Wprowadzenie do optymalizacji wielokryterialnej. Modelowanie i symulacja systemów mgr inż. Leszek Siwik Karol Cichosz Tomasz Borek

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

Zarys problemu

Najbardziej naturalna metoda wnioskowania Zarys problemu Optymalizacja wielokryterialna Najbardziej naturalna metoda wnioskowania Polega na znalezieniu optymalnego rozwiązania, które jest akceptowalne z punktu widzenia każdego kryterium

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

f(x) = (f1(x),f2(x),...,fk(x)) Podstawowe pojęcia Optymalizacja wielokryterialna próba znalezienia wektora zmiennych decyzyjnych: x = [x1,x2,...,xk],   który spełnia określone warunki: gi(x)  0 (i = 1... m), hi(x) = 0 (i = 1 ... p) oraz optymalizuje wektor funkcyjny, którego elementy reprezentują funkcje celu: f(x) = (f1(x),f2(x),...,fk(x))

Podstawowe pojęcia Optymalizacja wielokryterialna

Podstawowe pojęcia Optymalizacja wielokryterialna

Podstawowe pojęcia Funkcje celu reprezentują matematyczny opis danego kryterium oraz najczęściej pozostają w konflikcie miedzy sobą. (przykład ceny i mocy obliczeniowej).   Optymalizacja polega na znalezieniu takiego rozwiązania, które byłoby akceptowalne dla każdej funkcji celu. Jest pierwszym krokiem w stronę znalezienia rozwiązania. Oczywiście rozwiązanie byłoby idealne, gdyby było rozwiązaniem najlepszym z punktu widzenia, każdej funkcji celu. Możliwe rozwiązania zadania optymalizacyjnego klasyfikuje się jako zdominowane i niezdominowane (paretooptymalne – ang. Parento optimal).

f(x)=(f1(x),f2(x),...,fk(x)); Podstawowe pojęcia Dla zadania maksymalizacji zestawu k funkcji celu:   f(x)=(f1(x),f2(x),...,fk(x)); Rozwiązanie x jest zdominowane, jeśli istnieje dopuszczalne rozwiązanie y nie gorsze od x, tzn. dla każdej funkcji celu fi: fi(x) fi (y); (i=1,... k); W przeciwnym wypadku x jest rozwiązaniem niezdominowanym

f(x)=(f1(x),f2(x),...,fk(x)) Podstawowe pojęcia Dla zadania minimalizacji zestawu k funkcji celu   f(x)=(f1(x),f2(x),...,fk(x)) rozwiązanie x jest zdominowane, jeśli istnieje dopuszczalne rozwiązanie y nie gorsze od x, tzn. dla każdej funkcji celu fi: fi(y) fi (x) (i=1,... k) W przeciwnym wypadku x jest rozwiązaniem niezdominowanym

Podstawowe pojęcia Algorytm ewolucyjny

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

Podstawowe problemy dopasowania wartości skalarnych do poszczególnych kryteriów i obudowanie ich regułami matematycznymi zachowania różnorodności rozwiązań przy dobieraniu klasyfikacji rozwiązań jako zdominowanych i niezdominowanych utraty rozwiązań niezdominowanych przechowywania i egzystencji constraintów

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

Wybrane metody gdzie: oraz Metoda ważonych celów: k – ilość funkcji; x – wektor rozwiązań; wi – wagi takie, że: oraz

Wybrane metody Metoda VEGA Użyte oznaczenia: t – numer pokolenia Pt – populacja w t-tym pokoleniu P ′ – populacja tymczasowa k – ilość kryteriów Algorytm Parametry wejściowe: N – rozmiar populacji T – maksymalna ilość pokoleń pc – prawdopodobieństwo krzyżowania pm –prawdopodobieństwo mutacji Wynik: A – zbiór rozwiązań niezdominowanych

Wybrane metody Krok 1: Inicjalizacja (wygenerowanie populacji początkowej) Niech P0 = Ø oraz t = 0. Dla i=1, ..., N wykonaj: Wylosuj osobnika i. Dodaj osobnika i do zbioru P0. Krok 2: Wyznaczenie dopasowania i selekcja: Pt ′= Ø. Dla i = 1, ..., k wykonaj: Dla każdego osobnika oblicz jego dopasowanie w oparciu o funkcję celu fi Dla j=1, ..., N/k wybierz osobnika i z Pt i dodaj go do P ′. Krok 3: Rekombinacja: Niech P ′′= Ø. Dla i=1, ..., N/2 wykonaj Wybierz dwa osobniki ′ i usuń je z P ′. Skrzyżuj osobniki: i j; wynik: osobniki k i l. Dodaj k, l do P ′′ z prawdopodobieństwem pc (w przeciwnym wypadku do P ′′ dodaj osobniki i, j).

Wybrane metody Krok 4: Mutacja: Niech P′′′ = Ø Dla każdego osobnika wykonaj: Zmutuj osobnika i z prawdopodobieństwem pm. Wynik: osobnik j. Dodaj osobnika j do zbioru P ′′′. Krok 5: Zakończenie: Niech Pt+1 = P ′′′ i t=t+1. Jeżeli t ≥T to zakończ (Wynik: A = rozwiązanie niezdominowane z populacji Pt), w przeciwnym wypadku powrót do roku 2.

Wybrane metody Metoda SPEA Użyte oznaczenia: t – numer pokolenia Pt – populacja w t-tym pokoleniu Pt – zbiór zewnętrzny P′ – tymczasowy zbiór zewnętrzny P ′ – populacja tymczasowa Algorytm Parametry wejściowe: N – rozmiar populacji Nm – maksymalny rozmiar zbioru zewnętrznego T – maksymalna ilość pokoleń pc – prawdopodobieństwo krzyżowania pm – prawdopodobieństwo mutacji Wynik: A – zbiór rozwiązań niezdominowanych

Wybrane metody Krok 1: Inicjalizacja: Wygeneruj populację początkową P0 (patrz krok pierwszy algorytmu VEGA) oraz pusty zbiór zewnętrzny P0 = Ø. Niech t = 0. Krok 2: Uzupełnienie zbioru zewnętrznego. Niech P′ = Pt. Skopiuj do P′ osobniki z populacji Pt, niezdominowane przez inne osobniki z populacji Pt. Usuń z P′ osobniki zdominowane przez inne osobniki z P′. Zredukuj liczność zbioru P′ do N przez clustering; wynik: Pt+1. Krok 3: Wyznaczenie dopasowania: Oblicz wartość dopasowania F osobników w Pt i Pt przy użyciu algorytmu opisanego dalej.

Wybrane metody Krok 4: Selekcja: Niech P ′= Ø. Dla i=1, ..., k wykonaj: Wybierz losowo dwa osobniki Pt . Jeżeli F(i)<F(j) to P ′= P ′ +{i}, w przeciwnym wypadku P ′= P ′ +{j} (wartość przystosowania jest tu minimalizowana). Krok 5: Rekombinacja: patrz krok 3 algorytmu VEGA (wynik: P ′′). Krok 6: Mutacja: patrz krok 4 algorytmu VEGA (wynik: P ′′′). Krok 7: Zakończenie: Niech Pt+1 = P ′′′ i t = t+1. Jeżeli t ≥ T to zakończ (Wynik: A = rozwiązanie niezdominowane z populacji Pt), w przeciwnym wypadku powrót do kroku 2.

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

Literatura Kalyanmoy Deb, Lother Thiele, Marco Laumanns, Eckart Zitzler – “Scalable Multi-Objective Optimization Test Probems” 2002 Eckart Zitzler – “Evolutionary Alghorithms for Multiobjective Optimalization” 2001 Kalyanmoy Deb, Lother Thiele, Marco Laumanns, Eckart Zitzler, Emo Welzl – “Running time analysis of a multi-objective evolutionary algorithm on a simple discrete optimalization problem” 2002 Eckart Zitzler – “Evolutionary algorithms for multiobjective optimalization” 2002 Eckart Zitzler, Marco Laumanns, Stefan Bleuler – “A Tutorial on Evolutionary Multiobjective Optimalization” 2003 Halina Kwaśnicka – “Ewolucyjna optymalizacja wielokryterialna” 2000 Katedra Automatyki AGH – „Optymalizacja wielokryterialna” 1999 Carlos A. Coello – „An Updated Survey of GA-Based Multiobjective Optimalization Techniques” http://sound.eti.pg.gda.pl/rekonstrukcja/algorytmy_genetyczne.html http://www.tik.ee.ethz.ch/~zitzler/

Plan prezentacji Zarys problemu Podstawowe pojęcia Podstawowe problemy Wybrane metody Literatura Pytania i odpowiedzi

Dziękujemy !!