Nie-archimedesowe (leksykograficzne) PZ W podejściu nie-archimedesowym nazywanym też leksykograficznym również funkcja osiągania jest funkcją wektorową trzy lub więcej elementową (trzy lub więcej składnikową) Każdemu z elementów przypisuje się priorytet  Pierwszy składnik przedstawia ważoną sumę wszystkich niepożądanych odchyleń dla tych zadań, które uznane zostały za twarde (tzn. dla sztywnych ograniczeń). Składnikowi temu nadaje się priorytet k = 1,  Drugi składnik jest ważoną sumą wszystkich niepożądanych odchyleń dla tych zadań, którym decydent (D) nadał priorytet k = 2,

 Trzeci element jest ważoną sumą wszystkich niepożądanych odchyleń dla tych zadań, którym decydent (D) nadał priorytet k = 3, i tak dalej ogólnie do poziomu priorytetu K Zwykle: * do grupy twardych ograniczeń (K = 1) zalicza się ograniczenia pierwotnego sformułowania problemu decyzyjnego * do grup pozostałych ograniczeń, o mniej znaczących priorytetach (k = 2, ...., K) zalicza się zadania powstałe z transformacji pierwotnych funkcji celu

W leksykograficznym PZ poszukujemy leksykograficznego minimum funkcji osiągania - wektorowa funkcja osiągania - wektor ujemnych niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2, ....., K) - wektor dodatnich niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2, ...., K) - wektor wag dla ujemnych niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2, ...., K) - wektor wag dla dodatnich niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k (k = 1,2, ...., K)

W leksykograficznym programowaniu zadaniowym poszukuje się rozwiązania dającego leksykograficzne minimum funkcji osiągania

O doborze wag: wszystkie wagi są nieujemne niezerowe wartości nadaje się tylko tym wagom, które związane są z niepożądanymi odchyleniami (tzn. tymi, które mają być minimalizowane) wagom dla niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu 1 zwykle nadawana jest wartość jeden (podobnie jak w ważonym PZ) wartości wag dla niepożądanych odchyleń na poziomie priorytetu k = 2, ..., K są ustalane w drodze subiektywnego procesu i ich wartości mogą być zmieniane w wyniku analizy po-optymalizacyjnej

Wektorowa funkcja osiągania Obrazowy przykład Załóżmy, że decydenci naszej firmy są zgodni, iż większy udział na rynku jest ważniejszy niż osiąganie większych zysków, chociaż nie są zgodni dokładnie na ile ważniejszy. Tak więc, zamiast ważyć odpowiednie odchylenia celów, są oni jedynie w stanie uszeregować te odchylenia. W takim przypadku możemy uciec się do nie-archimedesowego PZ i zbudować następujący model: Wektorowa funkcja osiągania - element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 1 - element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 2 - element wektora funkcji osiągania na poziomie priorytetu 3

Wektor ujemnych niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 1 – nie występuje Wektor dodatnich niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 1 Wektor ujemnych niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 2 Wektor dodatnich niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 2 - nie występuje

Wektor ujemnych niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 3 Wektor dodatnich niepożądanych odchyleń i związany z nim wektor wag na poziomie priorytetu 3 - nie występuje

takie, które zapewniają Model nie-archimedesowego PZ rozważanego problemu decyzyjnego ma postać: (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) (warunki niejednoczesnej dodatniości) Znaleźć wartości i takie, które zapewniają

Punkty wierzchołkowe obszaru rozwiązań pożądanych Graficzna ilustracja Punkty wierzchołkowe obszaru rozwiązań pożądanych Obszar pożądanych rozwiązań jest taki sam jak dla Archimedesowego PZ

Sekwencyjny sposób rozwiązania modelu nie-archimedesowego PZ wykorzystujący posiadane oprogramowanie jednej z metod programowania liniowego: Krok 1: Sformułowanie pierwszego zagadnienia programowania liniowego zapewniającego spełnienie ograniczeń związanych z poziomem priorytetu 1 (ograniczeń twardych) Model ten ma następującą strukturę: Zminimalizować: Niech optymalne rozwiązanie tego modelu daje wartość spełniając: gdzie, - zbiór indeksów ograniczeń twardych - priorytet 1

Model ten ma następującą strukturę: Krok 2: Sformułowanie drugiego zagadnienia programowania liniowego zapewniającego spełnienie ograniczeń związanych z poziomem priorytetu 1 i 2 (ograniczeń twardych i miękkich z poziomu priorytetu 2) Model ten ma następującą strukturę: Zminimalizować: Niech optymalne rozwiązanie tego modelu daje wartość spełniając: gdzie, - zbiór indeksów ograniczeń twardych - priorytet 1 - zbiór indeksów ograniczeń miękkich - priorytet 2

Model ten ma następującą strukturę: Krok K: Sformułowanie drugiego zagadnienia programowania liniowego zapewniającego spełnienie ograniczeń związanych z poziomem priorytetu 1, 2, ..., K (ograniczeń twardych i miękkich z poziomu priorytetu 2, ..., K) Model ten ma następującą strukturę: Niech optymalne rozwiązanie tego modelu daje wartość Zminimalizować: spełniając: gdzie, - zbiór indeksów ograniczeń twardych - priorytet 1 - zbiór indeksów ograniczeń miękkich - priorytet 2, ..., K

Rozwiązanie związane z ostanim K – tym modelem jest rozwiązaniem nie-archimedesowego sformułowania programowania zadaniowego

takie, które minimalizują Obrazowy przykład Zadanie 1 (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) Znaleźć wartości i takie, które minimalizują spełniając

Otrzymane rozwiązanie Graficzna ilustracja Otrzymane rozwiązanie Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 1

Ilustracja graficzna rozwiązania Zadania 1 Najlepsze wartości odchyleń drugiego poziomu (priorytet2): Najlepsze wartości odchyleń trzeciego poziomu (priorytet3):

Uzyskany pierwszy wektor funkcji osiągania

takie, które minimalizują Zadanie 2 Znaleźć wartości i takie, które minimalizują spełniając (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (warunek uzyskanego poziomu osiągania dla poziomu priorytetu 1) (warunki nieujemności)

Otrzymane rozwiązanie Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 2 Graficzna ilustracja Otrzymane rozwiązanie Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 2

Ilustracja graficzna rozwiązania Zadania 2 Najlepsze wartości odchyleń trzeciego poziomu (priorytet3):

Uzyskany drugi wektor funkcji osiągania

takie, które minimalizują Zadanie 3 Znaleźć wartości i takie, które minimalizują spełniając (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla udziałów w rynku w rozważanym okresie czasu) (zadanie dla całkowitego zysku w rozważanym okresie czasu) (warunek uzyskanego poziomu osiągania dla poziomu priorytetu 1) (warunek uzyskanego poziomu osiągania dla poziomu priorytetu 2) (warunki nieujemności)

Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 3 Otrzymane rozwiązanie Graficzna ilustracja Obszar rozwiązań pożądanych Zadania 3 Otrzymane rozwiązanie

Ilustracja graficzna rozwiązania Zadania 3 Uzyskany trzeci wektor funkcji osiągania zatem rozwiązanie

Uzyskane rozwiązanie nie jest rozwiązaniem optymalnym w sensie porządku Pareto !!! ale jest to rozwiązanie optymalne w sensie porządku leksykograficznego dla niepożądanych odchyleń od wskazanych poziomów aspiracji przy wskazanych priorytetach

Nie - archimedesowe sformułowanie PZ Zalety * Każde zadanie (cel) jest oddzielnie reprezentowane w modelu (tzn. unika się agregacji) a zatem ma się do czynienia tablicą wskaźników działania, zamiast z zastępczym, pojedynczym wskaźnikiem * Można posługiwać się zarówno twardymi jak i miękkimi zadaniami * Decydent jest zmuszony estymować poziom aspiracji dla swoich celów, a to służy wymuszeniu dodatkowego wglądu w rozważany problem decyzyjny

* Unika się określania liczbowych wag dla odchyleń poszczególnych celów (jak w archimedesowym PZ), zastępując je szeregowaniem tych odchyleń * Rozwiązanie nie-archimedesowego PZ jest możliwe za pomocą tradycyjnych metod lub oprogramowania PL

Wady * Zbudowanie modelu wymaga więcej czasu i zastanowienia * Potrzebne jest większe zaangażowanie decydenta w rozwiązywanie problemu decyzyjnego m.in. w ustalanie poziomów aspiracji i wag odchyleń niepożadanych * Subiektywność odnosząca się do wag nadawanym na mniej znaczących poziomach priorytetu (od poziomu 2 do K)

* Szeregowanie zadań w powiązaniu z pojęciem leksykograficznego minimum, oznacza, że jakiekolwiek zadania na poziomie priorytetu k są ostatecznie preferowane w stosunku do zadań z poziomu priorytetu k+1 lub niższego (tj. niezależnie od wag liczbowych przypisywanych zadaniom na niższych poziomach (od poziomu k+1), wagi przypisywane na poziomie k są traktowane jako ważniejsze)

Czebyszewskie Programowanie Zadaniowe Rozumienie ,,najlepszego” rozwiązania w podejściach programowania zadaniowego:  Archimedesowe – minimalizacja, w leksykograficznym sensie, dwuelementowego wektora ważonych sum wszystkich niepożądanych odchyleń od postawionych zadań/celów przy wskazanych priorytetach  Nie‑archimedesowe - minimalizacja, w leksykograficznym sensie, uporządkowanego wektora wszystkich niepożądanych odchyleń od postawionych celów/zadań  Czebyszewskie - minimalizacja jednakowej wartości wszystkich niepożądanych odchyleń

Podejście czebyszewskie stanowi podstawę tego co nazywane jest minimaksowym PZ lub programowaniem rozmytym Przedstawimy podstawową postać Czebyszewskiego PZ i jak jest ono związane programowaniem rozmytym

Obrazowy przykład Jak każde podejście PZ, pierwszym krokiem jest sprowadzenie zapisu problemu do postaci zawierającej jedynie zadania Różnica: zamiast stosować subiektywne podejście do ustalania poziomów aspiracji dla poszczególnych celów-zadań, najpierw znajdujemy ,,najlepsze” i ,,najgorsze” wartości dla tych celów-zadań przy określonych ograniczeniach twardych

Przypomnijmy pierwotne sformułowanie problemu Znaleźć wartości i taki, które: maksymalizują (czyli całkowity zysk w rozważanym okresie czasu) maksymalizują (czyli przechwycone w rozważanym okresie czasu udziały na rynku) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (warunki nieujemności) Założymy, że cztery ograniczenia/zadania będziemy traktowali jako twarde (sztywne)

Rozwiązujemy model decyzyjny w pierwotnym sformułowaniu jako konwencjonalne zadanie programowania liniowego, wykorzystując tylko jeden cel w danej chwili. Po rozwiązaniu takiego problemu:  określimy najlepszą możliwą wartość rozważanego aktualnie celu/zadania;  możemy również określić (przez podstawienie uzyskanych wartości zmiennych decyzyjnych) wartości pozostałych celów/zadań przy optymalnej wartości aktualnie rozważanego celu/zadania

Graficzne rozwiązanie zagadnienia: Punkty wierzchołkowe: Najlepsze rozwiązanie dla Najlepsze rozwiązanie dla

Osiągane poziomy realizacji innych zadań/celów związane z najlepszym osiąganym poziomem dla aktualnie rozważanego zadania/celu Możemy policzyć: , przy najlepszej wartości  wartość Wyniesie ona: ,  wartość przy najlepszej wartości Wyniesie ona:

Zestawienie wyników w tabeli: Optymalizacja ze względu na Optymalizacja ze względu na Wartość Wartość Możemy stwierdzić, że:  wartość pierwszego celu nigdy nie może być większa niż 70, drugiego, większa niż 110 (najlepsze wartości celów)  wartość pierwszego celu nie powinna być mniejsza niż 60, drugiego, mniejsza niż 70 (najgorsze wartości celów)

Uzyskane najlepsze wartości celów/zadań używamy w drugim kroku jako poziomy aspiracji przy formułowaniu Czebyszewskiego PZ w postaci: Znaleźć wartości i takie, które: minimalizują (czyli jednakowe odchylenie od jakiegokolwiek celu/zadania ) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla zysku) (zadanie dla udziałów na rynku) (warunki nieujemności)

Rozwiązanie: Uwaga: Interpretacja geometryczna rozwiązania: Znajdując rozwiązanie w którym minimalizowane jest  minimalizujemy (do tej samej wartości) niepożądane odchylenie od każdego z poziomów aspiracji pojedynczych celów/zadań

Zalety czebyszewskiego PZ:  Każde zadanie/cel jest oddzielnie reprezentowany w modelu (tj. unikamy agregacji)  Od decydenta nie wymaga się estymacji poziomów aspiracji jego celów, ponieważ uzyskiwane są one z rozwiązania serii modeli PL  Nie wymagana jest procedura szeregowania lub ważenia celów/zadań  Potrzebna jest tylko jedna dodatkowa zmienna   Rozwiązanie modelu czebyszewskiego LPZ jest możliwe z pomocą konwencjonalnych metod lub oprogramowania PL

Wady:  Należy rozwiązać tyle modeli PL jak wiele jest funkcji celu (jest to rzadko poważny problem)  Znaczenie odchyleń dla poszczególnych celów/zadań może nie być jednakowe

Programowanie rozmyte Czebyszewskie PZ i programowanie rozmyte są ze sobą ściśle związane - chociaż wielu zwolenników programowania rozmytego zdaje się zapominać o tym, że może być ono postrzegane jako po prostu inna forma programowania zadaniowego Dalej: krótkie przedstawienie programowania rozmytego

Zakładając, że wszystkie cele/zadania podlegają maksymalizacji ogólny model programowania rozmytego może być przedstawiony następująco: zminimalizować spełniając: gdzie: - sztuczna zmienna reprezentująca poziom odchylenia, - funkcja reprezentująca k-ty cel, - maksymalna wartość jaką może przyjąć k-ta funkcja celu (uzyskana przez rozwiązanie kolejnych modeli PL) - minimalna wartość jaką może przyjąć k-ta funkcja celu (uzyskana przez rozwiązanie kolejnych modeli PL)

Inaczej: zminimalizować spełniając:

Obrazowy przykład: Wykorzystując programowanie rozmyte, możemy sformułować następujący model: Znaleźć wartości i takie, które: minimalizują (czyli jednakowy stopień odchylenia od jakiegokolwiek celu/zadania ) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla zysku) (zadanie dla udziałów na rynku) (warunki nieujemności)

Czyli: Znaleźć wartości i takie, które: minimalizują (czyli jednakowy stopień odchylenia od jakiegokolwiek celu/zadania ) spełniając: (ograniczenie dostępności surowca) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 1.) (ograniczenie nasycenia rynku produktu 2.) (zadanie dla zysku) (zadanie dla udziałów na rynku) (warunki nieujemności)

Rozwiązanie modelu: Uwaga:

Interpretacja geometryczna rozwiązania programowania rozmytego: Znajdując rozwiązanie w którym minimalizowane jest  minimalizujemy w jednakowym stopniu niepożądane odchylenie od każdego z poziomów aspiracji pojedynczych celów/zadań