Przegląd teorii elektromagnetyzmu ciąg dalszy Ludwik Antal - Numeryczna analiza pól elektromagnetycznych –W2

przewodzenia przesunięcia Pole prądów zmiennych W tym przypadku pola elektryczne i magnetyczne występują jednocześnie Prawo Faraday’a Gęstość prądu przewodzenia przesunięcia Jm = *M – gęstość prądu „magnetycznego” (V/m2Wb/m2/s Vs/m2/s) * - rezystywność magnetyczna (/m), M - wektor magnetyzacji (A/m).

Ekwiwalentna postać całkowa

Relacje konstytutywne Relacje konstytutywne, określające zależność pól od środowiska Środowisko jest liniowe jeżeli σ,  i μ są niezależne od E i H. Jest jednorodne jeśli σ,  i μ nie są funkcjami zmiennych przestrzennych. Jest izotropowe jeśli σ,  i μ są niezależne od kierunku. W regionach opisanych równaniami Maxwell’a zakłada się, że pola są: jednoznaczne ograniczone ciągłe względem przestrzeni i czasu wraz ze swymi pochodnymi

Równania Maxwell’a uzupełniają dwa inne, podstawowe równania: Siła Lorentz’a Równania Maxwell’a uzupełniają dwa inne, podstawowe równania: równanie siły Lorentz’a gdzie F jest siłą działającą na cząsteczkę z ładunkiem Q poruszającą się z prędkością u w polu elektromagnetycznym, i równanie ciągłości które wyraża zachowawczość (niezniszczalność) ładunku elektrycznego. Równanie ciągłości daje się wywnioskować z równań Maxwella, ale nie jest osobliwością EM. W mechanice płynów gdzie J odpowiada prędkości a r masie, równanie ciągłości wyraża zachowanie masy.

Warunki graniczne Warunki graniczne między środowiskami 1 i 2 o parametrach (σ1, e1, μ1) and (σ2,e2,μ2) mogą być łatwo wyprowadzone z całkowych form równań Maxwell’a. Oznaczmy: an12 – jednostkowy wektor normalny skierowany ze środowiska 1 do 2, indeksy 1 i 2 oznaczają pola w regionach 1 i 2, a indeksy t i n określają składowe styczne i normalne pól.

Oto te równania: Na granicy Z równań wynika, że składowe styczne E i składowe normalne B są ciągłe w poprzek granicy. Składowa styczna H jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości prądu K na granicy. Składowa normalna D jest nieciągła i równa powierzchniowej gęstości ładunku rS na powierzchni granicznej.

Równania Maxwell’a to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go Równania Maxwell’a to sprzężone równania różniczkowe rzędu 1-go. Zagadnienia brzegowe opisane tymi równaniami są trudno rozwiązywalne. Ta trudność jest pokonywana przez rozprzęgnięcie tych równań w równaniu falowym (rzędu drugiego), użytecznego dla rozwiązania problemu. Środowisko liniowe, izotropowe, nieruchome, wolne od źródeł (J = 0, rv = 0). ponieważ J = 0, ponieważ ρv = 0, E = 0 Równanie falowe E

Każdy z wektorów pola ma trzy skalarne składowe: Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz. Równanie falowe H Są to równania ruchu fal EM w środowisku nieprzewodzącym. Prędkość propagacji fal: W próżni u  3108 m/s Każdy z wektorów pola ma trzy skalarne składowe: Ex,Ey,Ez,Hx,Hy,Hz. Każda składowa spełnia skalarne równanie falowe

Ogólne równanie falowe Jeżeli g = 0, to równanie falowe w dielektryku: Jeżeli pominiemy prądy przesunięcia (małe w stosunku do prądu przewodzenia) otrzymamy równanie falowe w przewodniku:

Potencjały skalarne Spełnia równanie Laplace’a Pola bezwirowe i potencjalne Równanie powierzchni ekwipotencjalnej Równania linii sił (  do pow. ekwipot.) Spełnia równanie Laplace’a

Potencjały elektrodynamiczne Potencjały elektrodynamiczne A i V są funkcjami współrzędnych i czasu.

By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać div A warunek Lorentz’a By uniknąć wieloznaczności A należy dobrać div A Dla pól elektromagnetycznych – warunek Lorentz’a:

Równanie d’Alamberta Równanie d’Alamberta

Równanie skalarne d’Alamberta Dla przewodników (pominięte ładunki i prąd przesunięcia): Równanie skalarne d’Alamberta Równanie skalarne d’Alamberta warunek Lorentz’a

W dielektrykach W polach magnetostatycznych i wolnozmiennych warunek:

Potencjały „opóźnione” Rozwiązanie całkowe Potencjały „opóźnione” Gdzie R jest odległością punktu źródłowego od punktu pola, nawiasy kwadratowe oznaczają że rv i J są określone w czasie R()1/2 wcześniejszym niż dla którego A i V są zdeterminowane. sqr()= 3,333·10-9 s

Rozwiązanie równania Poissona Ogólne rozwiązanie równania Poissona ma postać : Rozwiązanie równania Poissona Energię można obliczyć korzystając z potencjału wektorowego.

Energia i potencjał Jeżeli powierzchnia S rozciągnięta do , to całkowanie po S daje w wyniku 0, bo A w ¥ jest równe 0. Ostatecznie

Strumień magnetyczny można obliczyć z zależności: dl ds L S B A B = rotA

Elektryczny potencjał wektorowy Z I-szego prawa Kirchoffa i tożsamości różniczkowej wynika Jednocześnie

Przy m = const div H = 0 bo div B = 0, więc Metoda wprowadzona w roku 1977 przez Carpentera znana jest pod nazwą „T – W” (W  V). Odznacza się dobrą dokładnością w obliczeniach 3D.

Wektor Hertza P Wektor Hertza P Służy do opisu przebiegów falowych wielkiej częstotliwości. Wyznacza się go z równania falowego:

Tensor naprężeń Maxwella Sprowadza objętościowe siły Lorentza do sił powierzchniowych Siła Lorentza Gęstość obj. siły Tn – wektor siły powierzchniowej, rzut tensora Maxwella na normalną do powierzchni ciała. Ogólnie

Elementy tensora Maxwella Składowa dFi siły dF przekazywanej przez element powierzchni dSi wektora dS

Z ogólnego wzoru wynika, że moduł gęstości siły powierzchniowej pola magnetycznego (m = const) Całkowita magnetyczna siła działająca na ciało o objętości V i powierzchni S Całkowity moment sił magnetycznych działający na ciało o objętości V i powierzchni S n – wektor normalny do S skierowany na zewnątrz.

Wyrażenie jest słuszne dla pól magnetostatycznych, nieustalonych i harmonicznych, z tym że dla pól harmonicznych (prądów sinusoidalnych) znaczenie siły i momentu jest inne. W tym ostatnim przypadku siła składa się z części średniej w czasie i części oscylacyjnej, natomiast moment z części średniej w czasie i wartości szczytowej. Podobnie wyrażone są siły i momenty pola elektrostatycznego:

Pola harmoniczne Pola harmoniczne Dotychczas rozpatrywaliśmy przypadek ogólny dowolnej zmienności pola EM w czasie. W wielu praktycznych sytuacjach, szczególnie dla niskich częstotliwości, potrzebne jest rozwiązanie stanu ustalonego pola EM wytwarzanego przez prądy sinusoidalne. Takie pole zwane sinusoidalnym lub harmonicznym zmienia się z pulsacją ω. Dowolnie zależne od czasu pola F(x, y, z, t) lub F(r, t) mogą być wyrażone jako: Gdzie: Fm (r) = Fm(x, y, z) jest fazorową (zespoloną, wykładniczą) postacią F(r, t) – amplitudą zespoloną. ω jest prędkością kątową (rad/s) sinusoidalnego wzbudzenia

Wielkości pola EM w postaci fazorowej mogą być wyrażone jako: Użycie fazorowej postaci pozwala zastąpić różniczkowanie mnożeniem przez jw Równania Maxwell’a dla sinusoidalnego stanu ustalonego: bo ejt upraszcza się

Założenie sinusoidalności skutkuje eliminacją z równań Maxwell’a zależności od czasu. To uproszczenie nie wyklucza bardziej ogólnych pól harmonicznych, gdy rozpatrujemy w jako jeden z elementów pełnego spektrum z wszystkimi składnikami szeregu Fouriera. Innymi słowy pola niesinusoidalne mogą być wyrażone jako: Zastępując różniczkowanie po czasie, mnożeniem jw, uzyskuje się wektorowe równanie falowe dla amplitud zespolonych lub skalarne równanie falowe dla składowych pola. Np. dla dielektryka (v = 0 = J) gdzie k (stała propagacji)

Jeżeli ρV  0  J, równanie falowe przyjmuje ogólniejszą formę i przechodzi w równanie Poisson’a kiedy k = 0 (tzn.  = 0 – pole statyczne), lub w równanie Laplace’a gdy k = 0 = g.

harmoniczne pole magnetyczne Dla harmonicznego pola magnetycznego Ogólne równanie falowe

harmoniczne pole w dielektryku Dla harmonicznego pola magnetycznego w dielektryku harmoniczne pole w dielektryku

harmoniczne pole w przewodniku Dla harmonicznego pola magnetycznego w przewodniku harmoniczne pole w przewodniku

Głębokość wnikania - odległość liczona w głąb przewodnika na jakiej amplituda pola zmniejszy się e razy w stosunku do wartości na powierzchni. Głębokość wnikania Długość fali

Dla miedzi: więc Identyczne równania można wyprowadzić dla Em i Jm

Twierdzenie Poyntinga Moc elektromagnetyczna P wpływająca do zamkniętej przestrzeni o powierzchni A równa jest całce składowej normalnej wektora Poyntinga Sn po całej powierzchni A. Wektor Poyntinga S określa moc i kierunek strumienia mocy EM przechodzącej przez jednostkę powierzchni prostopadłej do kierunku przepływu energii. Twierdzenie Poyntinga jest stosowane do obliczania mocy czynnej, biernej i pozornej dopływającej do badanego obszaru.

Moc może być czynna bierna i pozorna, więc również wektor T może być czynny, bierny i pozorny. Przy sinusoidalnej zmienności składowych pola E i H zespolony wektor S Dla f  50 Hz We  0

Z równań Maxwell’a Z twierdzenia Greena

Moc dostarczona na zwiększenie energii magnetycznej i elektrycznej Straty mocy od prądów wirowych Moc związana z pracą mechaniczną dostarczoną ładunkom swobodnym.