Materiały pochodzą z Platformy Edukacyjnej Portalu www.szkolnictwo.pl Wszelkie treści i zasoby edukacyjne publikowane na łamach Portalu www.szkolnictwo.pl mogą być wykorzystywane przez jego Użytkowników wyłącznie w zakresie własnego użytku osobistego oraz do użytku w szkołach podczas zajęć dydaktycznych. Kopiowanie, wprowadzanie zmian, przesyłanie, publiczne odtwarzanie i wszelkie wykorzystywanie tych treści do celów komercyjnych jest niedozwolone. Plik można dowolnie modernizować na potrzeby własne oraz do wykorzystania w szkołach podczas zajęć dydaktycznych.

„Wątpić we wszystko lub wierzyć we wszystko to dwa równie wygodne rozwiązania; oba uwalniają od obowiązku myślenia.” Henri Poincare

FUNKCJA LINIOWA I JEJ WŁASNOŚCI. Funkcja liniowa to jedna z najprostszych funkcji, jej wykresem jest linia prosta a wzór nie jest skomplikowany. Funkcje liniowe mają wiele praktycznych zastosowań, mogą opisywać proporcjonalność prostą czy posłużyć do rozwiązania układu równań, warto więc dowiedzieć się o nich nieco więcej.

DEFINICJA FUNKCJI LINIOWEJ. Funkcja liniowa to funkcja określona wzorem y = ax + b, gdzie a i b są liczbami rzeczywistymi. PRZYKŁADY: y = 2x + 3 (a = 2, b = 3) y = -x – 4 (a = -1, b = -4) y = 4x (a = 4, b = 0) y = 6 (a = 0, b = 6) Oczywiście wystarczy podać sam wzór, w nawiasach podaliśmy wartości współczynników a i b dla wyjaśnienia wzoru ogólnego.

y = ax + b a – współczynnik kierunkowy funkcji liniowej. b – wyraz wolny funkcji liniowej. Dziedziną funkcji liniowej jest zbiór liczb rzeczywistych. Gdy b = 0 i jednocześnie a ≠ 0, to funkcja liniowa przedstawia proporcjonalność prostą: y = ax czyli

WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ. Wykresem funkcji liniowej, jak sama nazwa wskazuje, jest linia prosta. Do narysowania wykresu funkcji liniowej wystarczą dwa punkty. PRZYKŁAD Narysuj wykres funkcji y = 2x + 2. Wybieramy sobie dwa argumenty (x) i obliczamy wartość funkcji, np.: f(0) = 2 · 0 + 2 = 0 + 2 = 2 f(-1) = 2 · (-1) + 2 = -2 + 2 = 0 Zaznaczamy oba punkty w układzie współrzędnych i rysujemy wykres.

WYKRES FUNKCJI LINIOWEJ. y = 2x + 2 x -1 y 2 Zaznaczamy punkty. Rysujemy wykres.

PUNKTY PRZECIĘCIA WYKRESU FUNKCJI LINIOWEJ Z OSIAMI UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH. Jeśli a ≠ 0, to wykres funkcji liniowej przecina oś OX w punkcie: Wykres funkcji liniowej przecina oś OY w punkcie: (0, b)

PUNKTY PRZECIĘCIA WYKRESU FUNKCJI LINIOWEJ Z OSIAMI UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH. PRZYKŁAD. Wyznacz punkty przecięcia wykresu funkcji y = x – 2 z osiami układu współrzędnych. Możemy narysować funkcję i odczytać współrzędne punktów przecięcia z wykresu lub skorzystać ze wzorów: y = x – 2 mamy wiec a = 1 oraz b = -2. Punkt przecięcia wykresu z osią OY to (0, b), mamy więc (0, -2) Punkt przecięcia wykresu z osią OX to , mamy więc

MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ. Miejsce zerowe funkcji liniowej można obliczyć tak samo jak każdej innej funkcji – wstawiając do wzoru funkcji wartość 0 i rozwiązując równanie. Jeśli jednak ktoś lubi używać wzorów, miejsce zerowe funkcji liniowej obliczy tak: Jeśli a = 0 i b = 0, to funkcja liniowa ma nieskończenie wiele miejsc zerowych (y = 0 czyli cała oś OX) Jeśli a = 0 i b ≠ 0, to funkcja liniowa nie ma miejsc zerowych (y = b czyli funkcja stała, której wykresem jest linia równoległa do osi OX)

MIEJSCA ZEROWE FUNKCJI LINIOWEJ. PRZYKŁAD. Znajdź miejsce zerowe funkcji określonej wzorem y = 3x + 9. Możemy to zrobić na kilka sposobów: Narysować funkcję i odczytać miejsce zerowe z wykresu. Rozwiązać równanie wstawiając do wzoru y = 0. 0 = 3x + 9 -3x = 9 /: (-3) x = -3 III. Skorzystać ze wzoru.

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ. W przypadku funkcji liniowej sprawa jest bardzo prosta – wystarczy spojrzeć na współczynnik a we wzorze. WSPÓŁCZYNNIK KIERUNKOWY MONOTONICZNOŚĆ PRZYKŁADY FUNKCJI a > 0 Funkcja rosnąca y = 2x + 5 y = 4x y = 0,25x - 3 a < 0 Funkcja malejąca y = -2x y = -x + 10 y = -0,5x + 2 a = 0 Funkcja stała y = 9 y = -2 y = 0,3

MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI LINIOWEJ. PRZYKŁAD. Zbadaj monotoniczność funkcji: y = 2x + 9, y = -2, y = -8x, y = 0,5x + 0,25, y = 1, y = x, y = -x, y = 91x + 102. Obliczenia wprost z definicji byłyby bardzo czasochłonne, na szczęście wszystkie podane funkcję to funkcje liniowe, wystarczy więc spojrzeć na współczynnik a (liczbę stojącą przy x). Mamy: - funkcje rosnące: y = 2x + 9, y = 0,5x + 0,25, y = x (a = 1), y = 91x + 102 funkcje malejące: y = -8x, y = -x (a = -1) - funkcje stałe: y = -2 (a = 0), y = 1 (a = 0)

RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH. Jeśli wzory funkcji liniowych mają takie same współczynniki kierunkowe a, to ich wykresy są równoległe. Przykłady funkcji liniowych o wykresach równoległych: y = 2x || y = 2x + 2 || y = 2x – 6 || y = 2x + 18 ... y = -x || y = -x + 4 || y = -x – 23 || y = -x + 14… y = 0,5x || y = 0,5x +2 || y = 0,5x – 4 || y = 0,5x + 9 …

RÓWNOLEGŁOŚĆ I PROSTOPADŁOŚĆ WYKRESÓW FUNKCJI LINIOWYCH. Jeśli wzory funkcji liniowych zapiszemy następująco: y = a1x + b1 , y = a2x + b2 , to wykresy tych funkcji są prostopadłe gdy Przykłady funkcji liniowych o wykresach prostopadłych: y = 2x + 2  y = -0,5x + 5 y = -4x – 1  y = 0,25x + 2 y = 3x + 2 

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1. Dana jest funkcja liniowa y = 0,25x + 2. Narysuj wykres tej funkcji. Oblicz jej miejsce zerowe. Sprawdź, czy punkt (100, 53) należy do wykresu funkcji. Określ, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. Podaj wzór funkcji, której wykres będzie równoległy do danej. Podaj wzór funkcji, której wykres będzie prostopadły do danej.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1a: narysuj wykres tej funkcji. Rysuję tabelkę, wybieram argumenty i obliczam wartości według wzoru. f(0) = 0,25 · 0 + 2 = 2 f(4) = 0,25 · 4 + 2 = 1 + 2 = 3 y = 0,25x + 2 x 4 y y = 0,25x + 2 x 4 y 2 3

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1a – ciąg dalszy. Zaznaczam punkty w układzie współrzędnych i rysuję linię przechodzącą przez te punkty. y = 0,25x + 2 x 4 y 2 3

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1b: oblicz jej miejsce zerowe. I sposób: Wstawiam do wzoru 0 zamiast y i rozwiązuje równanie: 0 = 0,25x + 2 -0,25x = 2 /: (-0,25) x = -8 Miejscem zerowym funkcji y = 0,25x + 2 jest x0 = -8. II sposób: Korzystam ze wzoru

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1c: sprawdź, czy punkt (100, 53) należy do wykresu funkcji. Wstawiam x = 100 do wzoru funkcji i sprawdzam, czy wyjdzie 53. y = 0,25 · 100 + 2 = 25 + 2 = 27 Wyszła wartość inna niż 53 a więc punkt (100, 53) nie należy do wykresu funkcji y = 0,25x + 2.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1d: określ, czy funkcja jest rosnąca, czy malejąca. y = 0,25x + 2 Współczynnik kierunkowy a we wzorze tej funkcji jest większy od zera, a więc funkcja ta jest rosnąca. ZADANIE 1e: podaj wzór funkcji, której wykres będzie równoległy do danej. Wystarczy podać wzór funkcji o takim samym współczynniku kierunkowym, np.: y = 0,25x - 2

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 1f: podaj wzór funkcji, której wykres będzie prostopadły do danej. Wystarczy podać wzór funkcji, której współczynnik kierunkowy będzie wynosił: Może to być np.: y = -4x + 12.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. Znajdź wzór funkcji liniowej przechodzącej przez punkty (2, 5) oraz (-3, -5). Musimy skorzystać ze wzoru ogólnego funkcji liniowej y = ax + b, podstawiając kolejno współrzędne obu punktów otrzymamy układ równań, z którego wyznaczymy współczynniki a i b.

PRZYKŁADOWE ZADANIA. ZADANIE 2. -5 = -3a + 5 – 2a -5 – 5 = -3a – 2a -10 = -5a / : (-5) a = 2 b = 5 – 2· 2 = 1 Wyliczone współczynniki wstawiamy do wzoru ogólnego y = ax + b, otrzymując w ten sposób wzór szukanej funkcji: y = 2x + 1