Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Księga natury pisana jest w matematycznym języku.” Galileusz

DŁUGOŚĆ OKRĘGU. Wyobraź sobie, że trzymasz w rękach okrąg wykonany np. z drutu. Jeśli rozetniemy ten okrąg i wyprostujemy, otrzymany drut będzie miał taką samą długość jak okrąg. Kiedy chcemy zmierzyć obwód okrągłego przedmiotu, np. słoika, najłatwiej to zrobić przy pomocy sznurka – opasamy nim słoik, zaznaczamy miejsce spotkania dwóch końców a następnie prostujemy i mierzymy np. linijką. Obwód koła i długość okręgu to analogiczne pojęcia.

OZNACZENIA. Przyjmujemy następujące oznaczenia: r – długość promienia d – długość średnicy l – długość okręgu (obwód koła) O – środek okręgu (koła) Ważne: d = 2r

LICZBA π. Przypomnijmy (dokładne informacje znajdziesz w lekcji „Koło. Okrąg. Liczba π”): Najczęściej stosowane przybliżenia: π ≈ 3,14

DŁUGOŚĆ OKRĘGU. Skoro łatwo więc wyznaczyć wzór na obliczenie długości okręgu - l l = πd

DŁUGOŚĆ OKRĘGU. Pamiętając o związku między długością średnicy a długością promienia: d = 2r , wzór na długość okręgu możemy zapisać tak: l = 2πr

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 1. Podaj długość okręgu o promieniu 3,14. r = 3,14 l = 2πr l = 2π ∙ 3,14 = 6,28π PRZYKŁAD 2. Podaj długość okręgu o średnicy 4,2. d = 4,2 l = πd l = π ∙ 4,2 l = 4,2π

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 3. Podaj długość promienia koła o obwodzie 0,8π. l = 0,8π l = 2πr /: 2π

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 4. Podaj przybliżoną długość okręgu o promieniu 10 km. r = 10 km l = 2πr π ≈ 3,14 l ≈ 2 ∙ 3,14 ∙ 10 km l ≈ 62,8 km

PRZYKŁADY. PRZYKŁAD 5. Podaj przybliżoną długość okręgu o średnicy 5 m. d = 5 m l = πd π ≈ 3,14 l ≈ 3,14 ∙ 5 m l ≈ 15,7 m UWAGA Przybliżenie π stosujemy tylko kiedy wymaga tego zadanie. W pozostałych przypadkach podajemy wartość dokładną – stosując symbol π.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Każda z 4 osób ma rozpiętość ramion równą 140 cm. Czy zdołają objąć pień drzewa o średnicy 180 cm? Obliczamy najpierw obwód drzewa: d = 180 cm π ≈ 3,14 l = πd l ≈ 3,14 ∙ 180 cm = 565,2 cm. 4 osoby o danej rozpiętości ramion mogą objąć drzewo o obwodzie 4 ∙ 140 cm = 560 cm. Jak widać z obliczeń to mniej niż obwód danego drzewa.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Tomek wybrał się do wesołego miasteczka i wsiadł na karuzelę. W ciągu minuty karuzela obraca się 5 razy. Tomek siedzi na krzesełku w odległości 5 m od środka karuzeli. Jaką drogę pokonuje chłopiec w ciągu 10 minut? Najpierw obliczymy jaką drogę pokonuje krzesełko w czasie 1 obrotu. r = 5 m l = 2πr l = 2π ∙ 5 m = 10π m

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2 – ciąg dalszy. W takim razie w ciągu minuty karuzela pokonuje drogę: 5 ∙ 10π m = 50π m, a więc w ciągu 10 minut: 10 ∙ 50π m = 500π m. W przybliżeniu (wstawiając π ≈ 3,14) jest to: 500 ∙ 3,14 m = 1570 m = 1,57 km

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3. Koło skutera ma średnicę 40 cm. Ile pełnych obrotów wykona to koło na drodze 100 m? W ciągu jednego pełnego obrotu koło pokonuje drogę równą swemu obwodowi. d = 40 cm l = πd l = π ∙ 40 cm = 40π cm l ≈ 40 ∙ 3,14 cm = 125, 6 cm = 1,256 m Aby obliczyć ile pełnych obrotów wykona to koło na danej drodze wystarczy podzielić tę drogę przez obwód koła.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 3 – ciąg dalszy. 100 m : 1,256 m = 79,61 … W takim razie na drodze 100 m koło o średnicy 40 cm wykona 79 pełnych obrotów (zaokrąglamy w dół, gdyż chodzi nam jedynie o pełne obroty na danej drodze).

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4. Ania jedzie na rowerze z tak ustawioną przerzutką, że jeden pełny obrót pedałów powoduje trzy obroty każdego koła roweru. Koła te mają średnicę 70 cm. Ile pełnych obrotów pedałami musi wykonać Ania, aby przejechać 1 kilometr? W obliczeniach przyjmij . Zadanie jest podobne do poprzedniego. Najpierw obliczymy „długość kół” roweru. d = 70 cm

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. Jeden obrót pedałów powoduje trzy obroty kół, więc aby dowiedzieć się jaką drogę pokonuje Ania po jednym obrocie napędu musimy nasz wynik pomnożyć przez 3. 220 cm ∙ 3 = 660 cm 660 cm = 6,6 m 1 km = 1000 m

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 4 – ciąg dalszy. Zamiana jednostek była niezbędna do przeprowadzenia dalszych obliczeń (możemy działać jedynie na wielkościach wyrażonych w tych samych jednostkach). Aby obliczyć ilość obrotów pedałów na drodze 1 km, dzielimy tę drogę przez obwód koła roweru x3 (tyle obrotów przypada na jeden obrót pedałów). 1000 m : 6,6 m = 151,(51) Pytanie brzmiało tak: „ Ile pełnych obrotów pedałami musi wykonać Ania, aby przejechać 1 kilometr? „ a więc wynik musimy zaokrąglić w górę, gdyż chodzi nam o pełne obroty pedałów potrzebne to pokonania danej trasy – potrzeba ich 152 (151 nie wystarczy do przejechania 1 km.