Twierdzenie Pitagorasa Opracowała: Brygida Piesik
„Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie…” Pitagoras Trochę historii Sentencje Powtórka z trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Zadania Zakończ
Pitagoras - prawdopodobnie żył w latach 572 – 497 p. n. e Pitagoras - prawdopodobnie żył w latach 572 – 497 p.n.e. Urodził się na wyspie Samos. Najbardziej owocne prace Pitagorasa przypadają na okres życia, który spędził w Krotonie (dzisiejsze południowe Włochy). Tam też założył filozoficzną szkołę pitagorejską, która stała się ośrodkiem badań naukowych, szczególnie w dziedzinie matematyki, astronomii i filozofii.
Samos, grecka wyspa na Morzu Egejskim, w archipelagu Sporady Południowej, u wybrzeży Turcji.
Pitagoras nie pozostawił żadnych prac i o jego działalności wiadomo niewiele. Dużo podróżował. We Francji i Babilonie miał okazję poznać dokonania tamtejszych matematyków i przenieść myśl matematyczną Egipcjan i Babilończyków do Grecji. Tzw. „Twierdzenie Pitagorasa” znane było Babilończykom na długo przed Pitagorasem. Nie był on prawdopodobnie odkrywcą tego twierdzenia, ale prawdopodobnie je udowodnił. Wiadomości o średniej arytmetycznej, geometrycznej i harmonicznej, zastosowanej przez Pitagorasa w muzyce, przejął również od matematyków babilońskich. Trudno jest wyodrębnić odkrycia samego Pitagorasa spośród tych, których dokonali jego uczniowie i następcy, nazywający siebie pitagorejczykami. Πό
Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste Od pitagorejczyków pochodzi podział na liczby parzyste i nieparzyste. Odkryli oni wiele własności liczb i można ich uznać za twórców początków teorii liczb. Wiedzieli o istnieniu liczb niewymiernych, ale zobowiązani byli do zachowania tego w tajemnicy. Istnienie liczb niewymiernych było niezgodne z ich filozofią, niezgodne z harmonią świata, w którym liczby naturalne odkrywały według nich szczególną rolę.
Legenda głosi, że Pitagoras odkrył zależność znaną jako Twierdzenie Pitagorasa, gdy przyglądał się ornamentom na posadzce świątyni. Z wdzięczności złożył bogom ofiarę ze stu wołów tak zwaną „hekatombę”
Oto kilka sentencji, których autorem był Pitagoras: "Liczba jest istotą wszystkich rzeczy.” "Kto mówi, sieje... kto słucha, zbiera.” "Nie wyrażaj małej rzeczy w wielu słowach, lecz rzecz wielką w niewielu." "Najkrótsze wyrazy "tak" i "nie" wymagają najdłuższego zastanowienia."
„Trudno jest iść przez życie wieloma drogami jednocześnie…” Pitagoras Trochę historii Sentencje Powtórka z trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Zadania Zakończ
Nazwij trójkąty prostokątny rozwartokątny ostrokątny
Czy wiesz jak nazywają się boki trójkąta prostokątnego? Przeciwprostokątna (c) Przyprostokątna ( b) Przyprostokątna (a)
Już w starożytnym Egipcie używano trójkąta prostokątnego o bokach 3,4,5 do wyznaczania kąta prostego w terenie. Regularne wylewy Nilu, niosąc ogromne ilości mułu zacierały granice pomiędzy gospodarstwami. Gdy wody opadały, granice te należało ponownie wyznaczyć. Do tego celu używano sznura z węzłami w regularnych odstępach. Legenda głosi, że Pitagoras poznał trójkąt egipski w czasie swojego pobytu w Egipcie i ten fakt przyczynił się do odkrycia sławnego twierdzenia.
Wykonaj zadanie, a dowiesz się co zauważył Pitagoras… 3 5 5•5=25 4 3•3=9 Dany jest trójkąt prostokątny o bokach 3, 4, 5. Oblicz pola kwadratów zbudowanych na tych bokach. 4•4=16
P3 =25 P1=16 P2=9 16+9=25 zatem możemy zapisać, że P1+P2=P3 Jaki z tego wniosek ?
W trójkącie prostokątnym suma pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych jest równa polu kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej.
Powyższą własność nazywamy TWIERDZENIEM PITAGORASA. Uwaga Powyższą własność nazywamy TWIERDZENIEM PITAGORASA. Uwaga. Matematycy nazywają twierdzeniem każde zdanie (dotyczące np. figur lub liczb), którego prawdziwość została już udowodniona. Do dziś powstało około 100 dowodów twierdzenia Pitagorasa. Poniżej graficzny przykład jednego z nich: 2 3 5 4 1 5 4 1 2 3
a2+b2=c2 P3=c2 Jeżeli zatem P1+P2=P3 to powyższą równość P2=b2 Jeżeli zatem P1+P2=P3 to powyższą równość możemy zapisać następująco: P1=a2 a2+b2=c2
Zapamiętaj !!! Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a2+b2=c2
Czy podane wzory są poprawne? k w c d h s k2 = c2 + w2 a b c To nie jest trójkąt prostokątny s2 + d2 = h2 a2 + b2 = c2
Zadanie 1 W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości 2cm i 3cm. Jaką długość ma przeciwprostokątna tego trójkąta? 22 + 32 = x2 x2 =13 x = [cm] x 2cm 3cm Przeciwprostokątna ma długość cm czyli około 3,6cm.
Zadanie 2 Przeciwprostokątna trójkąta prostokątnego ma długość 9, a jedna z przyprostokątnych ma długość 6. Oblicz długość drugiej przyprostokątnej. Rysunek pomocniczy Z twierdzenia Pitagorasa 62+b2=92 zatem 36+b2=81 Przekształcając równanie otrzymujemy: b2=45 b= b= 3 6 b 9 Druga przyprostokątna ma długość 3 czyli około 6,7.
Zadanie 3 O ile skrócisz sobie drogę idąc na skróty? a=120m b=90m s =?
Stosując twierdzenie Pitagorasa mamy: s2 = a2 + b2 czyli Ścieżka na skróty ma długość 150 m, zatem skrócisz sobie drogę o 60 m.
Zadanie 4 Kuter rybacki wypłynął z portu w kierunku wschodnim Zadanie 4 Kuter rybacki wypłynął z portu w kierunku wschodnim. Po pewnym czasie skręcił i przepłynął 8 mil w kierunku południowym. Jak daleko płynął na wschód, jeśli wiadomo, że znalazł się w odległości 17 mil od portu?
Kuter popłynął 15 mil na wschód x • b=8 c=17 Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy równanie x2 + b2 = c2 zatem x2 = c2 - b2 stąd X = Kuter popłynął 15 mil na wschód
To już wszystko. Jeżeli udało Ci się poprawnie wykonać wszystkie zadania i polecenia to GRATULUJĘ !!! Zasłużyłeś na…