Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński Elektrodynamika dla EiT, AiR – sem. 2 Konsultacje: czwartek 13-15 wykład 1g. ćwiczenia 1g. Doc. dr hab. inż. Marek Kitliński pok. 718 Katedra Inżynierii Mikrofalowej i Antenowej

Zagadnienia (wykłady): Pojęcie pola, pole wektorowe i skalarne, źródła pól. Własności ośrodków materialnych. Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola. Pole elektryczne i jego źródła. Pojęcie gęstości ładunków. Dipol elektryczny. Potencjał elektryczny, sens fizyczny, pojęcie różnicy potencjałów. Pole magnetyczne i jego źródła. Prawo sił Ampera. Prawo Biot-Savarte’a. Wektorowy potencjał magnetyczny. Dipol magnetyczny, konfiguracja Helmholtza, solenoid. Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości.

Równanie Poissona i Laplace’a, równanie ciągłości. Prawa elektrodynamiki: prawo Gaussa, prawo źródeł magnetycznych, prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe prawo Ampera. Równania Maxwella Zależności energetyczne. Zasada zachowania mocy i energii. Równanie Poyntinga. Warunki spełnione przez wektory pól na granicy dwóch ośrodków materialnych. Czas relaksacji. Warunki graniczne przy powierzchni idealnego przewodnika.

Układy współrzędnych ortogonalnych. Program ćwiczeń (15 godz.): Rachunek wektorowy. Układy współrzędnych ortogonalnych. Operacje wektorowe oraz różniczkowo-całkowe w układach współrzędnych ortogonalnych. 4. Operatory różniczkowe: gradient, dywergencja 5. Operatory różniczkowe: rotacja, laplasjan 6. Twierdzenie Gaussa i Stoke’sa 7. Badanie pól wektorowych i skalarnych 8. Kolokwium

Program ćwiczeń (15 godz.) c.d.: 9. Prawo Coulomba, potencjał elektryczny 10. Źródła pola elektrycznego, prawo Gaussa 11. Równanie Laplace’a i Poissona 12. Źródła pola magnetycznego, prawo sił Ampera, prawo Biot-Savarte’a 13. Prawo Faraday’a, uogólnione obwodowe prawo sił Ampera 14. Zasada zachowania energii 15. Kolokwium II

Warunki zaliczenia w trakcie semestru: 2 kolokwia w ramach ćwiczeń: 50 pkt. Test z teorii (ostatni tydzień zajęć): 50 pkt. W sumie do zdobycia: 100 pkt. Ocena dostateczna wymaga uzyskania sumarycznie 50 pkt., przy warunku min.20 pkt. z ćwiczeń i 20 pkt. z testu. Uzyskanie 30 pkt. z ćwiczeń (zadań) lub z testu nie wymaga powtarzania zaliczenia tej części w kolejnych terminach.

Skala ocen: Podręczniki: dobry plus pkt. 78-86 celujący 95-100 bardzo dobry 87-95 dobry 69-77 dost. plus 60-69 dostateczny 50-59 Podręczniki: T. Morawski, W. Gwarek, Teoria Pola Elektromagnetycznego (Pola i Fale Elektromagnetyczne), WNT, Warszawa, 1998. 2. David J. Griffiths, Podstawy elektrodynamiki, PWN, Warszawa, 2001. oraz różnorodne podręczniki z fizyki na poziomie uniwersyteckim obejmujące elektryczność i magnetyzm, elektromagnetyzm i elektrodynamikę.

Typowe oznaczenia i jednostki układu SI częstotliwość f 1 Herz = 1Hz = 1/s potencjał elektryczny, napięcie U 1 Volt = 1V natężenie prądu I 1 Amper = 1 A gęstość powierzchniowa prądu Js 1 A/m2 praca lub energia W 1 Joul = 1 J = 1 V*A*s moc P 1 Watt = 1 W powierzchniowa gęstość mocy p, S 1 W/m2 objętościowa gęstość mocy pv 1 W/m3 ładunek elektryczny q, Q 1 Culomb = 1 C = 1 A*s objętościowa gęstość ładunku ρv 1 C/m3 objętościowa gęstość energii w 1 J/m3 = 1 V*A*s/m3

Typowe oznaczenia i jednostki układu SI moc P 1 Watt = 1 W powierzchniowa gęstość mocy p, S 1 W/m2 objętościowa gęstość mocy pv 1 W/m3 ładunek elektryczny q, Q 1 Culomb = 1 C = 1 A*s objętościowa gęstość ładunku qv 1 C/m3 powierzchniowa gęstość ładunku qs 1 C/m2 liniowa gęstość ładunku 1 C/m natężenie pola elektrycznego E 1 V/m natężenie pola magnetycznego H 1 A/m

Typowe oznaczenia i jednostki układu SI indukcja elektryczna D 1 C/m2 = 1 A*s/m 2 indukcja magnetyczna B 1Tesla [T] = 1 Wb/m 2 = 1 V*s/m 2 pojemność elektryczna C 1 Farad = 1 F = 1 A*s/V przenikalność elektryczna ε 1 F/m = 1 A*s/V*m indukcyjność L 1 Henr = 1 H = 1 V*s/A przenikalność magnetyczna μ 1 H/m = 1 V*s/A*m wektorowy potencjał magnetyczny A 1 Weber/m = 1Wb/m = 1 V*s/m rezystancja R 1 Ohm = 1 Ω = 1 V/A rezystywność ρ 1 Ω/m przewodność (konduktywność) σ 1 Siemens/m = 1 S/m = 1/ Ω*m

Elektrodynamika – elektryczność i magnetyzm ? Elektrodynamika – kwantowa czy klasyczna ? Elektrodynamika klasyczna: niekwantowe przybliżenie praw elektromagnetyzmu, lub przypadek graniczny elektrodynamiki kwantowej.

Założenia elektrodynamiki klasycznej: Elektrodynamika klasyczna: - materia traktowana jest jako ośrodek ciągły zależność wszystkich wielkości od czasu jest zdeterminowana energia rozchodzi się w postaci fal Elektrodynamika klasyczna: nauka opisująca zachowanie się i oddziaływanie obiektów materialnych obdarzonych ładunkami elektrycznymi oraz analizą zjawisk temu towarzyszących.

Pole elektromagnetyczne ? Przestrzeń, z której każdym punktem można związać wartość jednego z czterech pól wektorowych: - natężenie pola elektrycznego [V/m] - natężenie pola magnetycznego [A/m] indukcja pola elektrycznego lub gęstość strumienia elektrycznego [C/m2] indukcja pola magnetycznego lub gęstość strumienia magnetycznego [Wb/m2] - źródłami pola są ładunki i prądy rozchodzi się (pole - zaburzenie?) w przestrzeni ze skończoną i stałą niezależną od obserwatora prędkością: c ≈ 300Mm/s = 3 * 108 m/s

Ogólnie przestrzeń nas otaczającą można podzielić na: ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Ogólnie przestrzeń nas otaczającą można podzielić na: próżnię i ośrodki materialne. Próżnia w ujęciu klasycznej elektrodynamiki posiada zdolność przenoszenia i magazynowania energii, a więc pewnej formy materii – niekonsekwencja w/w podziału? Własności ośrodków materialnych: stany skupienia jednorodność liniowość izotropowość dyspersyjność

Plazma – ośrodek całkowicie zjonizowany, obojętny ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Stany skupienia stały ciekły gazowy plazma ? Plazma – ośrodek całkowicie zjonizowany, obojętny elektrycznie dla zewnętrznego obserwatora, np. jonosfera

Ośrodek nazywamy jednorodnym jeżeli parametry ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE JEDNORODNOŚĆ Równania materiałowe: ε przenikalność elektryczna [F/m] μ przenikalność magnetyczna [H/m] σ przewodność [S/m] Ośrodek nazywamy jednorodnym jeżeli parametry materiałowe zależą od punktu przestrzeni, tzn. zachodzi: Jeżeli przynajmniej jedna z powyższych nierówności nie jest spełniona, to ośrodek jest niejednorodny ze względu na dany parametr materiałowy.

Jeżeli równania materiałowe – zawierające parametry ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE LINIOWOŚĆ Jeżeli równania materiałowe – zawierające parametry nie zależą od wartości przyłożonych pól, to ośrodek nazywamy liniowym. Oznacza to, że równania: są równaniami liniowymi W przeciwnym przypadku: są równaniami nieliniowymi i tak też są nazywane odpowiednie ośrodki

izotropowość - anizotropowość ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Jeżeli wektory są parami równoległe, czyli parametry materiałowe są wielkościami skalarnymi, to ośrodek zaliczamy do izotropowych. W przeciwnym przypadku, gdy wielkości te mają charakter tensorowy, czyli własności ośrodka zależą od kierunku w przestrzeni, ośrodek nazywamy anizotropowym. Mogą zachodzić wtedy relacje typu: gdzie: - tensor przenikalności elektrycznej, np. magnesowana plazma; - tensor przenikalności magnetycznej, np. magnesowany ośrodek ferrytowy; - tensor przewodności, np. papier pokryty warstwą rezystywną.

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE izotropowość - anizotropowość Przykładowa relacja: Gdy tensor jest symetryczny, mówimy o anizotropii zwykłej. Gdy własności ośrodka zależą od specyficznego kierunku pola polaryzującego ośrodek (np. stałe pole lub ) wprowadza się pojęcie ośrodka żyrotropowego. Przykładowo magnesowany w kierunku osi z ferryt opisany jest tensorem postaci:

ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE Czasem spotyka się proste postaci tensorów przenikalności, spotykane w kryształach, ceramice podłożowej, nazywane przypadkiem anizotropii jednoosiowej: Najnowsze badania materiałowe pozwalają wytworzyć ośrodki nazywane bianizotropowymi, dla których wektory indukcji zależą jednocześnie od pól i :

to nazywamy taki ośrodek dyspersyjnym; ELEKTRODYNAMIKA – OŚRODKI MATERIALNE DYSPERSYJNOŚĆ Jeżeli parametry (własności) ośrodka zależą od częstotliwości sygnału, który do tego ośrodka wprowadzamy, to nazywamy taki ośrodek dyspersyjnym; w przeciwnym przypadku: ośrodek bezdyspersyjny.

Notacja wiążąca punkt źródła i punkt pola - punkt pola (obserwator) - wektor źródła (x,y,z) punkt obserwacji (x’,y’,z’) - źródło - wektor pola na ogół Definiujemy czyli wektor wiążący położenie źródła i punkt obserwacji:

zmiana punktu pola (punktu obserwacji): zmiana położenia źródła: gdzie operator :

Czasem wykorzystuje się zależności: wykazać! gdzie jest funkcją delta Diraca zdefiniowaną relacją: jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0 jeśli V’ obejmuje R=0 jeśli V’ nie obejmuje R=0

lub bardziej precyzyjnie: Pole elektryczne Def. lub bardziej precyzyjnie: Prawo Coulomba:

ale czyli: Stąd: gdzie:

Układ źródeł punktowych Rozważmy pole wywołane zbiorem ładunków punktowych rozłożonych w przestrzeni: czyli: lub gdzie:

W praktyce obserwujemy fluktuację przestrzenną ładunków (e, jony). Ujęcie makroskopowe: Zastąpienie układu ładunków dyskretnych ciągłym rozkładem ładunków. Rozważmy objętość V zawierającą pewien rozkład ciągły ładunków: - objętościowa gęstość ładunków

Def.: Podobnie, gdy rozważymy powierzchnię z równomiernie rozłożonymi ładunkami. Wtedy: oraz dla ciągłego rozkładu ładunków wzdłuż pewnej linii: Ładunek związany z objętością, powierzchnią, linią: Całkowity ładunek odpowiednio:

Dla dyskretnego rozkładu ładunków: czyli dla rozkładu ciągłego: gdy oraz lub lub lub

Przykład: Pole elektryczne wytworzone przez ładunki punktowe o ciągłym rozkładzie liniowym

brak możliwości wystąpienia składowej ale czyli:

Wniosek: Składowa radialna pola elektrycznego od „nieskończonego” ładunku liniowego zmienia się jak (w układzie cylindrycznym). Pole wywołane źródłami punktowymi zmienia się jak (w układzie sferycznym).

Przykład: Statyczny dipol elektryczny -2 ładunki – równe – różnoimienne – odległe o „d” moment dipolowy elektryczny:

Ale, jeżeli r >> d, wtedy: czyli:

Uwzględniając: r >> d Ale:

czyli dla r >> d Pole pochodzące od dipola elektrycznego zanika jak (w układzie sferycznym).

Potencjał elektryczny Rozważmy 2 ładunki jednoimienne siła oddziaływania coulombowskiego siła mechaniczna potrzebna dla utrzymania równowagi

Praca – potrzebna do przesunięcia ładunku q: ale czyli: Praca całkowita – potrzebna do przesunięcia ładunku q z punktu 1 do punktu 2:

RÓŻNICA POTENCJAŁÓW Jeżeli punkt 2 , to , tzn. potencjał wywołany źródłem umieszczonym w nieskończoności

Wtedy: Praca na jednostkę ładunku wykonana przez siły pola na przemieszczenie ładunku jednostkowego do nieskończoności Praca na jednostkę ładunku, którą należy wykonać przeciw siłom pola, aby przemieścić ładunek jednostkowy z nieskończoności do punktu 1 - jeżeli cząsteczka naładowana porusza się przeciwnie w stosunku do kierunku pola elektrycznego, wtedy praca jest dodatnia – analogia do mechanicznego pola grawitacyjnego Potencjał elektryczny równoważny jest pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku w polu elektrycznym

POLE MAGNETYCZNE Założenia: Równanie: Źródła: prądy, magnesy trwałe Ładunek testujący porusza się z prędkością , tworząc w ten sposób element prądowy: 3. Siła oddziaływania magnetycznego jest prostopadła do (eksperyment) Równanie: wiążące amplitudę siły i pola B (gęstość strumienia magnetycznego):

lub dokładniej: Fmax – największa wartość siły jaka obserwowana jest przy zmianie kierunku wektora . Uwzględniając kierunki wektorów: jest to definicja wektora - określająca siłę działającą na ruchomy ładunek testujący

dla ładunku punktowego Energia dostarczona ruchomemu ładunkowi przez pole : gdy oba pola występują równocześnie: RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ładunku punktowego

RELACJE PRĄDOWE W praktyce określa się siłę działającą nie na pojedynczy ładunek ruchomy, ale wywieraną na ciągłe przestrzenne rozkłady poruszających się ładunków lub na przewodnik z prądem. Rozważmy „cylinder” z ruchomym ładunkiem poruszającym się z prędkością .

Gęstość prądu przenikającego przez A:

dla ciągłego rozkładu ładunków czyli, ponieważ mają zgodne kierunki: lub, gdy występują jednocześnie: RÓWNANIE SIŁ LORENZA dla ciągłego rozkładu ładunków Gdy A jest const. Wygodnie jest wprowadzić natężenie prądu:

wtedy : czyli: gdy długość przewodnika wynosi :

Magnet N S Coil Moving Cone Vibration Axis

PRAWO SIŁ AMPERA pętla źródłowa (1) pętla testująca (2) analog prawa Coulomba prawo magnetostatyczne określa siłę oddziaływania dwóch elementów prądowych (w postaci różniczkowej) lub siłę wzajemnego oddziaływania pętli z prądami (w postaci całkowej) pętla źródłowa (1) pętla testująca (2)

PRAWO SIŁ AMPERA W postaci różniczkowej: W postaci całkowej – siła działająca na pętlę testującą w obecności pętli źródłowej:

PRAWO BIOT-SAVARTE’a Korzystając z definicji pola wytworzonego przez element prądowy: mamy więc: gdzie określa przyrost wektora strumienia magnetycznego wywołany elementem źródłowym oraz korzystając z prawa sił Ampera:

odczytujemy: pole magnetyczne wytworzone przez element prądowy PRAWO Biot-Savarte’a w postaci różniczkowej albo całkowite pole generowane przez pętlę źródłową: PRAWO BIOT-SAVARTE’a dla pojedynczej pętli z prądem I Ponieważ: więc

Prawo Biot-Savarte’a dla źródeł istniejących w pewnej objętości V’ Jeżeli element źródłowy zawarty jest w objętości V, to całkowite pole wytwarzane przez źródła w V : Prawo Biot-Savarte’a dla źródeł istniejących w pewnej objętości V’ czasem: „całka źródeł prądowych” wcześniej znaleźliśmy:

POTENCJAŁ WEKTOROWY Tożsamość wektorowo-różniczkowa: czyli: gdyż działa na zmienne pola, a jest zależny od Pole wytworzone przez źródła zawarte w objętości V: lub

Implikuje to możliwość wprowadzenia wektorowej funkcji potencjalnej : pole wektorowe, którego amplituda i kierunek określane są przez całkę źródeł prądowych Łatwo zauważyć, że (tożsamość): czyli: prawo źródeł magnetycznych

ŹRÓDŁA POLA MAGNETYCZNEGO 1. Pętla z prądem I

PRAWO BIOT-SAVARTE’A: oraz znak – dla znak + dla ze względu na symetrię

Zauważamy, że dla oraz jeśli zastosujemy N - pętli I NI

2. Konfiguracja Helmholtza y x I d a z Każda z cewek (pętli) może posiadać N przewodników:

3. Solenoid dla Wykazać: Znaleźć: jeżeli cylinder z N pętli przewodzących rozłożonych równomiernie na długości L L P z a z’

Liczba przewodników na element długości wynosi Pole w punkcie z: Obliczając: Gdy L >> a oraz wtedy: i przy tych założeniach jest jednorodne

4. Dipol magnetyczny Rozważmy pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem. Szukamy tego rozwiązania w dowolnym punkcie przestrzeni. a

Potencjał ale czyli: oraz można wykazać, że: jednocześnie, przy r >> a, otrzymuje się: po scałkowaniu:

definiując magnetyczny moment dipolowy Pamiętając, że , natomiast z rysunku definiując magnetyczny moment dipolowy można zapisać wektorowy potencjał magnetyczny: ale pamiętając, że: pole magnetyczne wytworzone przez pętlę z prądem (dipol magnetyczny): dla porównania pole wytworzone przez dipol elektryczny:

5. Przewodnik z prądem I r P I Z prawa Biot-Savart’a

pole wytworzone przez nieskończenie długi przewodnik z prądem I: uwzględniając (z rysunku): czyli pole wytworzone przez nieskończenie długi przewodnik z prądem I:

Rozważmy dwa długie przewodniki, w których płyną prądy oraz : siła / jednostkę długości: (współrzędne cylindryczne)

Prawa pola elektromagnetycznego PRAWO GAUSSA Rozważmy ładunek punktowy Q otoczony pewną dowolną powierzchnią S

Strumień pola elektromagnetycznego przenikający powierzchnię dS: Całkowity strumień przenikający powierzchnię zamkniętą S: Rzut wektora na kierunek pola

Pole wytworzone przez ładunek punktowy - z prawa Coulomba: Całkując po powierzchni kuli o promieniu R: Całkowity strumień pola E Całkowity strumień pola D równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S równy jest ładunkowi Q istniejącemu w objętości ograniczającej powierzchnię S (odniesionemu do przenikalności elektrycznej ośrodka)

Prawo Gaussa Całkowite pole D lub E (strumień) przenikające określoną powierzchnię zamkniętą S jest proporcjonalne do całkowitego ładunku Q zawartego wewnątrz objętości V przy dowolnym /dyskretnym lub ciągłym/ rozkładzie przestrzennym ładunku. W przypadku ładunku punktowego jego położenie wewnątrz V ograniczonej przez powierzchnię S jest dowolne.

Wcześniej określiliśmy pole gdy znane były jego źródła: lub: Zakładając spełnienie wszystkich założeń dotyczących ciągłości i różniczkowalności można wykonać operację div w pewnym punkcie pola:

Korzystając z własności: Gdy całkowanie jest rozciągnięte na objętość V’ zawierającą ładunek o gęstości : Korzystając z własności: oraz pamiętając definicję : jeśli V obejmuje R=0 jeśli V nie obejmuje R=0 Prawo GAUSSA w postaci różniczkowej (dla punktu przestrzeni) lub dla ośrodka izotropowego o znanej przenikalności elektrycznej:

lub Całkując po dowolnej objętości V: oraz korzystając z twierdzenia Gaussa /twierdzenia o dywergencji/:

Czasem zapisuje się ogólnie - aby uwzględnić wszystkie formy istnienia (opisu) ładunków: PRAWO GAUSSA – słuszne jest zarówno w przypadku statycznym, jak i dynamicznym – prawo elektrodynamiki

RÓWNANIE POISSONA i LAPLACE’A Z prawa GAUSSA w postaci różniczkowej: zakładając, że ośrodek jest jednorodny i izotropowy:

czyli: Równanie Poissona wiąże funkcję potencjalną z gęstością ładunku. W wielu przypadkach funkcja potencjalna jest wykorzystywana w obszarach, gdzie . Wtedy: Równanie Laplace’a

Przykład 1: Nieskończona płaszczyzna z ładunkiem o gęstości Z prawa Gaussa:

czyli stąd dwie płaszczyzny z ładunkami różnoimiennymi

Rozważmy statyczne pole elektryczne: Czyli, wykonując operację rotacji otrzymujemy: lub ? nie jest to słuszne dla przypadku zmian w czasie B Pole elektryczne jest zachowawcze (podobnie jak pole grawitacyjne) A

Eksperyment Faraday’a: pętla źródłowa pętla detekcyjna Napięcie pomiędzy dwoma punktami pętli odbiorczej:

PRAWO FARADAY’A lub gdzie: stosując twierdzenie Ostrogradskiego – Stockes’a: PRAWO FARADAY’A w postaci całkowej

Jeżeli S nie zmienia się w czasie, wtedy: porównując wyrażenia podcałkowe, otrzymujemy dla punktu przestrzeni (postać różniczkowa):

RÓWNANIE CIĄGŁOŚCI Rozważmy objętość V zawierającą ładunek Q Prąd I przepływający przez powierzchnię S ograniczającą V Całkowity prąd wypływający z V musi powodować zmniejszenie się ładunków zmagazynowanych wewnątrz V, czyli:

Równanie ciągłości w postaci różniczkowej Wykorzystując twierdzenie o div: Równanie ciągłości w postaci całkowej Ponieważ V’ tu jest dowolne, więc: Równanie ciągłości w postaci różniczkowej (dla punktu przestrzeni) W przypadku statycznym, tzn. gdy Równanie ciągłości dla przypadku statycznego

PRAWO ŹRÓDEŁ MAGNETYCZNYCH Odpowiednik prawa Gaussa – określa własności źródeł pola . - wektor gęstości strumienia magnetycznego. Całkowity strumień przenikający powierzchnię S: Dowiedziono eksperymentalnie, że nie istnieją ładunki magnetyczne analogiczne do elektrycznych, których własności opisuje prawo Gaussa. Postać różniczkowa prawa źródeł magnetycznych Postać całkowa prawa źródeł magnetycznych

Nie oznacza to, że nie ma źródeł pola magnetycznego, a jedynie brak ładunków punktowych magnetycznych, które stanowią punkty końcowe linii sił pola. W konsekwencji – linie sił pola są liniami zamkniętymi. pole magnetyczne nazywane jest dlatego: solenoidalnym l u b b e z ź r ó d ł o w y m (źródłowość, czyli )

(Prawo Ampera – Oersteda) OBWODOWE PRAWO AMPERA (Prawo Ampera – Oersteda) Oersted wykazał, że pola magnetyczne wytwarzane są przez prądy. Amper sformułował dla przypadku statycznego : gdzie: I – całkowity prąd elektryczny płynący w zamkniętej pętli

Bardziej ogólnie: lub

obwodowego prawa Ampera z twierdzenia Stokes’a: stąd, jeśli S jest dowolna postać różniczkowa obwodowego prawa Ampera Prawo Faraday’a – analog (?): Prawo Ampera:

OBWODOWEGO PRAWA AMPERA POSTAĆ UOGÓLNIONA OBWODOWEGO PRAWA AMPERA Dla mamy: Wykonujemy operację div: czyli statyczna postać równania ciągłości

Maxwell zaproponował wprowadzenie do obwodowego prawa Ampera dodatkowego składnika – zależnego od czasu: Wykonujemy operację div: Z prawa GAUSSA: czyli stąd równanie ciągłości Wynik potwierdza zasadność wprowadzenia składnika:

POSTAĆ CAŁKOWA OGÓLNEGO PRAWA AMPERA (RÓWNANIE MAXWELLA) Jest to prawo analogiczne do prawa Faraday’a Pole (typu ) może zostać wywołane przez zmienne pole Pole (typu ) może zostać wywołane przez zmienne pole

Przykład 2 Kondensator I A Jeżeli prąd I nie zmienia się w czasie to i narastają do pewnej wartości. Czyli przepływ prądu związany jest z przemieszczaniem ładunków w czasie i powstaniu w kondensatorze

Prąd Gęstość prądu przesunięcia: lub o ten składnik uzupełnił Maxwell równanie Ampera

RÓWNANIA MAXWELLA Obwodowe prawo Ampera postać różniczkowa Prawo Faraday’a słuszna dla Prawo Gaussa dowolnie wybranego Prawo źródeł magnetycznych punktu przestrzeni

W p o s t a c i c a ł k o w e j : Ponadto: oraz równania materiałowe:

UWAGI O RACHUNKU SYMBOLICZNYM Wektor zespolony: wektor, którego składowe mogą być dane liczbami zespolonymi Ogólnie: przy czym zachodzi: Rzeczywista chwilowa wielkość pola: D e f i n i u j e m y :

przykład: stąd gdyż Zaleta takiej notacji: czyli obliczenie pochodnej zastępujemy mnożeniem przez (omijając na ogół i )

WIELKOŚĆ ŚREDNIA W CZASIE: OPERACJA MNOŻENIA WIELKOŚĆ ŚREDNIA W CZASIE: Wielkość średnia iloczynu:

dla amplitud zespolonych (pobudzenie harmoniczne) RÓWNANIA MAXWELLA dla amplitud zespolonych (pobudzenie harmoniczne)

ZALEŻNOŚCI ENERGETYCZNE SIŁA działająca na ładunki ŁADUNKI PUNKTOWE Rozważmy ciągły rozkład ładunków:

RÓWNANIE LORENZA ale czyli: G ę s t o ś ć o b j ę t o ś c i o w a s i ł y : czyli: Całkowita siła:

ENERGIA UKŁADU ŁADUNKÓW 1. Ładunki punktowe Energia praca niezbędna do rozmieszczenia ładunków w danej konfiguracji Przesunięcie z nie trzeba wykonywać pracy, bo brak pola 2. Przesunięcie z praca potencjał w punkcie (2) od ładunku w punkcie (1) Przesunięcie z praca potencjał w punkcie (3) od ładunku w punkcie (1) potencjał w punkcie (3) od ładunku w punkcie (2)

potrzebna do zgromadzenia pewnej liczby ładunków CAŁKOWITA PRACA potrzebna do zgromadzenia pewnej liczby ładunków Zachodzi: Ogólnie: Stąd: Dodając oba wyrażenia i dzieląc przez 2 mamy: gdzie:

CIĄGŁY ROZKŁAD ŁADUNKÓW gdy Energia całkowita niezbędna dla zgromadzenia ładunków o gęstości w objętości Gęstość objętościowa energii: gdy

Wprowadzamy wektor Z prawa Gaussa: czyli: Skorzystajmy z własności: Wprowadzając oraz korzystając z twierdzenia Gaussa-Ostrogradskiego:

Aby objąć wszystkie ładunku dążymy z wtedy: gdyż więc Objętościowa gęstość energii elektrycznej

ZASADA ZACHOWANIA ENERGII Z poprzedniej definicji , czyli : gdy Z POWYŻSZEJ DEFINICJI TO NIE WYNIKIA Pozorna sprzeczność jest konsekwencją założenia, że ZASADA ZACHOWANIA ENERGII Ładunek w polu siła (Lorenza) Można przypuszczać, że pole gromadzi energię. Gdy proces ten trwa przez pewien czas – transmisja mocy przez pole. Energia kinetyczna cząstki (z mechaniki klasycznej)

gęstość objętościowa mocy gęstość objętościowa energii Dla ciągłego rozkładu ładunków z prędkością gęstość objętościowa mocy dostarczonej do naładowanego ośrodka przez pole w miejscu, gdzie określony jest wektor gęstość objętościowa energii (przyspieszenie cząstek, grzanie przy zderzeniach) Uwaga – przechodząc w dziedzinę wielkości zespolonych, można zauważyć: gdy i są w fazie wtedy ma składową rzeczywistą: straty mocy na ciepło Joula gdy i są w kwadraturze (90o w czasie): gromadzenie energii (jak w obwodach rezonansowych)

Z równań Maxwella Tożsamość:

ale czyli zasada zachowania energii – w postaci różniczkowej: w postaci całkowej (z tw. Gaussa-Ostrogradzkiego)

W – energia wewnątrz (zmienna w czasie) – wektor gęstości powierzchniowej mocy opuszczającej V Całkowita moc Pc opuszczająca : Wielkość ta powinna być równa zmianom w czasie energii W, czyli: ale stąd

elektrycznym magnetycznym lub Zasada zachowana energii (mocy) gdzie: wektor Poyntinga gęstość energii zmagazynowanej w polu elektrycznym gęstość energii przekazywanej przez pole cząstkom – nośnikom ładunków gęstość energii zmagazynowanej w polu magnetycznym

notację amplitud zespolonych ZESPOLONA POSTAĆ zasady zachowania energii (mocy) Przy opisie przebiegów harmonicznych wprowadza się notację amplitud zespolonych wtedy: definiujemy zespolony wektor Poyntinga: Często posługujemy się wartościami średnimi w czasie Wcześniej wykazaliśmy, że wartość średnia iloczynu dwóch wielkości rzeczywistych <A’ ·B’> = <A(t)·B(t)> może być wyznaczona jako:

Zachodzi więc (wykazać):

Skorzystajmy z równań Maxwella zapisanych dla amplitud zespolonych: Korzystając z tożsamości: W rezultacie:

Całkując i stosując twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego: Rozdzielimy to równanie poszukując części rzeczywistej i urojonej: Część rzeczywista: lub

WARTOŚĆ UROJONA ŚREDNIEJ MOCY WARTOŚĆ ŚREDNIA MOCY przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S równa jest mocy przekazywanej przez pole naładowanym cząstkom wewnątrz S. Część urojona: lub WARTOŚĆ UROJONA ŚREDNIEJ MOCY przesyłanej przez powierzchnię zamkniętą S pozostaje w określonym związku z różnicą wartości średnich energii zmagazynowanych w objętości V w polu elektromagnetycznym.

WARUNKI GRANICZNE GRANICA IDEALNA   GRANICA RZECZYWISTA  

2 ΔS 1 1 SKŁADOWE NORMALNE W granicy, gdy lub

stąd lub Rozważmy pole   czyli ale czyli

SKŁADOWE STYCZNE    

jest gęstością liniową prądu płynącego po nieskończenie cienkiej W granicy, gdy jest gęstością liniową prądu płynącego po nieskończenie cienkiej powierzchni gdzie: Uwzględniając:

ale czyli: stąd, ponieważ jest styczne do powierzchni granicznej, ale wybrane arbitralnie: Zauważamy, że

Przechodząc do wektora W POLU ELEKTRYCZNYM stąd więc lub

CZAS RELAKSACJI czyli lub Zakładamy, że w V’ istnieje rozkład ładunków: Chcemy znaleźć:

stąd Inaczej: czas relaksacji

Dobry przewodnik: Dobry dielektryk:

WARUNKI GRANICZNE NA POWIERZCHNI IDEALNEGO PRZEWODNIKA brak ruchu ładunków wewnątrz objętości idealnego przewodnika, 2. nie ma (w konsekwencji) pól , 3. w stanie statycznym powierzchnia przewodnika jest ekwipotencjalna 4. na powierzchni przewodnika może wystąpić ruch ładunków opisywany prądem , 5. na powierzchni przewodnika może istnieć rozkład ładunków

  idealny dielektryk idealny przewodnik czyli: Pola nie mają składowej stycznej przy powierzchni idealnego przewodnika. ale czyli:

Pola nie mają składowej normalnej przy powierzchni idealnego przewodnika. ale czyli: Podobnie: ale czyli:

WNIOSEK: przy powierzchni idealnego przewodnika: pole może mieć różną od zera składową normalną składową styczną