Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

PRAWA DZIAŁAŃ NA ZBIORACH -4 10 4 11 8

Już wiemy, że na zbiorach – a konkretnie na ich elementach można wykonywać różne działania. Działania te zapiszemy w postaci praw matematycznych, a niektóre z nich udowodnimy. PODSTAWOWE WŁASNOŚCI DOTYCZĄCE ZBIORÓW: A ∩ ∅ = ∅ A ∪ ∅ = A A ∪ A = A A ∩ A = A

PRAWA DZIAŁAŃ: (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’ I prawo de Morgana dla zbiorów: „Dopełnienie sumy dwóch zbiorów A i B jest iloczynem dopełnień tych zbiorów” (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (2) II prawo de Morgana dla zbiorów: „Dopełnienie iloczynu dwóch zbiorów A i B jest sumą dopełnień tych zbiorów” (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’

(3) przemienność sumy zbiorów A i B: A ∪ B = B ∪ A (4) łączność sumy zbiorów: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (5) przemienność iloczynu zbiorów A i B: A ∩ B = B ∩ A

(6) łączność iloczynu zbiorów : (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) (7) rozdzielność iloczynu zbiorów względem ich sumy: A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (8) rozdzielność sumy zbiorów względem ich iloczynu: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

Przeprowadźmy dowód wybranych praw: (1) Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy: x ∈ (A ∪ B)’ ⇔ ∽[x ∈ (A ∪ B)] ⇔ ∽[x ∈ A ∨ x ∈ B] ⇔ [∽(x ∈ A)] ∧ [∽(x ∈ B)] ⇔ x ∈ A’ ∧ x ∈ B’ ⇔ x ∈ A’ ∩ B’ (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (3) Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy: x ∈ (A ∪ B) ⇔ x ∈ A ∨ x ∈ B ⇔ x ∈ B ∨ x ∈ A ⇔ x ∈ (B ∪ A) A ∪ B = B ∪ A

(6) Weźmy dowolny element x ∈ R; wtedy: x ∈ [(A ∩ B) ∩ C] ⇔ x ∈ (A ∩ B) ∧ x ∈ C ⇔ [x ∈ A ∧ x ∈ B] ∧ x ∈ C ⇔ x ∈ A ∧ [x ∈ B ∧ x ∈ C] ⇔ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∩ C) ⇔ x ∈ [A ∩ (B ∩ C)] Pozostałe prawa spróbuj sam udowodnić. [(A ∩ B)∩ C] = [A ∩ (B ∩ C)]

Zadanie 1. Zapisz matematycznie zbiory i wypisz elementy należące do niego. A – zbiór liczb całkowitych, których wartość bezwzględna jest mniejsza od 4. B – zbiór liczb naturalnych, których kwadrat jest niewiększy od 30. C – zbiór liczb naturalnych, których liczba 4 jest dzielnikiem. ROZWIĄZANIE: A = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 } B = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 } C = { 4, 8, 12, 16, ……}

Zadanie 2. W klasie I jest 40 osób, wśród których: 14 osób lubi matematykę, 6 osób lubi matematykę i język polski, 7 osób lubi język polski i język obcy, 2 osoby – wszystkie trzy przedmioty, 21 osób język polski, reszta tylko język obcy. Narysuj i uzupełnij graf i odpowiedz: a) ile osób lubi tylko język obcy, b) ile osób lubi dokładnie jeden przedmiot, c) ile osób nie lubi języka obcego, d) ile osób lubi dokładnie dwa przedmioty.

10 ROZWIĄZANIE: Zbiory podpiszmy nazwami przedmiotów. Z grafu odczytamy rozwiązania i zapiszemy ilość uczniów: a) 11 b) 29 c) 22 d) 9 język polski matematyka 4 2 8 5 11 język obcy

Zadanie 3. Narysuj i uzupełnij graf jeżeli: X = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 }; Y = { 1, 2, 3, 6, 7, 8 }; Z = { 1, 2, 5, 6 } X ∩ Y ∩ Z = { 1, 2 } X ∩ Y = { 1, 2, 3 } X ∩ Z = { 1, 2 } Y ∩ Z = { 1, 2, 6 } ROZWIĄZANIE przedstawione będzie na grafie. (zaczynamy od uzupełnienia części wspólnej trzech zbiorów, potem części wspólnej dwóch zbiorów, a na końcu uzupełniamy zbiory: X, Y i Z)

Y X 9 10 7 8 3 1 2 6 5 Z

Zadanie 4. Wiedząc, że: A = { 1, 2, 3, 4, 9, 10 } B = { 1, 2, 3, 6, 7 } C = { 1, 2, 5, 6 } wyznacz: (A ∩ B) \ C (A ∪ B) \ C A \ (B ∩ C) A \ B (A \ B) ∩ C B \ (C ∪ A) ROZWIĄZANIE: (A ∩ B) \ C = { 1, 2, 3 } \ C = { 3 } (A ∪ B) \ C = { 1, 2, 3, 4, 6, 7, 9, 10 } \ C = { 3, 4, 7, 9, 10 } A \ (B ∩ C) = A \ { 1, 2, 6 } = { 3, 4, 9, 10 } A \ B = { 4, 9, 10 } (A \ B) ∩ C = { 4, 9, 10 } ∩ C = ∅ B \ (C ∪ A) = B \ { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10 } = { 7 }

Zadanie 5. Ze słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i spółgłoski Zadanie 5. Ze słów: „Zbiory liczbowe” wybierz samogłoski i spółgłoski. Wypisz elementy należące do zbiorów: A – zbiór samogłosek B – zbiór spółgłosek Wyznacz zbiory: A \ B ; B \ A; A ∩ B; A ∪ B ROZWIĄZANIE: wypiszmy najpierw elementy zbioru A i B. A = { e, i, o, y } B = { b, c, l, r, w, z } A \ B = { e, i, o, y } = A B \ A = { b, c, l, r, w, z } = B A ∩ B = ∅ A ∪ B = { b, c, e, i, l, o, r, w, y, z }

Zadanie 6. Co będzie częścią wspólną zbiorów A i B jeżeli: A – zbiór czerwonych bluzeczek B – zbiór czerwonych spódniczek ROZWIĄZANIE: Częścią wspólną tych zbiorów będzie zbiór pusty. A ∩ B = ∅. Zadanie 7. Dane są zbiory: A – zbiór czworokątów B – zbiór kwadratów C – zbiór trójkątów równobocznych D – zbiór prostokątów E – zbiór trójkątów X – zbiór figur płaskich

X E C A D B Narysuj zbiory, podzbiory do treści zadania. Wyznacz zbiory: A’, E’, A ∩ E, A\ E, D ∩ A, A ∩ B, E ∩ C X E C A D ROZWIĄZANIE A’ = E E’ = A A ∩ E = ∅ A \ E = A D ∩ A = D A ∩ B = B E ∩ C = C B