Dane informacyjne Nazwa szkoły: Zespół Szkół Technicznych w Kole ID grupy: 97/78_MF_G1 Opiekun: Małgorzata Gralak Kompetencja: matematyczno-fizyczna Temat projektowy: Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa Semestr/rok szkolny: semestr piąty / 2011/2012

Kombinatoryka w rachunku prawdopodobieństwa

Plan prezentacji Cele projektu Kombinatoryka permutacje wariacje kombinacje Rachunek prawdopodobieństwa prawdopodobieństwo klasyczne własności prawdopodobieństwa drzewo prawdopodobieństwa Zadania różne

Cele projektu Poznanie definicji głównych pojęć kombinatorycznych wraz ze wzorami do ich obliczania oraz przykładami ich stosowania Opracowanie zestawu zadań ilustrujących metody kombinatoryczne oraz zastosowanie metod kombinatorycznych w różnych sytuacjach w rachunku prawdopodobieństwa

Kombinatoryka

Kombinatoryka Kombinatoryką nazywamy dział matematyki zajmujący się zbiorami skończonymi oraz odwzorowaniami między nimi. Kombinatoryka jest sztuką liczenia - zajmuje się wyznaczaniem liczby elementów zbiorów skończonych utworzonych zgodnie z określonymi zasadami.

Kombinatoryka c.d. Kombinatoryka powstała dzięki grom hazardowym, a swój rozwój zawdzięcza głównie rachunkowi prawdopodobieństwa, gdzie znajduje szerokie zastosowanie przy wyznaczaniu ilości zdarzeń elementarnych.

Symbol silnia Przykłady Dla n > 1 symbol n! (n silnia) oznacza iloczyn kolejnych liczb naturalnych od 1 do n: n! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ . . . ∙ n Przyjmujemy również, że 0! = 1 i 1! = 1. Przykłady 2! = 1 ∙ 2 = 2 3! = 1 ∙ 2 ∙ 3 = 6 4! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24 5! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120 6! = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 = 720

Permutacje Przykład 1 Rozwiązanie Permutacją n -elementowego zbioru A nazywamy każdy n -wyrazowy ciąg utworzony ze wszystkich elementów tego zbioru. Wszystkich permutacji zbioru n-elementowego jest Pn = n! Przykład 1 Podaj wszystkie permutacje zbioru A = {a, b, c}. Rozwiązanie {a, b, c}, {a, c, b}, {b, a, c}, {b, c, a}, {c, a, b}, {c, b, a}. Jest ich P3 = 3! = 6.

Przykład 2 W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Jeżeli wyjmiemy z urny wszystkie kule i ułożymy je w rzędzie, to otrzymamy ich permutację.

Permutacje z powtórzeniami Permutacją z powtórzeniami zbioru n-elementowego, nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy utworzony z elementów tego zbioru, wśród których pewne elementy się powtarzają. Przykład 1 Jeżeli spośród elementów: a, b i c, element a weźmiemy dwa razy, element b jeden raz i element c jeden raz, możemy utworzyć następujące permutacje z powtórzeniami. {a, a, b, c}, {a, a, c, b},{a, b, a, c}, {a, b, c, a}, {a, c, a, b}, {a, c, b, a}, {b, a, a, c}, {b, a, c, a}, {b, c, a, a}, {c, a, a, b}, {c, a, b, a}, {c, b, a, a}.

Wariacje bez powtórzeń Każdy k-wyrazowy ciąg utworzony z różnych elementów n- elementowego zbioru A, gdzie k ≤ n, nazywamy k- elementową wariacją bez powtórzeń zbioru A. Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru n-elementowego jest równa:

Przykład 1 W urnie mamy kule ponumerowane od 1 do 5. 2) Wybraliśmy z urny 3 kule, które ułożyliśmy w pewnej kolejności. Tak ułożone kule są wariacją zbioru kul. 3) Gdy zmienimy kolejność wybranych kul, to otrzymamy kolejna wariację tego zbioru.

Przykład 2 Pewien kod tworzymy z trzech liter wybranych spośród następujących: A, B, C, D, E, F, G, H, przy czym litery nie mogą się powtarzać. Ile jest takich kodów? Rozwiązanie

Wariacje z powtórzeniami Każdy k-wyrazowy ciąg, w którym wyrazy mogą się powtarzać, utworzony z elementów zbioru A, nazywamy k-elementową wariacją z powtórzeniami zbioru A. Ze zbioru n-elementowego można utworzyć różnych k-elementowych wariacji z powtórzeniami.

Przykład 1 Z urny, gdzie znajduje się pięć ponumerowanych kul losujemy kolejno 3 kule ze zwracaniem. Po każdym losowaniu zapisujemy wyniki, w kolejności losowania.

Losowanie 1 Losowanie 2 W pierwszym losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 5. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny. W drugim losowaniu wybraliśmy kulę z numerem 4. Zapisujemy wynik, a kulę zwracamy do urny.

Losowanie 3 W trzecim losowaniu, ponownie wybraliśmy kulę z numerem 4. Tak jak poprzednio zapisujemy jom jako wynik losowania Otrzymaliśmy trzyelementową wariację z powtórzeniami

Przykład 2 Ze schroniska na szczyt pewnej góry prowadzą 4 szlaki, którymi można wchodzić i schodzić. Na ile sposobów można przebyć trasę schronisko – szczyt – schronisko, jeśli: a)możemy wracać tym samym szlakiem, b)nie możemy wracać tym samym szlakiem?

Rozwiązanie a) b)

Kombinacje Przykład Rozwiązanie Każdy k-elementowy podzbiór zbioru n-elementowego A (k ≤n ) nazywamy k-elementową kombinacją tego zbioru. Przykład Podaj wszystkie 2 -elementowe kombinacje zbioru A = {a,b,c,d}. Rozwiązanie {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}

Kombinacje c.d. Liczba wszystkich k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego (k ≤ n) jest równa: Liczbę k-elementowych kombinacji zbioru n-elementowego oznacza się również symbolem (czytaj: n nad k), zwanym symbolem Newtona.

Dowód Każde k wybranych elementów można ustawić w ciąg na k! sposobów. Każdy taki ciąg jest k-elementową wariacją bez powtórzeń. Zatem: czyli skąd otrzymujemy:

Przykład 1 Ile trójkątów można utworzyć, łącząc trzy punkty wybrane spośród rozmieszczonych na okręgu punktów: P1, P2, . . . , P10? Rozwiązanie Takich trójkątów jest tyle ile kombinacji

Zestawienie wzorów Wzór Opis Kolejność elementów Liczba permutacji zbioru n-elementowego istotna Liczba k-elementowych wariacji bez powtórzeń zbioru Liczba k-elementowych wariacji z powtórzeniami zbioru Liczba k-elementowych kombinacji zbioru nieistotna

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa to dział matematyki zajmujący się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. A doświadczenie jest losowe, jeżeli można je wielokrotnie powtarzać w tych samych warunkach i wyniku doświadczenia nie potrafimy z góry przewidzieć. Przykładem takich doświadczeń jest rzut monetą, rzut kostką do gry, losowanie karty z talii kart, itp.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych Poszczególne wyniki doświadczenia losowego nazywamy zdarzeniami elementarnymi, a ich zbiór – przestrzenią zdarzeń elementarnych lub krótko przestrzenią, którą oznaczamy literą omega – Ω. Przykład Przestrzeń zdarzeń elementarnych: rzutu kostką: Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6} rzutu najpierw monetą, a następnie kostką: Ω = {(r, 1), (r, 2), (r, 3), (r, 4), (r, 5), (r, 6), (o, 1), (o, 2), (o, 3), (o, 4), (o, 5), (o, 6)}

Zdarzenia losowe Zdarzeniem losowym nazywamy dowolny podzbiór przestrzeni zdarzeń elementarnych Ω. Mówimy, że zdarzenia A i B są rozłączne lub wykluczają się, jeśli część wspólna tych zdarzeń jest zdarzeniem niemożliwym . Zdarzenie nazywamy zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia .

Prawdopodobieństwo klasyczne Jeżeli Ω jest zbiorem skończonym i niepustym, to prawdopodobieństwem zdarzenia nazywamy liczbę: gdzie |A| oznacza liczbę elementów zbioru A.

Przykład 1 Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania sumy oczek większej od 10 przy dwukrotnym rzucie symetryczną kostką?

Rozwiązanie Przestrzeń zdarzeń elementarnych ma 36 elementów: Ω= {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)} Zdarzenie, którego prawdopodobieństwo chcemy obliczyć, ma 3 elementy: A = {(5, 6), (6,5), (6,6)}. Zatem:

Własności prawdopodobieństwa Niech Ω będzie zbiorem zdarzeń elementarnych, a P prawdopodobieństwem określonym na zdarzeniach . Wówczas: 1. 2. 3. Jeśli 4.

Przykład 1 Rozwiązanie Student zna odpowiedź na 8 spośród 20 pytań egzaminacyjnych. Na egzamin losuje 3 pytania i musi odpowiedzieć na co najmniej 1 z nich, żeby zdać egzamin. Jakie jest prawdopodobieństwo zdania egzaminu? Rozwiązanie Wynikiem doświadczenia są 3 pytania wylosowane spośród 20. Zatem:

Niech: A - oznacza zdarzenie polegające na tym, że student wylosował 3 pytania, wśród których było przynajmniej 1 spośród 8, na które potrafi odpowiedzieć A’ – oznacza zdarzenie przeciwne do zdarzenia A - polegające na wylosowaniu 3 pytań spośród 12, na które student nie zna odpowiedzi Zatem: Stąd:

Przykład 2 Z liczb od 1 do 20 losowo wybieramy jedną liczbę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na wylosowaniu liczby podzielnej prze 2, a B – podzielnej przez 3. Uzupełnij diagram. Oblicz: Sprawdź, czy: A B 6 12 18 2 6 11 Ω

Rozwiązanie b) , , , c) a) 2 6 12 18 Ω 11 B A 19 17 4 14 16 20 10 8 3 5 1 13 7

Drzewo prawdopodobieństwa Gdy doświadczenie losowe jest wieloetapowe można się wówczas przy obliczaniu prawdopodobieństwa posłużyć grafem, tak zwanym drzewem stochastycznym (probabilistycznym, prawdopodobieństwa). Krawędzie tego grafu odpowiadają zdarzeniom losowym, a wierzchołki poszczególnym etapom. Przy krawędziach zapisuje się prawdopodobieństwa poszczególnych zdarzeń, których suma na krawędziach wchodzących w skład jednego wierzchołka jest równa 1.

Drzewo prawdopodobieństwa c.d. Prawdopodobieństwo zdarzenia reprezentowanego przez daną gałąź drzewa jest równe iloczynowi prawdopodobieństw przyporządkowanym krawędziom , z których składa się dana gałąź (reguła iloczynów). Natomiast prawdopodobieństwo danego zdarzenia losowego opisanego przez kilka gałęzi drzewa jest równa sumie prawdopodobieństw tych gałęzi (reguła sum).

Przykład 1 Z pudełka, w którym jest 6 cukierków czekoladowych i 4 krówki losujemy kolejno bez zwracania 2 cukierki. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania 2 krówek 2 cukierków o różnych smakach? Rozwiązanie Niech: C - oznacza wylosowanie cukierka czekoladowego, K - krówki. Mamy tu dwa etapy: I - losujemy jednego cukierka, II -losujemy drugiego cukierka. Ponieważ nie zwracamy cukierków do pudełka po wylosowaniu mamy następujące drzewo stochastyczne:

Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa Jak obliczono poszczególne prawdopodobieństwa? W pudełku mamy 10 cukierków: 6 czekoladowych i 4 krówki. Prawdopodobieństwo wylosowania cukierka czekoladowego za pierwszym razem wynosi 6/10, natomiast krówki 4/10. Po pierwszym losowaniu zostaje 9 cukierków. A ile jest wśród nich krówek i czekoladowych? To zależy od tego, czy za pierwszym razem wylosowano krówkę, czy cukierka czekoladowego, stąd 4 różne przypadki. a) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania dwóch krówek (zdarzenie A). Zobaczmy na nasze drzewko i zastosujmy regułę iloczynów:  

  b) Mamy obliczyć prawdopodobieństwo wylosowania cukierków o różnych smakach (zdarzenie B). Zobaczmy na nasze drzewko. Dwie gałęzie odpowiadają naszemu zdarzeniu. Obliczamy prawdopodobieństwo każdej z gałęzi i potem stosujemy regułę sum:

Zadania różne

Zadanie 1 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „szóstki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

Zadanie 2 Jakie jest prawdopodobieństwo trafienia „piątki” w losowaniu sześciu liczb spośród 49, jeśli kupujemy jeden zakład? Rozwiązanie:

Zadanie 3 Rzucając czworościenną symetryczną kostką, możemy otrzymać jedną z liczb 1,2,3 lub 4 (liczba przy wierzchołku). Gracz rzucający dwukrotnie taką kostką, jeśli suma wyrzuconych oczek jest większa od 5. Oblicz prawdopodobieństwo wygranej. Rozwiązanie: 1 2 3 4 5 6 7 8 I II

Zadanie 4 P P Wpuszczony do labiryntu szczur, dochodząc do rozwidlenia dróg, dwa razy częściej skręca w lewo niż w prawo. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu(oznaczonego na rysunku literą P) Wejście

Rozwiązanie Wejście P

b) Inny szczur wpuszczony do tego samego labiryntu, dochodząc do rozwidlenia dróg, skręca w prawo w x% przypadków. Oblicz x, jeśli prawdopodobieństwo tego, że dotrze do pokarmu, jest równe Wejście P

Rozwiązanie Wejście P

Zadanie 5 Z talii 52 kart losujemy 3 karty. Ile jest możliwych wyników losowań, tak aby wśród wylosowanych były co najwyżej 2 piki. Rozwiązanie Możliwości wylosowania 3 kart spełniających warunki: losujemy 2 spośród 13 (piki) oraz losujemy 1 spośród 39 (pozostałe), lub losujemy 1 spośród 13 oraz losujemy 2 spośród 39 (pik + dwie jakieś), lub nie mamy żadnych pików oraz losujemy 3 spośród 39 (co spełnia warunek 'nie więcej niż 2 piki').

Zadanie 6 Ile liczb 6-cyfrowych można utworzyć z cyfr 0, 1, 2, 3, 4 i 5, tak aby liczba ta była podzielna przez 25? Rozwiązanie Liczba jest podzielna przez 25 jeśli kończy się cyframi: 00, 25, 50 lub 75. Tylko dwie z nich możemy uzyskać w tym zadaniu: 25 i 50. Rozpatrzmy je oddzielnie.

Liczba z końcówką 25: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 3 cyfr (bez 2, 5, 0), następną spośród 3 cyfr (bez 2, 5 i bez pierwszej), potem spośród 2 cyfr oraz 1 następną, po której następuje końcówka 25. Liczba z końcówką 50: pierwszą cyfrę wybieramy spośród 4 cyfr (bez 0, 5), drugą spośród 3 pozostałych, następną spośród 2 oraz 1 ostatnią, przed końcówką 50. Wynik:

Zadanie 7 W urnie jest 20 kul, w tym 6 czarnych. Na ile sposobów można wybrać 3 kule, tak aby były wśród nich przynajmniej 2 czarne? Rozwiązanie Zacznijmy od tego, jakie kule mogą nam się trafić, aby spełnione były warunki zadania. Są 2 przypadki, rozpatrzymy je oddzielnie (i zsumujemy wyniki): 1) 2 czarne oraz inna kula 2) 3 czarne kule

Przypadek 1) Wybieramy 2 czarne kule spośród zbioru 6 kul czarnych oraz 1 kulę innego koloru spośród 14 pozostałych: Przypadek 2) Wybieramy 3 kule spośród 6 czarnych kul: Razem mamy 20 + 210 = 230 sposobów.

Zadanie 8 W urnie są 2 kule białe i 4 czarne. Losujemy 2 kule bez zwracania. Co jest bardziej prawdopodobne, wyciągnięcie kul tego samego koloru; różnych kolorów ? Rozwiązanie Rozrysujmy drzewko. Kolorem czerwonym oznaczone są kule tego samego koloru P(A), kolorem niebieskim różnego koloru P(B).

Źródła W. Babiański, L. Chańko, J. Czarnowska, J. Wesołowska, Matematyka, Nowa Era, Warszawa 2004 http://www.edukator.pl http:// www.math.edu.pl http:// www.matmana6.pl http:// www.blog.magamatma.pl http:// www.leniwiec.pl http:// www.infotuba.pl http:// pl.wikibooks.org http:// www.blogi.szkolazklasa.pl http:// www.matematyka.pl