysokość hydrauliczna, bilans masy W związku z problemem ujemnych ciśnień w definicji potencjału zastępujemy ciśnienie przez „potencjał matrycowy”, który jest ujemny dla płynu związanego, a dodatni dla swobodnego. wody często oznaczamy wody często oznaczamy ; Często wygodnie jest używać potencjału na jednostkę wagi, a nie na jednostkę objętości Wysokość hydrauliczna Wysokość hydrauliczna matrycowa WYSOKOŚĆ HYDRAULICZNA Bilans masy Średnia gęstość wody Średni przepływ Średnia prędkość wody BILANS Bez źródeł Ze źródłami Wstęp do Fizyki Środowiska

Wstęp do Fizyki Środowiska Prawo Darcy Bezwymiarowe r-nie Navier-Stokesa Przepływ zmienia się tak powoli, że uznajemy go za stacjonarny. Przyjmujemy, że Równanie Stokesa Równanie jest liniowe więc jeśli spełnia, to też spełnia Wobec tego gdzie , a jest bezwymiarową funkcją skalarną skala rozmiaru porów R-nie Stokesa jest liniowe więc jest proporcjonalne do ale nie muszą one być równoległe Prawo Darcy tensor drugiego rzędu Wstęp do Fizyki Środowiska TENSOR PRZEPUSZCZALNOŚCI

Henry Philibert Gaspard Darcy Eksperyment Darcy Model ośrodka porowatego 1803 Dijon – 1858 Paris Skonstruował wodociągi miejskie w Dijon 28 km rur pod ciśnieniem grawitacyjnym. W ośrodku izotropowym mamy jeden skalar tensor przewodności hydraulicznej charakteryzuje zarówno matrycę skalną jak płyn więc, np. formację geologiczną (skała - ropa naftowa, skała – woda, itp.) prędkość Darcy’ego Wstęp do Fizyki Środowiska

Wstęp do Fizyki Środowiska Właściwości ośrodka dodaliśmy grawitację Potencjał matrycowy odzwierciedla skok ciśnienia związany z napięciem powierzchniowym. Wobec tego spodziewamy się, że istnieje zależność miedzy ułamkiem objętościowym obszaru nasyconego, i potencjałem matrycowym. Definiujemy pojemność wodną ośrodka; oraz relacje odwrotną: Model gleby jako wiązki kapilar W tym modelu charakterystyki rozkładu promieni kapilar można odtworzyć ze zmierzonej funkcji Wstęp do Fizyki Środowiska

Wstęp do Fizyki Środowiska Zadania W czasie gwałtownego opadu deszczu trwającego 1 godzinę 10 mm wody wsiąkło w piaszczystą glebę Oblicz liczby Strouhala, Froude’a i Reynoldsa mikroskopowego przepływu wody w glebie. Aby oszacować mikroskopową prędkość wody przyjmij, że infiltrująca woda wypełnia 1/3 objętości ośrodka (pozostała część ośrodka to matryca skalna i takie pory, które nie przepuszczają wody, np. zamknięte). Za skalę długości mikroskopowego przepływu przyjmij rozmiar największych porów – 100 mm. Za skalę czasu „wymuszenia” przyjmij t = 103 s Lepkość kinematyczna wody wynosi n = 10-6 m2s-1. Pokaż, że równanie opisujące mikroskopowy przepływ wody z dobrym przybliżeniem sprowadza się do równania Stokesa. Wstęp do Fizyki Środowiska