Grafy o średnicy 2 i dowolnej liczbie dominowania Krzysztof Turowski
Definicja grafu Mm,n Formalnie: Graf Mm,n zdefiniujmy jako: V(Mm,n) = {ui,j: 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} E(Mm,n) = {ui,juk,l: i = k ٧ j = l, 1 ≤ i, k ≤ m, 1 ≤ j, l ≤ n}
Definicja grafu Mm,n Nieformalnie: Są to grafy stworzone z n grafów pełnych Km (w każdym z tych podgrafów wierzchołki ponumerowane od 1 do m), gdzie dodatkowo są ze sobą połączone wierzchołki z różnych grafów o tych samych numerach.
Przykłady grafów Mm,n m = 2, n = 2
Przykłady grafów Mm,n m = 3, n = 2
Przykłady grafów Mm,n m = 3, n = 3
Właściwości grafów Mm,n Każdy wierzchołek w grafie n należy jednocześnie do dwóch maksymalnych grafów pełnych: Km i Kn, jednocześnie będąc ich jedynym elementem wspólnym. Graf jest (m + n + 1)–regularny, czyli każdy wierzchołek jest stopnia m + n + 1. Graf jest autoizomorficzny wobec każdego ze swoich wierzchołków – zatem możemy oznaczyć graf tak, że dowolny wierzchołek będzie miał indeksy i = j = 1.
Właściwości grafów Mm,n cd. Mm,n = Mn,m Gdy i ≤ m, j ≤ n, to Mi,j jest podgrafem Mn,m Dla grafu Mm,n jego średnica diam(Mm,n) ≤ 2 (dla min{m, n} ≥ 2 mamy diam(Mm,n) = 2) γ(Mm,n) = min{m, n} Γ(Mm,n) = max{m, n}
Dowód własności diam(Mm,n) ≤ 2 Weźmy dowolne różne wierzchołki: ui,j i uk,l Mamy wówczas 3 przypadki: i ≠ k ٨ j = l Istnieje droga długości 1: ui,j (czyli ui,l) – uk,l i = k ٨ j ≠ l Istnieje droga długości 1: ui,j (czyli uk,j) – uk,l i ≠ k ٨ j ≠ l Istnieje droga długości 2: ui,j – uk,j – uk,l W każdym przypadku diam(ui,j,uk,l) ≤ 2.
Dowód własności γ(Mm,n) = min{m, n} Każdy wierzchołek może być zdominowany tylko przez inny wierzchołek z przyłączonych do niego grafów maksymalnych: Km lub Kn. Zatem dla dowolnego zbioru Km u Kn należy do niego co najmniej 1 wierzchołek należący do najmniejszego zbioru dominującego. Wobec tego wierzchołków nie może być mniej niż kolumn lub wierszy, czyli γ(Mm,n) = min{m, n}
Dowód własności γ(Mm,n) = min{m, n} cd. Można również dowieść indukcyjnie: Ponieważ dla dowolnych m, n: m ≥ n mamy γ(Mm,0) = 0 i γ(Mm+1,n+1) = γ(Mm,n) + 1 to γ(Mm,n) = n. Ponieważ Mm,n =Mn,m to γ(Mm,n) = γ(Mn,m) = min{m, n} Zatem grafy z rodziny Mm,n mają dowolnie dużą liczbę dominowania.