DOMINOWANIE W GRAFACH Magdalena Lemańska

Problem pięciu królowych (1850 r). Jaka jest najmniejsza liczba królowych jaka może być rozmieszczona na szachownicy 8 x 8 tak, by każde pole było w zasięgu jakiejś królowej? Problem pięciu królowych-problem znalezienia „zbioru dominującego” o mocy 5.

G=(V,E); V=V(G)- zbiór wierzchołków, |V(G)|=n(G); E=E(G)- zbiór krawędzi. Dla danych wierzchołków x,y grafu G mówimy, że x dominuje y, jeśli x=y albo jeśli xy E(G). W takim razie x dominuje siebie i wszystkie wierzchołki sąsiednie z wierzchołkiem x. Zbiór DV(G) jest zbiorem dominującym w grafie G, jeśli każdy wierzchołek ze zbioru V(G)-D w grafie G jest dominowany przez wierzchołek ze zbioru D.

Otwarte sąsiedztwo wierzchołka v: NG(v) – zbiór wszystkich wierzchołków połączonych krawędzią z v; Domknięte sąsiedztwo wierzchołka v: NG[v]= NG(v)  {v} Otwarte sąsiedztwo zbioru X V: NG(X) =UvX NG(v); Domknięte sąsiedztwo zbioru: NG[X]=NG(X)X. dG(u,v) – odległość między u i v - długość najkrótszej (u-v)- ścieżki w G Jest kilka sposobów zdefiniowania zbioru dominującego, każdy z nich ilustruje różne aspekty pojęcia dominowania.

Zbiór DV(G) wierzchołków grafu G=(V,E) jest zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy: (i) dla każdego wierzchołka v  V-D istnieje wierzchołek u  D taki, że v jest sąsiedni do u; (ii) dla każdego wierzchołka v  V-D, dG(v,D) 1; (iii) NG[D]=V; (iv) dla każdego wierzchołka v  V-D, |NG(v)D| 1, czyli każdy wierzchołek v  V-D jest sąsiedni do przynajmniej jednego wierzchołka z D; (v) dla każdego wierzchołka v  V, |NG[v]  D|  1.

Jeśli D jest dominujący w G, to każdy nadzbiór D’ D też jest Z drugiej strony, nie każdy podzbiór D”  D jest dominujący w G. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący, jeśli żaden podzbiór właściwy D”  D nie jest dominujący.

Twierdzenie 1. Zbiór dominujący D jest minimalnym zbiorem dominującym wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka u  D zachodzi jeden z dwóch warunków: a) u jest izolowany w D; b) istnieje v  V-D, dla którego NG(v)  D = {u}. Niech D - zbiór dominujący i niech u  D. Mówimy, że wierzchołek v jest prywatnym sąsiadem wierzchołka u (w odniesieniu do D), jeśli NG[v]  D = {u}. Zbiór prywatnych sąsiadów wierzchołka u: PN[u,D]={v : NG[v] D = {u} }. u  PN[u,D], jeśli jest izolowany w podgrafie indukowanym G[D], wtedy mówimy, że u jest swoim własnym prywatnym sąsiadem.

Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wierzchołek z D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada. Twierdzenie 2. Każdy spójny graf G rzędu co najmniej dwa posiada zbiór dominujący D, którego dopełnienie V-D też jest zbiorem dominującym. Twierdzenie 3. Jeśli G jest grafem bez wierzchołków izolowanych, to dopełnienie V-D każdego minimalnego zbioru dominującego D jest zbiorem dominującym w G. Moc najmniejszego zbioru dominującego w grafie G nazywamy liczbą dominowania grafu G i oznaczamy  (G). Moc największego zbioru minimalnego dominującego w grafie G nazywamy górną liczbą dominowania grafu G i oznaczamy  (G).

 (G)=3  (G)=5 Ograniczenia na liczbę dominowania. Twierdzenie 4 (Ore) Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych, to  (G)  n/2.

Twierdzenie 5. Dla grafu G bez wierzchołków izolowanych, rzędu n, gdzie n jest parzyste,  (G) = n/2 wtedy i tylko wtedy, gdy składowymi grafu G są cykl C4 albo korona HK1 dla dowolnego grafu spójnego H. Korona dwóch grafów G1 i G2 jest to graf G = G1  G2 powstały z jednej kopii G1 oraz |V(G1)| kopii G2 gdzie i-ty wierzchołek G1 jest sąsiedni do każdego wierzchołka w i-tej kopii G2. W szczególności, G = H K1 jest grafem powstałym z kopii H gdzie do każdego wierzchołka v  V(H) dodajemy nowy wierzchołek v’ i krawędź wiszącą vv’.

Twierdzenie 6. Dla każdego grafu G,  (G)  n - (G). Podział krawędzi uv w grafie G otrzymujemy przez usunięcie krawędzi uv, dodanie nowego wierzchołka w oraz dodanie krawędzi uw i vw. Ranny pająk jest to graf powstały przez podział co najwyżej t-1 krawędzi gwiazdy K1,t dla t  0. Twierdzenie 7. Dla każdego drzewa T,  (T) = n - (T) wtedy i tylko wtedy, gdy T jest rannym pająkiem. Twierdzenie 8. Jeśli graf G nie ma wierzchołków izolowanych oraz diam(G)  3, to  (Gd) = 2, gdzie Gd jest dopełnieniem grafu G. Twierdzenie 9. Jeśli  (Gd)  3, to diam(G)  2.

Obwód grafu G, ozn. g(G) jest to długość najkrótszego cyklu w G (jeśli graf posiada cykl). Twierdzenie 10. Dla każdego grafu G, jeśli g(G)  5, to  (G)  (G), jeśli g(G)  6, to  (G)  2((G)-1). Zbiory niezależne. Niech i(G) oznacza moc najmniejszego maksymalnego zbioru niezależnego w grafie G; 0 – moc największego zbioru niezależnego w G.

Drzewo T ma zbiory maksymalne niezależne o trzech rozmiarach. i(T)=3 0(T)=5

Twierdzenie 11. Niezależny zbiór S jest maksymalny niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezależny i dominujący. Wniosek: Każdy zbiór maksymalny niezależny jest zbiorem dominującym. Zbiory dominujące. Drzewo T ma zbiory minimalne dominujące o czterech rozmiarach.  (T)=2  (T)=5

Twierdzenie 12. Każdy zbiór maksymalny niezależny w G jest minimalnym zbiorem dominującym w G. Wniosek: Dla każdego grafu G,  (G)  i(G)  0(G)   (G). Zbiory nienadmierne. Możemy powiedzieć, że zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy: (*) dla każdego wierzchołka v  D, istnieje wierzchołek w  V-(D-{v}), który nie jest dominowany przez D-{v}. Warunek (*) można wyrazić w języku „prywatnych sąsiadów”.

PN[4,D]={1,2,3,4} PN[6,D]={6} PN[7,D]={7} PN[v,D]=NG[v]-NG[D-{v}] W warunku (*) wierzchołek w musi być prywatnym sąsiadem wierzchołka v w odniesieniu do D (możliwe jest w=v). (**) zbiór D jest zbiorem minimalnym dominującym w G wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka v  D, PN[v,D] , czyli każdy wierzchołek v  D ma przynajmniej jednego prywatnego sąsiada.

Jeśli jest spełniony warunek (**), to mówimy, że zbiór D jest zbiorem nienadmiernym. Twierdzenie 13. Zbiór dominujący D jest minimalny dominujący wtedy i tylko wtedy, gdy jest dominujący i nienadmierny. Rozważmy maksymalne zbiory nienadmierne w grafie G. Zbiór nienadmierny S jest maksymalny nienadmierny, jeśli dla każdego wierzchołka u  V-S, zbiór S  {u} nie jest nienadmierny, czyli istnieje przynajmniej jeden wierzchołek w  S  {u}, który nie ma prywatnego sąsiada. W takim razie, nienadmierny zbiór S jest maksymalny nienadmierny, jeśli zachodzi następujący warunek: (***) dla każdego wierzchołka w  V-S istnieje wierzchołek v  S  {w}, dla którego PN[v, S  {w}] =  .

Moc najmniejszego zbioru maksymalnego nienadmiernego w G oznaczamy ir(G) i nazywamy liczbą nienadmierności. Moc największego zbioru nienadmiernego w G oznaczamy IR(G) i nazywamy górną liczbą nienadmierności. Na czerwono zaznaczone są zbiory maksymalne nienadmierne. ir(G)=2 IR(G)=3

Twierdzenie 14. Każdy zbiór minimalny dominujący w G jest zbiorem maksymalnym nienadmiernym w G. Twierdzenie 15. Dla każdego grafu G, ir(G)  (G)  i(G)  0(G)   (G)  IR(G) . ir(G)=4  (G)=5

Twierdzenie 16. Dla każdego grafu G,  (G)/2 < ir(G)   (G)  2ir(G)-1. Twierdzenie 17. Dla każdego grafu G, IR(G)  n -  (G). Inne rodzaje dominowania. Oprócz dominowania, rozważa się dodatkowe własności zbiorów wierzchołków, rozważając własności podgrafów indukowanych przez te zbiory.

Dominowanie spójne (Sampathkumar, Walikar, 1979) Zbiór dominujący D nazywamy zbiorem spójnie dominującym, jeśli D jest dominujący i G[D] jest spójny. Moc najmniejszego zbioru spójnie dominującego w G nazywamy liczbą dominowania spójnego grafu G i oznaczamy c (G). Każdy zbiór spójnie dominujący jest dominujący, więc dla każdego grafu spójnego G mamy  (G)  c (G). Twierdzenie 18. W każdym grafie spójnym G istnieje zbiór spójnie dominujący S taki, że |S|  20(G) – 1. Wniosek: Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 20(G) – 1.

Twierdzenie 19. (Duchet, Meyniel) Dla każdego grafu spójnego G, c (G) 3 (G)-2. Lemat 20. Jeśli w grafie spójnym G istnieje najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest zbiorem niezależnym, to ir(G) =  (G) = i(G). Twierdzenie 21. Jeśli G jest spójny, to ir(G)  c (G)  3ir (G)- 2. Wniosek: Jeśli G jest spójny, to c (G)  3i (G)- 2. Nierówności są najlepsze z możliwych. Przedstawimy przykłady, dla których zachodzą równości. Twierdzenie 22. Jeśli G jest grafem, który nie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafów indukowanych, to ir(G) =  (G) = i(G).

A-L- graf Przykład 1. Dla dowolnej liczby naturalnej p rozważmy graf G=C3p. W takim grafie c (C3p) = 3p-2. Zbiór D, do którego należy co trzeci wierzchołek cyklu jest niezależnym zbiorem nienadmiernym i dominującym, |D|=p. Widać, że taki graf nie zawiera K1,3 ani A-L-grafu jako podgrafu indukowanego, więc ir(C3p) =  (C3p) = i(C3p)= p.

Przykład 2. Dla dowolnych liczb naturalnych s i t rozważmy graf H otrzymany przez utożsamienie ze sobą jednego z wierzchołków każdego z cykli C3s,C3t . W takim grafie jest 3(s+t)-1 wierzchołków oraz c (H) = 3(s+t)-5. W grafie tym znajdziemy najmniejszy maksymalny zbiór nienadmierny, który jest również zbiorem niezależnym (do zbioru tego musi należeć wierzchołek powstały przez utożsamienie), wiec zgodnie z lematem 20 mamy ir(H) = (H) = i(H) = s + t – 1. Na rysunku jest przedstawiony graf G, dla którego s = t = 2, a wierzchołek v z jednego cyklu jest utożsamiony z wierzchołkiem u z drugiego. Widać, ze ilość wierzchołków w tym grafie n = 11; c (G) =3(2 + 2) - 5 = 7; ir(G) =  (G) = i(G) = 2 + 2 - 1 = 3.

Z łańcucha dominowania oraz z tego, że c (G) 20(G) – 1 wynika również, że c (G) 2 (G) – 1 oraz c (G) 2IR(G) – 1 Ograniczenia te sa najlepsze z możliwych. Na przykład w cyklu C5 mamy 0 (C5) =  (C5) = IR(C5) = 2; c (C5) = 3. (Sampathkumar, Walikar) Dla każdego spójnego podgrafu spinającego H grafu G mamy c (H)  c (G). Dla każdego grafu spójnego G istnieje drzewo spinające T grafu G takie, że c (G) = c (T) = n(G) – n1(T), gdzie n1 oznacza ilość wierzchołków końcowych w T. Drzewo to ma największą z możliwych ilość wierzchołków końcowych.

Twierdzenie 23. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami zachodzi równość c (G) + (G) = n, gdzie  (G) oznacza największą ilość wierzchołków końcowych w drzewie spinającym grafu G. Twierdzenie 24. Dla każdego grafu spójnego G z n wierzchołkami i największym stopniem wierzchołka (G) zachodzi nierówność c (G)  n - (G). W roku 1956 E.A. Nordhaus oraz J.W. Gaddum znaleźli ograniczenia dla sumy i iloczynu liczb chromatycznych grafu G i jego dopełnienia Gd: (G)+ (Gd)  n+1, n  (G)(Gd) (n+1)(n+1)/4

Podobnych ograniczeń szuka się również dla różnych liczb dominowania. Ogólnie zagadnienia typu Nordhausa-Gadduma polegają na znalezieniu podobnych ograniczeń dla sumy i iloczynu pewnego niezmiennika grafu G i tego samego niezmiennika dopełnienia Gd grafu G. Hedetniemi i Laskar znaleźli górne ograniczenie dla sumy liczb spójnego dominowania dla grafu G i jego dopełnienia. Twierdzenie 25. Jeśli G i jego dopełnienie Gd są spójne, to c (G)+ c (Gd)  n+1. Twierdzenie 26. Dla każdego drzewa T z co najmniej dwoma wierzchołkami, różnego od gwiazdy, mamy c (T)+ c (Td)  n.

Dominowanie wypukłe i słabo wypukłe. (prof. Topp) Zbiór XV jest wypukły w G, jeśli wszystkie wierzchołki każdej najkrótszej (x-y)-ścieżki należą do X dla każdych x,y należących do zbioru X. Zbiór XV nazywamy słabo wypukłym w G, jeśli dla każdych dwóch wierzchołków x,y należących do zbioru X istnieje najkrótsza (x-y)-ścieżka, której wierzchołki należą do X. Liczba dominowania słabo wypukłego w G, oznaczana wcon(G), jest to moc najmniejszego zbioru słabo wypukłego dominującego w G, natomiast liczba dominowania wypukłego w G, oznaczana con(G), jest to moc najmniejszego zbioru wypukłego w G.

Dominowanie spójne: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie słabo wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, istnieje najkrótsza (u-v)- ścieżka, której wierzchołki należą do D; Dominowanie wypukłe: dla każdych dwóch wierzchołków u,v należących do zbioru dominującego D, wierzchołki ze wszystkich najkrótszych (u-v)- ścieżek należą do D.

Lemat 27 Dla każdej liczby naturalnej n 7 i dla każdej liczby naturalnej k, 7 k  n, istnieje graf G rzędu n taki, że con(G)= wcon(G) = k. Obserwacja 28: Dla każdego grafu spójnego G jest (G) c(G)  wcon(G)  con(G). Twierdzenie29 Dla dowolnych k,r N, r 3, istnieje graf G taki, że c(G) - wcon(G) = r oraz con(G) - c(G) = con(G) - wcon(G) =k. Twierdzenie 30 Każda z różnic con(G) - 0 oraz con(G) -  może być dowolnie duża. Twierdzenie 31 Jeśli G jest spójny, nie posiada wierzchołków końcowych oraz nie istnieje w G cykl indukowany długości mniejszej niż 6, to con(G) = n.

Niech G  H będzie iloczynem kartezjańskim grafów spójnych G i H. Dla zbioru D V(G  H ) oznaczmy: DG = {u V(G): (u,v)  D dla pewnego v V(H)}; DH = {u V(H): (u,v)  D dla pewnego v V(G)}. Hipoteza Vizinga: Dla każdych dwóch grafów G, H jest (G) (H)   (G  H ) Twierdzenie 32 (Canoy, Garces) Zbiór D  V(G  H ) jest wypukły w G  H wtedy i tylko wtedy, gdy D=DG DH, gdzie DG jest wypukły w G i DH jest wypukły w H. Twierdzenie 33 Jeśli D jest dominujący w G  H, to DG jest dominujący w G i DH jest dominujący w H. Twierdzenie 34 Dla dowolnych grafów spójnych G i H jest con(G) con(H)  con(G  H).

Dominowanie słabo spójne (Dunbar, Grossman, Hedetniemi, Hatting, 1997) Podgraf słabo indukowany przez D  V(G) - graf G[D]w=(NG[D],Ew); e Ew jeśli e ma przynajmniej jeden koniec w D; D  V(G) – zbiór słabo spójny dominujący, jeśli D jest dominujący oraz G[D]w (<D>w) jest spójny; Liczba dominowania słabo spójnego grafu G, ozn. w(G)- moc najmniejszego zbioru słabo spójnego dominującego w G.

G[D]w = (NG[D], Ew)

Równości między liczbami dominowania.