Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

ROZKŁAD WIELOMIANU NA CZYNNIKI

METODY ROZKŁADU WIELOMIANU NA CZYNNIKI: Wyłączanie wspólnego czynnika przed nawias: a) w(x)=x3+6x2 w(x)=x2(x+6) czynniki: x2; x+6 b) w(x)=4x3-6x2 w(x)=2x2(2x-3) czynniki: 2; x2; 2x-3 c) w(x)=x6+4x4 w(x)=x4(x2+4) czynniki: x4; x2+4 d) w(x)=x3+x2+5x w(x)=x(x2+x+5) czynniki: x; x2+x+5

II. Wykorzystanie wzorów skróconego mnożenia: a) w(x)=x3-9x w(x)=x(x2-9) w(x)=x(x-3)(x+3) b) w(x)=x4-36x2 w(x)=x2(x2-36) w(x)=x2(x-6)(x+6) c) w(x)=x6-1 w(x)=(x3)2-12 w(x)=(x3-1)(x3+1) w(x)=(x-1)(x2+x+1)(x3+1)=(x-1)(x2+x+1)(x+1)(x2-x+1) d) w(x)=x3+8 w(x)=x3+23 w(x)=(x+2)(x2-2x+4)

III. Wykorzystanie wzorów na deltę i postać iloczynową funkcji kwadratowej: a) w(x)=x3+6x2+5x w(x)=x(x2+6x+5) a=1 b=6 c=5 =36-20=16 delta jest większa od zera, x1=-5 x2=-1 wykorzystujemy wzór na postać iloczynową: y=a(x-x1)(x-x2) x2+6x+5=(x+5)(x+1) w(x)=x(x+5)(x+1) b) w(x)=2x3-8x2+8x w(x)=2x(x2-4x+4) a=1 b=-4 c=4 =16-16=0 delta jest równa zero, wtedy x0=2 wykorzystujemy wzór na postać iloczynową: y=a(x-x0)(x-x0) w(x)=2x(x-2)2 y=a(x-x0)2

c) w(x)=-3x3-6x2-15x w(x)=-3x(x2+2x+5) d) w(x)=2x3-6x2-8x a=1 b=2 c=5 =4-20=-16  < 0 - brak rozkładu na czynniki d) w(x)=2x3-6x2-8x w(x)=2x(x2-3x-4) a=1 b=-3 c=-4 =9+16=25 x1=-1 x2=4 y=a(x-x1)(x-x2) x2-3x-4=(x+1)(x-4) w(x)=2x(x+1)(x-4)

IV. Wykorzystanie metody grupowania wyrazów: a) w(x)=x3-2x2-9x+18 - grupujemy po dwa wyrazy w(x)=(x3-2x2)+(-9x+18) w(x)=x2(x-2)+(-9)(x-2) w(x)=(x-2)(x2-9) w(x)=(x-2)(x-3)(x+3) b) w(x)=4x3-4x2-x+1 w(x)=(4x3-4x2)+(-x+1) w(x)=4x2(x-1)+(-1)(x-1) w(x)=(x-1)(4x2-1) w(x)=(x-1)(2x-1)(2x+1) c) w(x)=x3-x2-4x+4 w(x)=(x3-x2)+(-4x+4) w(x)=x2(x-1)+(-4)(x-1) w(x)=(x-1)(x2-4) w(x)=(x-1)(x-2)(x+2)

Zadanie: Wykorzystując odpowiednią metodę rozłóż na czynniki wielomiany: a) w(x)=x4+5x3+8x+40 w(x)=(x4+5x3)+(8x+40) w(x)=x3(x+5)+8(x+5) w(x)=(x+5)(x3+8) w(x)=(x+5)(x+2)(x2-2x+4) a=1 b=-2 c=4 =4-16=-12  < 0 - brak rozkładu na czynniki w(x)=(x+5)(x+2)(x2-2x+4) b) w(x)=x6+5x4 w(x)=x4(x2+5) a=1 b=0 c=5 =0-20=-20  < 0 - brak rozkładu na czynniki

c) w(x)=x3+5x2+4x w(x)=x(x2+5x+4) w(x)=x(x+4)(x+1) a=1 b=5 c=4 =25-16=9 x1=-4 x2=-1 wykorzystujemy wzór na postać iloczynową: y=a(x-x1)(x-x2) x2+5x+4=(x+4)(x+1) w(x)=x(x+4)(x+1) d) w(x)=x3+3x2+6x+18 w(x)=(x3+3x2)+(6x+18) w(x)=x2(x+3)+6(x+3) w(x)=(x+3)(x2+6) a=1 b=0 c=6 =0-24=-24  < 0 - brak rozkładu na czynniki

w(x)=x(x2-9) wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia w(x)=x(x+3)(x-3) e) w(x)=-2x4-10x3-8x2 w(x)=-2x2(x2+5x+4) a=1 b=5 c=4 =25-16=9 x1=-4 x2=-1 wykorzystujemy wzór na postać iloczynową: y=a(x-x1)(x-x2) x2+5x+4=(x+4)(x+1) w(x)=-2x2(x+4)(x+1) f) w(x)=x3-9x w(x)=x(x2-9) wykorzystujemy wzory skróconego mnożenia w(x)=x(x+3)(x-3)

g) w(x)=x4-16 w(x)=(x2)2-42 w(x)=(x2-4)(x2+4) w(x)=(x-2)(x+2)(x2+4) a=1 b=0 c=4 =0-16=-16  < 0 - brak rozkładu na czynniki h) w(x)=-4x3-12x2+x+3 w(x)=(-4x3-12x2)+(x+3) w(x)=-4x2(x+3)+1(x+3) w(x)=(x+3)(-4x2+1) w(x)=(x+3)(1-4x2) w(x)=(x+3)(1-2x)(1+2x)

i) w(x)=x4-6x3+9x2 w(x)=x2(x2-6x+9) w(x)=x2(x-3)2 a=1 b=-6 c=9 =36-36=0 x0=3 wykorzystujemy wzór na postać iloczynową: y=a(x-x0)2 x2-6x+9=(x-3)2 w(x)=x2(x-3)2 j) w(x)=x5+3x4+x3+3x2 w(x)=x2(x3+3x2+x+3) w(x)=x2[(x3+3x2)+(x+3)] w(x)=x2[x2(x+3)+1(x+3)] w(x)=x2(x+3)(x2+1) a=1 b=0 c=1 =0-4=-4  < 0 - brak rozkładu na czynniki

w(x)=5x(x-1)(x+1)+(-1)(x-1) w(x)=[5x(x+1)-1](x-1) w(x)=[5x2+5x-1](x-1) k) w(x)=2x4+x3+3x2+x+1 w(x)=(2x4+x3+x2)+(2x2+x+1) w(x)=x2(2x2+x+1)+1(2x2+x+1) w(x)=(x2+1)(2x2+x+1) a=1 b=0 c=1 a=2 b=1 c=1 =0-4=-4 =1-8=-7  < 0  < 0 - brak rozkładu na czynniki l) w(x)=5x3-6x+1 w(x)=5x3-5x-x+1 w(x)=(5x3-5x)+(-x+1) w(x)=5x(x2-1)+(-1)(x-1) w(x)=5x(x-1)(x+1)+(-1)(x-1) w(x)=[5x(x+1)-1](x-1) w(x)=[5x2+5x-1](x-1)

m) w(x)=x4-9 w(x)=(x2-3)(x2+3) w(x)=(x-√3)(x+√3)(x2+3) n) w(x)=x3-5x2+x-5 w(x)=(x3-5x2)+(x-5) w(x)=x2(x-5)+1(x-5) w(x)=(x-5)(x2+1) o) w(x)=3x4+2x3+3x2+2x w(x)=(3x4+2x3)+(3x2+2x) w(x)=x3(3x+2)+x(3x+2) w(x)=(x3+x)(3x+2) w(x)=x(x2+1)(3x+2) p) w(x)=x2-25 w(x)=(x-5)(x+5)