g = 42L / T2 Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego Publiczne Gimnazjum Nr 8 w Łodzi Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego przy użyciu ciężarka zawieszonego na sznurku g = 42L / T2 Konkurs PTF 2011
Eksperyment wykonali uczniowie klasy Ic Gimnazjum Nr8 w Łodzi: Rafał Błoński Przemysław Krawczyk Joasia Kucharska Maciej Socha Nikol Wawrzyniak Adam Wiktor *** W opracowaniu wyników pomiarów pomagali uczniowie klasy IIc: Michał Hajdan Wiktor Szadowiak
Użyte materiały: Odważnik 0,5 kg Około 3 m nici żeglarskiej Stoper elektryczny Miarki 2 szt. (5 m) Kalkulator Magnes neodymowy, – jako element mocujący Element metalowy do mocowania i regulacji długości nici.
Przygotowanie ciężarka i sposób jego mocowania w główce ciężarka został wywiercony mały otwór, w który została włożona i zaklejona nić żeglarska (ok. 3 m długości) drugi (wolny) koniec nici został przetknięty przez otwór dyszy palnika gazowego wkręconego w żelazną rurkę z otworami bocznymi. Nić wychodząca bocznym otworem w rurce mogła być przesuwana i blokowana za pomocą zatyczki (pędzelka). Wolny koniec rurki mógł być mocowany za pomocą magnesów neodymowych ( na dwóch stanowiskach pomiarowych).
CZYNNOŚCI
Rafał i Asia dokonują pomiaru masy ciężarka Czynności Rafał i Asia dokonują pomiaru masy ciężarka Ponieważ ciężarek nie jest bryłą całkowicie symetryczną musieliśmy wyznaczyć w sposób przybliżony wysokość, na której powinien znajdować się jego środek ciężkości. Ciężarek został przewieszony boczną ścianką na kawałku sznurka i doprowadzony do stanu równowagi. Wysokość środka ciężkości zaznaczyliśmy kawałkiem kolorowej taśmy samoprzylepnej. Przemek wyznacza środek ciężkości
Czynności – pomiar długości wahadła Długość wahadła była mierzona od otworu w dyszy elementu mocującego ,do położenia „ środka ciężkości”. Długość nici mogła być regulowana poprzez przeciąganie jej przez element mocujący i blokowanie zatyczką. Pomiaru długości dokonywaliśmy po około 10 minutach od chwili powieszenia wahadła na stanowisku pomiarowym. Pomiar długości wahadła powyżej 1,8m
Wyniki pomiarów długości wahadła Dla każdej długości wahadła wykonano po cztery pomiary. Wyniki umieszczono w tabeli: Lp Wahadło L1[m] L2[m] L3[m] L4[m] L5[m] 1 0,702 0,102 1,398 1,795 2,554 2 0,705 0,101 1,400 1,797 2,562 3 0,703 0,100 1794 2,549 4 0,704 0,099 1,401 1,798 2,565 Lśr[m] 0,7035 0,1005 1,3993 1,796 2,558 Lmax [m] 0,003 0,004 0,016
Wyniki pomiarów długości wahadła Co prawda pomiary długości wahadła (dla pierwszych czterech długości) mają stosunkowo małe niepewności pomiarów to przy ustalaniu całkowitej niepewności długości uwzględniliśmy dodatkowo niepewności związane z wyznaczeniem środka ciężkości (±0,003m) oraz niepewności związane z wyznaczeniem początku wahadła (±0,003m) . Zatem przyjęliśmy jako wartości wyjściowe do naszych dalszych obliczeń: wartości długości wahadła oraz niepewności pomiarowe jak poniżej. Ze względu na mniej dokładny pomiar długości 2,56m niepewność tego pomiaru jest obarczona większą niepewnością. Długość wahadła L[m] Niepewność pomiarów L[m] 0,70 ±0,01 1,00 1,40 1,80 2,56 ±0,02
Pomiary czasu wahań na stanowisku I Pomiary czasu wahań wahadła Pomiary były przeprowadzane na dwóch stanowiskach pomiarowych. Pierwsze stanowisko służyło do pomiarów okresu wahań wahadeł o długości do 2 m. Do spodu półki pod telewizor (o wysokości nieco ponad 2m) umocowana została stalowa blaszka z magnesem neodymowym. Drugie stanowisko to element stalowy przykręcony do sufitu (przez naszego pana konserwatora) z magnesem neodymowym. Tutaj mogliśmy dokonywać pomiaru dla wahadła o długości powyżej 2 m.. Pomiary czasu wahań na stanowisku I Pomiar wahań na stanowisku II
t = 0,5(tmax – tmin) = 0,5(84,94s – 84,47s) = 0,5 . 0,47s = 0,24s Pomiary okresów wahań wahadła Wykonaliśmy pomiary okresu wahań dla 5 różnych długości wahadła: L = 0,7m; 1m; 1,4m; 1,8m; 2,56m. Dla każdej długości wahadła wykonaliśmy po 4 pomiary czasu 50 wahnięć t = 50T. Obliczyliśmy tśr z 4 pomiarów oraz wyznaczyliśmy okres Tśr = tśr/50. Pomiary czasu wykonane były za pomocą stoperów elektrycznych o dokładności 0,01s. Biorąc pod uwagę niedoskonałości naszego refleksu przy włączaniu i wyłączaniu stoperów, niepewności naszych pomiarów czasu były oczywiście znacznie większe. Niepewności pomiarów czasu 50 wahnięć obliczyliśmy, jako połowę różnicy między wartościami skrajnymi. Na przykład dla L = 0,7m wartości zmierzonych czasów wynosiły tmax = 84,94 s, tmin = 84,47 s niepewności tych pomiarów obliczyliśmy jako: t = 0,5(tmax – tmin) = 0,5(84,94s – 84,47s) = 0,5 . 0,47s = 0,24s Ponieważ dla długości L =1m; 1,4m; 1,8m; 2,56m obliczone wartości t były mniejsze przyjęliśmy wartość niepewności pomiaru czasu t = 0,24s jako niepewność tego pomiaru dla wszystkich długości. Wyniki naszych pomiarów oraz obliczenia niepewności umieszczone są w tabeli.
LP L [m] L Nr pomiaru t = 50T [s] t Tśr = tśr/50 T = t/50 T2 [s2] T2 = 2TT 1 0,7 ±0,01 84,82 ±0,24 1,69 ±0,005 2,87 ±0,02 2 84,94 3 84,41 4 101,19 2,02 4,09 101,06 101,07 101,00 1,4 118,44 2,36 5,59 118,16 118,03 118,06 1,8 134,75 2,69 7,23 ±0,03 134,41 134,35 134,32 5 2,56 161,10 3,22 10,37 161,16 161,20 161,26
Opracowanie wyników T 2[s2] Punkty pomiarowe o wartościach (L,T2) powinny mieć zaznaczone niepewności pomiarowe długości wahadła 2L, a niepewności pomiaru kwadratu okresu wahań 2T2. Ze względu na przyjętą skalę punkty pomiarowe na wykresie odzwierciedlają tylko niepewności pomiarów długości (±0,02m), a niepewności pomiarów czasu są znacznie mniejsze niż wynikałoby to z wielkości tych punktów. Niepewności pomiarów czasu nie są więc widoczne na rysunku (mieszczą się w obrębie zaznaczonych punktów pomiarowych) i w naszej metodzie nie mają większego wpływu na dokładność pomiarów przyspieszenia. Zależność kwadratu okresu wahań wahadła od jego długości
Opracowanie wyników T 2[s2] Wiedząc, że teoretyczne wartości punktów pomiarowych na naszym wykresie mają postać T2 = 42L/g gdzie g – przyspieszenie ziemskie, można się spodziewać, że wykres jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych (0,0). Narysowaliśmy dwie proste „pomocnicze” (linie przerywane) łączące punkty (0,0) z najbardziej skrajnymi wartościami dwóch punktów pomiarowych (niepewności pomiarowych długości wahadeł), tak aby wszystkie inne punkty znalazły się pomiędzy tymi prostymi. Obszar między tymi prostymi stanowi obszar naszych niepewności pomiarowych. Zależność kwadratu okresu wahań wahadła od jego długości
Opracowanie wyników T 2[s2] Współczynniki kierunkowe tych prostych pomocniczych wynoszą odpowiednio: a1 = 8,4s2/2m = 4,2 s2/m a2 =7,8s2/2m = 3,9 s2/m aśr = 0,5(a1+a2) = 4,05 s2/m Ponieważ wartości a = 42/g możemy po przekształceniu tej zależności policzyć: g = 4π2/aśr = 4π2/4,05 s2/m = =9,74 m/s2
Opracowanie wyników Niepewności wyznaczenia wartości g wyznaczyliśmy obliczając: gmin = 4π2/a1 = 9,39 m/s2 gmax = 4π2/a2 = 10,11 m/s2 g1 = gmax – g = 10,11 -9,74 = 0,37 m/s2 g2 = g - gmin = 9,74 – 9,39 = 0,35 m/s2 Ostateczny wynik naszych zmagań możemy zapisać jako: g = 9,74 ± 0,37 m/s2
Bibliografia: Doświadczenie obowiązkowe. „Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego” Dagmara Sokołowska, Foton 92, Wiosna 2006.
To nasza grupa