Literatura podstawowa Reisig W.: Sieci Petriego, WNT, Warszawa, 1988. Starke P.H.: Sieci Petri, PWN, Warszawa, 1987. Banaszak Z., Kuś J., Adamski M.: Sieci Petriego. Modelowanie, sterowanie i synteza systemów dyskretnych. Wyd. PZ, 1993. Peterson J.L.: Petri net theory and the modeling of systems, Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, 1981. Murata T.: «Petri Nets: Properties, Analysis and Applications», Proceedings of the IEEE, Vol. 77, No. 4, 1989, pp. 541-580. Rene D., Hassane A.: Petri Nets & Grafcet: Tools for modelling discrete event systems, Prentice-Hall, Inc., Cambridge, 1992.

Co to jest sieć Petriego? Graf dwudzielny zorientowany Miejsca i tranzycie

Realizacja tranzycji Aktywne tranzycje Realizacja

Ewolucja sieci

System złożony z jednego producenta Przykłady Wiosna Lato Konsument Bufor Zima Jesień Konsument Producent Zmiana pór roku System złożony z jednego producenta i dwóch konsumentów

Definicje formalne Sieć Petriego - to jest trójka  = (P, T, F), gdzie: P - zbiór miejsc; T – zbiór tranzycji; F - relacja przepływu; PT=; F(PT)(TP). Dla tT zaznaczamy: t = {pP|(p, t)F}; t = {pP|(t, p)F} (t - zbiór miejsc wejściowych t; t - zbiór miejsc wyjściowych); Znakowanie - M: P{0, 1, 2,…}. M0 - znakowanie początkowe. M(p) - liczba znaczników w miejscu p. Tranzycja jest aktywna i może być zrealizowana, jeśli pt: M(p) > 0. Realizacja tranzycji usuwa znacznik z każdego miejsca wejściowego i dodaje do każdego miejsca wyjściowego.

Współbieżność i konflikty (obie aktywne tranzycje mogą być zrealizowane) Konflikt (tylko jedna z aktywnych tranzycje może być zrealizowana)

Własności sieci Tranzycję t nazywamy żywą dla znakowania M, jeśli M[M0 M’[M takie, że tranzycja t jest aktywna w M’. Sieć nazywamy żywą, jeśli każda tranzycja t T jest żywa dla każdego znakowania M[M0. Sieć nazywamy ograniczoną (n-ograniczoną), jeśli M[M0 pP: M(p)n. Sieć nazywamy bezpieczną, jeśli M[M0  pP: M(p)1 Sieć nazywamy aktywną, jeśli M[M0 : M0 [M. Blokada to podzbiór miejsc sieci taki, że nie mając znaczników w znakowaniu M, nie będzie miał znaczników w żadnym M’[M. Pułapka to podzbiór miejsc sieci taki, że mając znaczniki w znakowaniu M, będzie miał znaczników we wszystkich M’[M.

Drzewo osiągalności Zaczynamy od jednego wierzchołka, który odpowiada znakowaniu początkowemu i oznaczony jako graniczny. Dopóki drzewo ma graniczne wierzchołki, robić następne kroki dla granicznego wierzchołka x (któremu odpowiada znakowanie M): Jeśli w drzewie istnieje nie zaznaczony jako graniczny wierzchołek y odpowiadający M, oznaczymy y jako kopię. Jeśli dla M nie ma żadnej aktywnej tranzycji, oznaczymy x jako końcowy wierzchołek. Dla każdej tranzycji t aktywnej w M dodamy nowy wierzchołek z do drzewa osiągalności. Stworzymy znakowanie M’ odpowiadające z: dla każdego miejsca p, Jeśli M(p)=, to M’(p)=. Jeśli na ścieżce od korzenia drzewa do x jeśt wierzchołek y któremu odpowiada znakowanie M’’ takie, że M’’<M’ i M’’(p)<M’(p), to M’(p)=. Inaczej M’(p) = M(p)-t(p)+ t(p). Dodamy łuk od x do z, oznaczymy przez t. Oznaczymy x jako wewnętrzny wierzchołek, a z jako graniczny.

Przykład drzewa osiągalności 110 p1 t2 p2 t1 t2 011 200 110 t3 t2 t3 t1 t2 t1 t1 t3 t2 101 020 101 011 200 t3 t1 t3 t2 Sieć t2 110 002 110 t1 101 020 t3 t3 t1 011 002 Drzewo osiągalności Graf znakowań p3

Drzewo dla nieograniczonej sieci p1 1010 t3 t1 1001 p2 t2 p3 110 t3 t1 t2 100 101 t3 t2 p4 110 Sieć Drzewo osiągalności

Analiza grafu znakowań Jeśli w grafie jest symbol , sieć nie jest ograniczona. Czy jest żywa, nie zawsze można powiedzieć. Jeśli w grafie nie ma symbolu , sieć jest ograniczona i maksymalna liczba znaczników w miejsce dla wszystkich zbadanych znakowań odpowiada stopieniu ograniczoności. Jeśli ta liczba równa 1, sieć jest bezpieczna (1-ograniczona). Jeśli w grafie nie ma symbolu , sieć jest żywa wtedy i tylko wtedy, gdy każda silne spójna składowa grafu, nie mająca łuków wyjściowych, zawiera łuki, odpowiadające wszystkim tranzycjom sieci, i nie ma martwych znakowań.