Równania Maxwella M Prawo Gaussa dla elektryczności Prawo Gaussa dla magnetyzmu Prawo indukcji Faradaya Prawo Ampere’a

Stałe uniwersalne Dla próżni

Indukowane pole magnetyczne, pełne prawo Ampere’a - + E  B  i       R Prąd i dopływa do okładek Pole elektryczne E i indukowane pole magnetyczne B w trakcie ładowania kondensatora płaskiego.

Pole magnetyczne jest wytwarzane przez zmienny strumień pola elektrycznego przepływ prądu Wcześniej przy obliczaniu indukcji wokół przewodnika z prądem zakładano, że strumień pola elektrycznego jest równy zeru. To wyrażenie ma wymiar prądu i nosi nazwę prądu przesunięcia.

Prąd przesunięcia Koncepcja prądu przesunięcia pozwala na utrzymanie zasady ciągłości prądu. Różniczkujemy po czasie

Prąd przesunięcia jest równy prądowi przewodzenia w obwodzie zewnętrznym. W obecności materiałów magnetycznych, które wytwarzają własne pole magnetyczne – ciała namagnesowane, prawo Ampere’a ma postać:

Przykład 1 M Płaski kondensator o okładkach kołowych o promieniu R jest ładowany. Obliczyć indukowane pole magnetyczne B wewnątrz i na zewnątrz kondensatora – dla r < R, r = R i r > R. Przyjąć R = 5 cm i zmianę pola elektrycznego w czasie .

Strumień pola E Obliczamy B

ponieważ Dla r = R

Dla r > R pole B maleje jak 1/r.

Przykład 2 M Obliczyć prąd przesunięcia kondensatora o okładkach kołowych, promień okładek R = 5 cm, pole elektryczne zmienia się z szybkością dE/dt =1012 V/(m•s).

Przykład 3 M W obwodzie zawierającym kondensator płaski, mający kołowe okładki, płynie prąd o natężeniu I = I0sinωt. Jaka jest wartość gęstości prądu przesunięcia? Pole E w kondensatorze

Stąd natężenie pola E

Gęstość prądu przesunięcia

Przykład 4 M Plaski drut tworzący okrąg o promieniu r = 0.1 m łączy dwie równoległe płyty kondensatora płaskiego odległe od siebie o d = 0.1 · 10-3 m. Jeżeli natężenie pola elektrycznego przekroczy wartość Ec = 3 · 106 V/m, to następuje wyładowanie. Cały układ znajduje się w jednorodnym polu magnetycznym prostopadłym do powierzchni pętli obwodu. Zależność wartości pola magnetycznego od czasu wyraża się wzorem gdzie B0 = 0.2 T, a = 3 s-1 .

Jaka jest wartość pola magnetycznego w chwili przebicia kondensatora Jaka jest wartość pola magnetycznego w chwili przebicia kondensatora? Po jakim czasie nastąpiło wyładowanie kondensatora? E d B r

Zmiana pola B powoduje powstanie siły elektromotorycznej i ładowanie kondensatora.

Czas po którym nastąpi przebicie

Przykład 5 M W obszarze o promieniu r =2, współistnieją skierowane zgodnie i prostopadle do powierzchni pola elektryczne i magnetyczne. Zmieniające się w czasie zgodnie z zależnościami: gdzie

Oblicz natężenie indukowanego pola elektrycznego, natężenie całkowitego pola elektrycznego, indukcję indukowanego pala magnetycznego, całkowitą indukcję pola magnetycznego w punkcie A w chwili t = 0 oraz siłę działającą w chwili t = 0 na ładunek q = 100 mC umieszczony w punkcie A. E B A r

Zmienne pole magnetyczne wytwarza zmienne pole elektryczne Eind (prawo Faradaya).

Pole E wypadkowe Zmienne pole elektryczne wytwarza zmienne pole magnetyczne Bind (prawo Ampere’a). Bind leży w płaszczyźnie rysunku

Na ładunek w punkcie A działa siła Lorentza

Bind E B Eind r A

Fale Rozchodzące się w przestrzeni i zależne od czasu zaburzenie Fale mechaniczne (w materii) b) Fale elektromagnetyczne (w próżni i w materii) c) Fale materii

Fale mechaniczne Fale przenoszą energię, nie przenoszą masy, mimo przemieszczeń cząsteczek, które drgają, przekazując energię następnym. Rodzaje fal : podłużne, drgania równolegle do kierunku rozchodzenia się fali, poprzeczne drgania prostopadle, do kierunku rozchodzenia się fali, powierzchniowe (około 20 różnych struktur fal).

Rozchodzące się zaburzenie może być jedno-, dwu- i trójwymiarowe Rozchodzące się zaburzenie może być jedno-, dwu- i trójwymiarowe. Fale mogą być płaskie, cylindryczne, kuliste…. Fala płaska rozchodzi się tylko w jednym kierunku, jej czoło (powierzchnia falowa) jest płaszczyzną. Najprostsze rozchodzące się wzdłuż osi x w prawo zaburzenie można zapisać w postaci: gdzie v jest prędkością rozchodzenia się fazy fali, dla fal opisanych przez funkcje trygonometryczne

W zaburzeniach, które przedstawiamy jako grupę fal energia może być przenoszona z inną prędkością niż faza każdej z fal. W prowadza się wówczas pojęcie prędkości grupowej.

Zasada superpozycji Dwie lub więcej fal może przebiegać niezależnie od siebie. Oznacza to, że przemieszczenie dowolnej cząstki w ustalonej chwili czasu jest sumą przemieszczeń. Francuzki matematyk J. Fourier wykazał, że dowolny periodyczny ruch cząstki może być przedstawiony w postaci kombinacji liniowej ruchów harmonicznych prostych.

Interferencja fal Efekt nakładania się dwóch lub więcej ciągów falowych Fale stojące Rozważamy dwie fale poruszające się w przeciwnych kierunkach - y1(t) i y2(t) oraz falę wypadkową y(t)

Otrzymany wynik oznacza, że cząstka drga w dowolnie wybranym punkcie prostym ruchem harmonicznym i drgania wszystkich cząstek mają tę samą częstość. ym x

Drgania struny – fale poprzeczne x Drgania struny , której masa na jednostkę długości wynosi μ, naprężonej siłą F opisane są równaniem różniczkowym o postaci:

Równanie to wynika z drugiej zasady dynamiki Newtona zastosowanej do poprzecznej struny. Rozwiązaniem tego równania jest: gdzie  jest pulsacją,  = 2,  - częstotliwością, T – okresem, k – liczbą falową

Z analizy rozwiązania równania wyznaczyć można prędkość v rozchodzenia się zaburzenia falowego oraz parametrów k i ω z prędkością V. Wzory te można wyprowadzić również analizując siły F działające na odcinek liny o długości l.

v l F F θ R Siły F rozkładamy na składowe, ΣFx = 0, ΣFy ≠ 0, dla składowych Fy można napisać zależności:

Siła 2Fy wywołuje przyspieszenie cząstek liny skierowane do środka okręgu. Otrzymane zostało wyrażenie na – prędkość rozchodzenia się fali w linie naprężonej siłą F.

Przykład 1F Na jednym końcu linki wytwarzana jest za pomocą sznura poprzeczna fala sinusoidalna, przy czym koniec linki drga do góry i na dół, a największe jego przemieszczenie wynosi 0.5 cm. Ruch jest ciągle podtrzymywany i powtarza się sinusoidalnie 120 razy na sekundę. a) należy obliczyć prędkość, amplitudę i długość fali tego ruchu falowego, przyjmując że gęstość liniowa linki wynosi 0.25 kg/m, a przyłożone naprężenie wynosi 90 N. F = 90 N μ = 0.25 kg/m ym = 0.25 cm  = 120 1/s

Przykład 2F Jeden koniec sprężystego pręta połączony jest ze źródłem drgań harmonicznych: Drugi koniec pręta jest unieruchomiony. Wyznaczyć charakter drgań w dowolnym punkcie pręta, przyjmując, że przy odbiciu od nieruchomego pręta faza zmienia się na przeciwną.

Fala poruszająca się zgodnie z kierunkiem osi x opisana następująco: Fala odbita (zmiana fazy przy odbiciu): Fala wypadkowa = fala padająca + fala odbita

Fala stojąca

Węzły fali stojącej y = 0 Strzałki fali y = ymax

Fale akustyczne Są to fale rozchodzące się w gazach (podłużne), cieczach (podłużne i poprzeczne w przypadku cieczy o dużej lepkości) i ciałach stałych (podłużne, poprzeczne i powierzchniowe). Fale te można uważać za rozchodzący się z prędkością v impuls zagęszczeń. x y

Fale akustyczne w gazach i cieczach, najczęściej podłużne, rozchodzą się wzdłuż kierunku propagacji, na przykład x z prędkością : Gdzie B jest modułem sprężystości objętościowej ρ0 – gęstością materiału bez dodatkowych naprężeń, V – objętością, p – ciśnieniem, y – miara przemieszczeń cząstek, y – równoległa do x.

Przykład 3F Drgania dźwiękowe o częstotliwości  = 500 Hz i amplitudzie A = 0.25 mm rozchodzą się w powietrzu. Długość fali λ = 70 cm. Napisać równanie fali, znaleźć prędkość rozchodzenia się drgań oraz maksymalną prędkość cząsteczek ;powietrza. Obliczamy prędkość fali v:

- znane Cząsteczki wykonują ruch harmoniczny w kierunku rozchodzenia się fali. Ich vp prędkość zmienia się w sposób okresowy i możemy ją obliczyć na podstawie równania fali.

Fale akustyczne w ciałach stałych Fala podłużna Ciecz Fala poprzeczna Ciało stałe Fala podłużna

Fale akustyczne na granicy ośrodków: ‘ – odbite, ” - przechodzące L – fala podłużna T – fala poprzeczna Fale akustyczne na granicy ośrodków: ‘ – odbite, ” - przechodzące

Na granicy ośrodków na przykład ciecz – ciało stałe następuje transformacja fali akustycznej. W ciele stałym pojawiają się dwie fale podłużna i poprzeczna, których współczynniki załamania są różne. Przy zmianach kąta padania można otrzymać falę propagującą się wzdłuż granicy ośrodków – falę powierzchniową. Transformacji fal nie ma w przypadku prostopadłego padania fali na granicę ośrodków.

Fale elektromagnetyczne Równania Maxwella przewidują istnienie fal elektromagnetycznych o prędkości rozchodzenia się w próżni: (1)

Mgławica, informacje z kosmosu otrzymane dzięki falom elektromagnetycznym Mgławica emisyjna NGC 604 w gwiazdozbiorze Trójkąta (pl/wikipedia/org/

Równania Maxwella przewidują, że zmienne w czasie pole magnetyczne indukuje wirowe pole elektryczne i na odwrót, zmienne w czasie pole elektryczne indukuje wirowe pole magnetyczne. Każda zmiana w czasie pola elektrycznego wywoła powstanie zmiennego pola magnetycznego, które z kolei wytworzy zmienne pole pole elektryczne. Ciąg wzajemnie sprzężonych pól elektrycznych i magnetycznych stanowi falę elekromagnetyczną. Fale elektromagnetyczne możemy podzielić na stojące (np. wnęka rezonansowa) i bieżące - rozchodzące się wzdłuż linii przesyłowej lub w wolnej przestrzeni.

Obwód LC Przykład powstawania fal elektromagnetycznych. Drganiom wytworzonym w elektrycznym obwodzie LC (cewka, kondensator) towarzyszy okresowa zmiana energii pola elektrycznego kondensatora w energię pola magnetycznego cewki. Jeżeli pominiemy straty na ciepło, to energia drgań w obwodzie pozostanie stała.

Pole B L C Pole E Do generatora drgań Obwód taki przekształcamy w następujący sposób: cewkę redukujemy do prostoliniowego przewodu, okładki kondensatora zmniejszamy, a przewody prostujemy. Pole elektryczne i magnetyczne wypełnia teraz bardzo dużą przestrzeń.

Przekształcanie zamkniętego obwodu drgań w dipol elektryczny Przekształcony obwód ma teraz większą zdolność emitowania energii, stał się obwodem otwartym. Powstały obwód stanowi dipol elektryczny o momencie dipolowym zależnym od czasu. B Do generatora drgań

Jeżeli do prętów dipola doprowadzone zostanie napięcie zmienne, to pręty będą się ładować okresowo ładunkiem dodatnim i ujemnym. Zatem obwód taki staje się oscylującym dipolem elektrycznym emitującym falę elektromagnetyczną we wszystkich kierunkach. Pole elektryczne dipola w czterech chwilach: +q +- - + -q - + t = 0 t = 1/8 T t = 1/4 T t = 3/8 T

Wykres biegunowy natężenia fali emitowanej przez dipol, znajdujący się na osi z. Długość odcinka OP jest proporcjonalna do natężenia fali emitowanej w danym kierunku. z P x O Zmienne napięcie doprowadzone do z generatora powoduje przepływ prądu wzdłuż dipola. Ładunki zbierające się na końcach prętów dipola wytwarzają tam największe napięcia. Drgania elektryczne rozchodzące się wzdłuż dipola dają w wyniku falę stojącą. Fala emitowana przez dipol jest już falą rozchodzącą się w przestrzeni (bieżącą). Fala ta jest spolaryzowana, wektor E jest równoległy do osi dipola, B - prostopadły.

Równania falowe E - natężenie pola elektrycznego ε0 przenikalność elektryczna próżni, μ0 - przenikalność magnetyczna próżni. E - natężenie pola elektrycznego B – natężenie pola magnetycznego

Na podstawie wprowadzonych równań Maxwell wykazał, że wzajemnie sprzężone pola elektryczne i magnetyczne tworzą falę poprzeczną i obliczył prędkość fali. W fali elekromagnetycznej wektory E i B są prostopadłe do siebie i do kierunku rozchodzenia się fali. Dla fali rozchodzącej się wzdłuż osi x zależność natężenia pola B i E od czasu i położenia ma postać następującą: B = Bmsin(kx - t) E = Em sin(kx -  t)  - pulsacja,  = 2 k - liczba falowa (3) (2) (4a) (4)  - długość fali T - okres drgań  - częstotliwość (6) (5)

Płaska fala elektromagnetyczna poruszająca się w dodatnim kierunku osi x dx y     • • • •     h c • • • •     • • • • x z E  z B  y c  x Pola E i B są zgodne w fazach.

Prostokąt o wymiarach h i dx nie porusza się w przestrzeni Prostokąt o wymiarach h i dx nie porusza się w przestrzeni. W miarę przesuwania się fali strumień magnetyczny B będzie się zmieniał, co spowoduje powstanie indukowanych pól elektrycznych. To indukowane pola elektryczne, to składowe elektryczne wytworzonej fali bieżącej. Zastosujmy prawo Faradaya dla obwodu prostokąta o bokach h i dx (pł. xz). (7) (8) Strumień pola magnetycznego przechodzący przez powierzchnię prostokąta (płaszczyzna xz) wynosi: (9) B jest wartością bezwzględną pola w prostokącie

Różniczkowanie po czasie daje (10) Na podstawie prawa Faradaya w postaci (8 ) otrzymujemy (11) stąd (13) (12)

E(x,t) i B(x,t) są znane, więc równanie (13) można zapisać jako (14) czyli (15) ale (16) Oznacza to również, że związek słuszny jest dla dowolnych wielkości pola E i B w danym momencie. (17) Zastosujmy teraz prawo Ampera w postaci: (18)

Całkując to równanie po obwodzie prostokąta o bokach h i dx w płaszczyźnie xy otrzymujemy: (19) Strumień pola elektrycznego przechodzący przez ten prostokąt wynosi: (20) Różniczkując po czasie otrzymujemy: (21) a więc równanie (18 ) można przepisać w postaci (22)

Korzystając z równań (14 ), (22 ) otrzymujemy: (23) stąd (24) Eliminując Em/Bm otrzymamy: c - prędkość światła w teorii elektromagnetyzmu. Maxwell przewidział ten związek przed odkryciem fal radiowych! (1)

Przykład 4F Rozważmy falę elektromagnetyczną w próżni, dla której równania opisujące pole magnetyczne mają postać: Jaki jest kierunek rozchodzenia się fali?

Napisz równania opisujące pole elektryczne. Bx c x Ez y z

Energia niesiona przez falę elektromagnetyczną B y h•h = A c E x z dx

dW = dWE + dWB = (uE + uB)Adx W pewnej chwili energia dW zawarta w pudełku o objętości sdx przenoszona przez falę elektromagnetyczną wynosi dW = dWE + dWB = (uE + uB)Adx (25) uE - gęstość pola E uB - gęstość pola B Energia pola E Energia pola B (26) ale (17) (28)

Zgodnie z (1) oraz Energia przepływająca przez jednostkową powierzchnię A w jednostkowym czasie. Energię tę oznaczono następnie przez S i wprowadzono odpowiadający jej wektor przepływu energii zwany wektorem Pointynga (29) (30) (31)

Wielkość S jest wyrażona przez wartości chwilowe, więc jest funkcją czasu. Wektor S jest prostopadły do wektora E i do wektora B. Wektor Pointynga pokazuje kierunek przenoszenia energii. Z trzech wielkości występujących w równaniu (31), jedna ma ściśle określoną wartość: pozostałe c i 0 są mierzalne. Na podstawie równania (1) wykorzystuje się zmierzoną dokładnie wartość prędkości światła c = 2.99792458 • 108 m/s do wyznaczania wartości 0.

Otrzymane wyrażenie opisujące wektor Pointinga odnosi się do mocy chwilowej przenoszonej przez falę elektromagnetyczną. Bardzo często potrzebna jest średnia moc fali. Obliczano średnią wartość kwadratu sinusoidy

Przykład 5F Obserwator znajduje się w odległości r = 1 m od punktowego źródła promieniowania o mocy P0. P0 = 103 W. Obliczyć wielkości pola elektrycznego i magnetycznego w odległości r, uważając falę za płaską. r = 1 m P0 = 103 W r P0

Prędkość c, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła. W roku 1888 Heinrich Hertz przeprowadził po raz pierwszy eksperyment, w którym były wytwarzane i odbierane fale elektromagnetyczne, dowodząc tym samym ich istnienia i potwierdzając słuszność równań Maxwella.

Hertz Heinrich Rudolf (1857-1894)

James Maxwell Maxwell urodził się w 1831 r. w Edynburgu w Szkocji. Był tzw. Cudownym dzieckiem; mając zaledwie piętnaście lat przedstawił pracę naukową w Edinburgh Royal Society. Uczęszczał na uniwersytet w Edynburgu. Stopień naukowy otrzymał na uniwersytecie w Cambridge. Był żonaty, ale nie miał dzieci. Maxwell uważany jest powszechnie za największego fizyka teoretyka w okresie pomiędzy Newtonem i Einsteinem. Jego wspaniała kariera zakończyła się przedwcześnie; zmarł na raka w 1879 r., na krótko przed czterdziestymi ósmymi urodzinami.

Przykład 6F. Średnia moc lasera jest równa P = 2.0 mW, a jego wiązka ma średnicę d = 1 mm. Jaka jest gęstość strumienia energii fali elektromagnetycznej? Jaka jest wartość amplitudy pola elektrycznego? Przyjąć, że laser wysyła płaska falę monochromatyczną. 1 mm

Śr. wartość wektora P. jest równa gęstości strumienia energii,

Przykład 7F Energia fali elektromagnetycznej składa się z energii pola elektrycznego i magnetycznego. Wykazać, że dla fali płaskiej w próżni gęstości obu rodzajów energii są sobie równe. Ile wynosi ich średnia wartość w okresie? Jaka jest średnia moc przenoszona przez falę płaską na jednostkę powierzchni A? Czy otrzymane wyrażenie pozostaje w zgodzie z wzorem Pointynga? A = 1

Energia przepływająca w czasie dt przez powierzchnię A Na podstawie wartości wektora Pointynga: