Na ostatnim wykładzie Działanie procesora, dokonującego operacji na kubitach reprezentują operatory unitarne, opisujące ewolucję czasową układu w okresie tzw. pipulsu, który pozwala na przejście układu pomiędzy stanami bazowymi układu (z prawdopodobieństwem 1).   Wprowadziliśmy pojęcie rejestrów dwukubitowych jako iloczynu kartezjańskiego (tensorowego) dwóch kubitów. Skonstruowaliśmy cztery elementy bazowe rozpinające czterowymiarową przestrzeń Hilberta. Przedyskutowaliśmy działanie najprostszych jednokubitowych bramek logicznych: NOT, bufora, bramki Hadamarda i bramki zmiany fazy.

Na ostatnim wykładzie NOT i Hadamarda. Skonstruowaliśmy operatory działające w tej przestrzeni, znaleźliśmy dwukubitowe bramki kwantowe: NOT i Hadamarda. Wprowadziliśmy bramkę kontrolowanej negacji – CNOT, która w połączeniu z bramkami jednokubitwymi tworzy uniwersalny zbiór bramek logicznych. Wprowadziliśmy pojęcie stanów splątanych i rozkładalnych. Poznaliśmy twierdzenie o nieklonowaniu.

XIII. Podstawowe (najprostsze) algorytmy kwantowe, czyli po co to wszystko? Najprostsze zastosowania: Protokół teleportacji Kodowanie supergęste Rejestry wielokubitowe i wbudowana w komputer kwantowy równoległość obliczeń. Pewne własności bramki Hadamarda. Problem Deutscha- Jozsa.

Najprostsze zastosowania podstawowe pojęcia qubit bramki jednokubitowe bramki dwukubitowe Rejestr dwukubitowy splątanie stanów protokół teleportacji

Najprostsze zastosowania Powróćmy do stanów splątanych (nierozkładalnych) czyli takich, których nie da się zapisać w postaci iloczynów. Można wyróżnić cztery szczególne stany splątane, nazywamy je stanami Bella lub alternatywnie stanami maksymalnie splątanymi. Istnienie stanów splątanych prowadzi do tzw. paradoksu EPR (Einstein, Podolsky, Rosen).

Wyniki pomiaru nie są niezależne. Paradoks EPR Załóżmy, że mamy układ dwóch elektronów w podwójnej studni potencjału, lub w dwóch studniach oddalonych od siebie. Niech każdy z elektronów znajduje się w innej studni (szeroka bariera) a spiny układu elektronów tworzą stan splątany Dokonując pomiaru spinu elektronu w lewej studni, uzyskujemy wynik do góry lub na dół z jednakowym prawdopodobieństwem ½. Podobnie mierząc spin elektronu w prawej studni, spin do góry lub na dół uzyskujemy z prawdopodobieństwem 1/2 Wyniki pomiaru nie są niezależne. Jeżeli w lewej studni uzyskamy wynik spin do góry, to w prawej uzyskamy spin na dół (i odwrotnie), ponieważ spin całkowity jest 0

Naruszona zostanie zasada nie przekraczania prędkości światła. Paradoks EPR Możemy zatem wykonać pomiar w studni lewej a następnie w prawej w odległości czasowej mniejszej niż czas potrzebny na przebieg impulsu światła pomiędzy studniami (odległość pomiędzy studniami może być dowolnie duża). Naruszona zostanie zasada nie przekraczania prędkości światła. Stąd opór ze strony Einsteina. Oficjalnie uważa się, że Einstein nie miał racji, co zostało potwierdzone eksperymentalnie (eksperyment wykonano na polaryzacji par fotonów).

Teleportacja informacji kwantowej. Stany splątane wykorzystamy do teleportacji kwantowej. Definicja: Przez teleportację kwantową rozumieć będziemy przeniesienie na odległość informacji zawartej w kwantowym kubicie. teleportacja ? co to takiego? „A” „B” Komunikują się dwie osoby „A” (Alicja) i „B” (Bob). „A” posiada pojedynczy kubit w stanie i przesyła zawartość tego kubitu do „B”.

Teleportacja informacji kwantowej. Problem byłby łatwy w realizacji gdyby Alicja dysponowała tzw. kanałem kwantowym. Lub odwrotnie. Gdyby to było łatwe, mówilibyśmy, że Alicja dysponuje kanałem kwantowym. Zakładamy jednak, że Alicja może przesłać tylko informację klasyczną czyli dysponuje wyłącznie kanałem klasycznym. Kwantowa natura stanu nie ułatwia nam tego zadania. Nie uda się uzyskać amplitud a i b bez zniszczenia stanu. Nie da się sklonować stanu. Nie da się pomiarem odróżnić niektórych stanów, np.: Przesłanie kubitu pomimo tego ograniczenia nazywamy protokołem teleportacji.

Teleportacja informacji kwantowej. Na czym to polega? Zakładamy, że oprócz klasycznego kanału przekazu informacji obie strony „A” i „B” dysponują dwoma kubitami w stanie splątanym: w którym pierwszy kubit należy do „A”, drugi do „B”. „A” ma przesłać kubit Jak??? 1. „A” składa (lewostronnie) kubit z kubitem splątanym

Teleportacja informacji kwantowej. Pamiętamy, że: „A” dysponuje dwoma lewymi kubitami, „B” prawym kubitem. 2. „A” może zatem na swoim rejestrze wykonać operację C-NOT wykorzystując pierwszy z lewej kubit jako kontrolny, drugi jako docelowy (trzeci pozostaje nie zmieniony):

Teleportacja informacji kwantowej. 3. „A” wykonuje operację Hadamarda na skrajnym lewym kubicie.

Teleportacja informacji kwantowej. Aktualny stan rejestru (przeniesiony z poprzedniego slajdu): Wynik pomiaru stan po pomiarze operacja „B” wynik „B” 00 10 01 11 4. „A” przeprowadza pomiar rzutowy stanu swoich dwóch kubitów Jako wynik otrzymuje jedną z czterech kombinacji (00), (10), (01) lub (11) i kanałem klasycznym wysyła do „B” informację o wyniku pomiaru. 5. W zależności od uzyskanej informacji klasycznej „B” wykonuje na swoim kubicie : operację jednostkową, zmiany fazy, negacji negacji i zmiany fazy. Ostatecznie „B” otrzymuje żądany kubit:

Jest to algorytm tzw. kodowania supergęstego Kodowanie supergęste. Na rejestrach dwukubitowych można zbudować algorytm kwantowy, który jest w pewnym sensie odwróceniem algorytmu teleportacji. Jest to algorytm tzw. kodowania supergęstego Tym razem ”B” dysponuje kanałem kwantowym, natomiast przesyła informację klasyczną. Nowość polega na tym, że: „A” wysyła jeden bit kwantowy a przekazywana informacja odpowiada dwu bitom klasycznym.

„A” ma do wysłania do „B” dwa bity klasyczne b1 i b2. Kodowanie supergęste. Zakładamy, że: „A” ma do wysłania do „B” dwa bity klasyczne b1 i b2. „A” i „B” mają dostęp do stanu splątanego („A” do lewego, „B” do prawego kubitu) 1. W zależności od zawartości bitów (b1,b2) „A” przeprowadza na swoim kubicie stanu splątanego operację zmiany fazy lub (i) negacji. 2. „A” kanałem kwantowym przesyła do „B” swój (lewy) kubit. 3. „B” mający wtedy dostęp do obu kubitów wykonuje na nich operację zdefiniowaną macierzą:

b1,b2 operacja „A” stan po operacji „A” stan po operacji B Kodowanie supergęste. b1,b2 operacja „A” stan po operacji „A” stan po operacji B 0, 0 0, 1 1, 0 1,1 „B” wykonuje obserwację obu kubitów i uzyskuje w wyniku zawartość klasycznych bitów b1 i b2.

Bez prawego kubitu nie da się informacji odszyfrować. Kodowanie supergęste. Do czego to może służyć? Kanałem kwantowym przesyłana jest jedynie zawartość lewego kubitu. Prawy kubit jest cały czas kontrolowany przez „B”. Bez prawego kubitu nie da się informacji odszyfrować. Przekazywana informacja nie może być podsłuchana.

równoległość obliczeń wbudowana w komputer kwantowy Wbudowana w komputer kwantowy równoległość obliczeń. równoległość obliczeń wbudowana w komputer kwantowy Najważniejsza własność komputera kwantowego, decydująca o jego niezwykłych możliwościach. Dla osób zawiedzionych możliwościami teleportacji

Wbudowana w komputer kwantowy równoległość obliczeń. Załóżmy, że w chwili początkowej układ znajduje się w stanie, który jest kombinacją liniową wszystkich stanów bazowych: Dokonujemy na tym stanie operacji U: Widzimy, że operacja została jednocześnie wykonana na wszystkich stanach bazowych. Równolegle!

Wbudowana w komputer kwantowy równoległość obliczeń. Bogactwo informacji zawartych w wyniku operacji kwantowej zależy od liczby stanów bazowych Operacja bramki kwantowej jest wykonywana na wszystkich stanach bazowych jednocześnie (równolegle). Wiele stanów bazowych posiadają rejestry wielokubitowe.

Rejestry wielokubitowe Pojedyncze kubity: 2 , N=2 stany bazowe Rejestr dwu-kubitowy: 4 = 22 , N=4 Rejestr n-kubitowy: N=22......22 N=2n ...................................................................................i td.

Rejestry wielokubitowe Wektory bazowe możemy również przedstawić w postaci macierzy kolumnowych utworzonych z macierzy reprezentacji pojedynczych kubitów: Tak powstała baza dla rejestrów dwukubitowych. Ze stanów: Wygenerowaliśmy:

Rejestry wielokubitowe Dla n=3 uzyskujemy: Wektory bazowe możemy ponumerować kolejnymi liczbami naturalnymi od 0 do 2n-1 określającymi wiersz w którym znajduje się jedynka:

Pewne własności bramki Hadamarda. Pamiętamy, że: Stąd mamy: oraz: Czyli kwadrat operacji Hadamarda stanowi operację jednostkową :

Pewne własności bramki Hadamarda. Znajdźmy wynik działania bramki Hadamarda na stan bazowy rejestru n-kubitowego: Pamiętamy, że dwukubitowa bramka Hadamarda ma postać macierzy: Wykładnik zależy od obu wektorów oraz Nas interesować będzie tylko wykładnik stojący w ostatnim wyrażeniu przy pierwszym wektorze bazowym a on jest parzysty niezależnie od k:

Pierwsze algorytmy kwantowe. Trochę historii Pierwsze algorytmy kwantowe. Problem Deutscha - Jozsa (1992) – odróżnienie funkcji zrównoważonej od stałej Algorytm Shora (1994)– rozkład liczb na czynniki pierwsze – kryptografia Transformata Fouriera (1995) – szybka tr. Fouriera Algorytm Grovera (1995)- problem szukania pewnego elementu w zbiorze N obiektów Algorytm Shora kwantowej korekty błędów (1996)

Problem Deutscha- Jozsa. Do szczegółowego omówienia wybrałem pierwszy historycznie problem, który wykazuje korzyści wynikające z możliwości komputera kwantowego. Jest to problem Deutscha- Jozsa. komputer kwantowy rozwiązuje go w czasie wielomianowo zależnym od n komputer klasyczny w czasie wykładniczo zależnym od n. problem ten jest jednocześnie prosty do realizacji na komputerze kwantowym, ponieważ odpowiedź na postawione pytanie jest zero-jedynkowa (możliwa obserwacja wyniku).

Problem Deutscha- Jozsa. Postawienie problemu: Zakładamy, że mamy funkcję , której argumentem jest wektor Posiadający n składowych a każda z nich przyjmuje dwie możliwe wartości 0 lub 1. Mamy zatem różnych argumntów. Wybieramy pomiędzy dwoma możliwymi rodzajami funkcji: 1. Funkcja może być stała, co oznacza, że dla dowolnej wartości argumentu przyjmuje zawsze wartość 0 albo zawsze wartość 1. 2. Funkcja może być zrównoważona, t.j. taka, że dla połowy argumentów przyjmuje wartość 0 a dla drugiej połowy wartość 1. Mamy rozstrzygnąć, z jaką funkcją mamy do czynienia przy pomocy możliwie małej liczby wezwań funkcji.

Problem Deutscha- Jozsa. Ponieważ mamy 2n różnych wektorów , zbiór argumentów funkcji liczy N=2n elementów. Przy pomocy komputera klasycznego sprawdzenie może wymagać (w najgorszym przypadku) sprawdzenia wartości funkcji dla liczby argumentów większej o 1 od ich połowy. Jeżeli funkcja nie jest stała to wśród wartości funkcji musi pojawić się inna. Gwarancję rozstrzygnięcia daje zatem 2n-1 +1 krotne wezwanie funkcji – zależność wykładnicza. ? Jak poradzi sobie z problemem komputer kwantowy?

Problem Deutscha- Jozsa. Obliczenia prowadzimy na rejestrze kwantowym złożonym z n+1 kubitów. Pierwsza część rejestru zawiera argument funkcji Ostatni kubit rejestru będzie przechowywał informację o wartości funkcji. Zakładamy, że posiadamy układ bramek kwantowych realizujących na tym rejestrze funkcję f. Odpowiednią operację nazwiemy Uf: Gdzie symbol rozumieć będziemy jako dodawanie modulo 1, czyli:

Problem Deutscha- Jozsa. Układ znajduje się początkowo w stanie, w którym wszystkie składowe wektora są równe 0: Na całym rejestrze wykonujemy operację Hadamarda: Na uzyskany stan zadziałajmy teraz operatorem Uf:

Problem Deutscha- Jozsa. Ponownie działamy bramką Hadamarda: Nie znamy wykładnika w ogólnym przypadku. Jednakże znamy amplitudę stojącą przed pierwszym składnikiem sumy: , ponieważ . Otrzymujemy :

Problem Deutscha- Jozsa. Przeanalizujmy uzyskane wyrażenie: Ponieważ funkcja f jest stała lub zrównoważona mamy dwa możliwe wyniki: Dla funkcji stałej wszystkie jej wartości są 1 lub 0. W sumie po k +1, lub –1 wystąpi 2n -krotnie. Suma jest równa 1 lub –1, Gdy funkcja jest zrównoważona, +1 wystąpi w sumie tyle samo razy co –1. Suma da zero. Wartość można poznać w wyniku pojedynczego pomiaru i uzyskać jednoznaczne rozstrzygnięcie problemu.

Zastosowaliśmy stan splątany do kodowania informacji. podsumowanie XIII Przedyskutowaliśmy szczególne własności stanów splątanych. Najciekawszą własnością jest paradoks EPR. Przy pomocy stanu splątanego i kanału klasycznego dokonaliśmy teleportacji kubitu kwantowego. Zastosowaliśmy stan splątany do kodowania informacji. Przedyskutowaliśmy tzw. wbudowaną w komputer kwantowy równoległość obliczeń. Polega ona na jednoczesnemu wykonaniu działania na wszystkich stanach bazowych w przestrzeni stanów rejestru kwantowego. Rejestr n-elementowy ma 2n stanów bazowych.

podsumowanie XIII Poznaliśmy konstrukcję rejestrów wielokubitowych. Wykorzystaliśmy je do przedstawienia algorytmu Deutscha-Joza. Jest to problem, którego klasyczna złożoność jest wykładnicza a kwantowa jest wielomianowa. Istnieją zatem problemy, które niewykonalne w realnym czasie przez komputer klasyczny, mogą być wykonane przez komputer kwantowy. Komputer kwantowy może stać się niezwykle użytecznym narzędziem dla informatyka.