Przykłady zasad stosowanych w fizyce I, II i III zasada dynamiki Newtona zasady zachowania energii, pędu, momentu pędu I i II zasada termodynamiki zasada zachowania ładunku

I Zasada dynamiki Newtona Jeżeli na ciało A nie działa żadna wypadkowa siła, przyspieszenie a tego ciała jest równe zeru.  F = 0 a = 0 A v = const. F F

II Zasada dynamiki Newtona Siła działająca na ciało jest równa iloczynowi przyspieszenia i masy tego ciała. F = ma 1N = kg • m/s2 a F

III Zasada dynamiki Newtona Jeżeli ciało A działa na ciało B pewną siłą FAB , to ciało B działa na ciało A siłą FBA równą co do wartości bezwzględnej, lecz przeciwnie skierowaną. FAB = - FBA A B FAB FBA

Zasada zachowania energii Energia całkowita punktu materialnego, tzn. suma energii kinetycznej, potencjalnej, wewnętrznej i wszystkich innych rodzajów energii, nie zmienia się. Energia może być przekształcana z jednej formy w inną, ale nie może być wytwarzana ani niszczona. Energia całkowita układu (punktu) odosobnionego jest wielkością stałą. Jednostka energii, pracy i ciepła: 1J

Zmiana energii wewnętrznej 0 = K + U +Uwew + (zmiana innych form energii) Zmiana energii kinetycznej Zmiana energii potencjalnej

Zasada zachowania pędu Jeżeli wypadkowa sił zewnętrznych działających na układ jest równa zeru, to całkowity wektor pędu tego układu p pozostaje stały. F = 0 to albo p = const. Jednostka pędu: kg • m/s

Zasada zachowania momentu pędu Jeżeli wypadkowy moment sił zewnętrznych działających na układ wynosi zero, to całkowity moment pędu układu pozostaje stały. zewn = dL/dt Moment sił zewnętrznych Zmiana momentu pędu

L - moment pędu p jest zdefiniowany następująco: Jednostka momentu pędu: kg • m2/s Jeżeli to wyrażenie zróżniczkujemy względem czasu, otrzymamy Moment siły -  zero Pierwszy składnik równy 0, ponieważ v  mv = 0

Jeżeli zewn = 0, to dL/dt = 0 i oznacza to, że L jest wektorem stałym. L = const. Jeżeli układem punktów materialnych jest ciało sztywne, obracające się wokół osi obrotu (np. z), która jest nieruchoma w inercjalnym układzie odniesienia, to możemy napisać, że wektor L L = I I - Moment bezwładności  - Prędkość kątowa

I Zasada termodynamiki Zmiana energii wewnętrznej układu termodynamicznego jest równa sumie ciepła pobranego (lub oddanego) przez układ i pracy wykonanej nad układem przez siły zewnętrzne (lub przez układ nad otoczeniem). U = Q + W U - Zmiana energii wewnętrznej Q – ciepło W - praca

II Zasada termodynamiki Samorzutne procesy, które zaczynają się jednym stanem równowagi, a kończą innym stanem równowagi, mogą przebiegać tylko w takim kierunku, z którym związany jest wzrost sumy entropii układu i otoczenia. S > 0

Q S = T Przyrost entropii Q - przyrost ciepła T - temperatura J Jednostka entropii: K

Przykłady z zakresu zasad zachowania Zasady w fizyce Przykłady z zakresu zasad zachowania

Przykłady Przykład 1 Wyznaczyć maksymalną i minimalną prędkość wahadła pokazanego na rysunku. Ruch odbywa się w płaszczyźnie x,y . y m = 0.001kg h = 0.10 m g = 9.81m/s2 h x

E - energia całkowita, równa sumie energii kinetycznej i potencjalnej, zakładamy, że spełnione jest prawo zachowania energii mechanicznej skrajne wartości położenia i prędkości y = h y = 0 V = 0

Odpowiednio energia całkowita (maksymalna kinetyczna i maksymalna potencjalna) wynosi:

Przykład. 2 Pręt o długości l i masie M leży na gładkim stole. Krążek hokejowy poruszający się jak na rysunku zderza się sprężyście z prętem. Jak zachowa się pręt i krążek po zderzeniu? Jaka powinna być masa krążka, aby pozostał w spoczynku po zderzeniu? M = 0.5 kg L = 1 m v = 10 m/s Zderzenie sprężyste v v1 L M x v2

Prawo zachowania momentu pędu W wyniku zderzenia sprężystego krążek przekazuje energię kinetyczną i pęd prętowi. Uderzenie w koniec pręta (punkt różny od środka masy) związane jest również z tym, że moment pędu jest niezerowy. Następuje obrót pręta wokół swojego środka masy. Pręt wykonuje również ruch posuwisty. Krążek po zderzeniu ma prędkość v2, która ma zwrot najczęściej przeciwny do pierwotnego, może też być zgodny, a w szczególnym przypadku krążek może się zatrzymać. Prawo zachowania pędu Prawo zachowania momentu pędu Prawo zachowania energii

Ruch krążka i pręta najwygodniej jest opisać w układzie, którego początek pokrywa się ze środkiem masy spoczywającego pręta. v - prędkość krążka przed zderzeniem v1 - prędkość krążka po zderzeniu v2 - prędkość środka masy pręta po zderzeniu I - moment bezwładności pręta  - prędkość kątowa pręta po zderzeniu

i ostatecznie otrzymujemy wyrażenie: Dla przypadku zatrzymania się krążka, układ równań sprowadzi się do skalarnej postaci: Moment bezwładności I pręta dla osi jak na rysunku: L stąd i ostatecznie otrzymujemy wyrażenie:

Po wstawieniu danych otrzymujemy: m = 0.038 kg

Zderzenie plastyczne M = 0.01 kg M L = 0.2 m v = 10 m/s v xśrm L M Przykład. 3 Bryłka kitu o masie m posiada prędkość v. Kierunek prędkości jest prostopadły do pręta o tej samej masie i długości L, leżącego na gładkim stole. Kit uderza w koniec pręta i przykleja się do niego. Znaleźć ruch pręta i zmianę energii układu. Zderzenie plastyczne M = 0.01 kg L = 0.2 m v = 10 m/s M v L xśrm M x vśrm

Prawo zachowania momentu pędu W wyniku zderzenia plastycznego pręt i kit stanowią całość. Następuje ruch obrotowy układu wokół swojego środka masy po zderzeniu oraz ruch posuwisty z prędkością vśrm (prędkość środka masy). Część energii jest tracona na ciepło - Ecipl. Należy wyznaczyć położenie xśrm i prędkość środka vśrm masy po zderzeniu oraz moment bezwładności Iu całego układu.  - prędkość kątowa układu po zderzeniu Prawo zachowania pędu Prawo zachowania momentu pędu Prawo zachowania energii

Z definicji współrzędnych środka masy wynika Z prawa zachowania pędu Wkład bryłki kitu Z wzoru Steinera Moment bezwładności pręta

Obliczanie prędkości kątowej

Przekształcając poprzednio zapisane prawo zachowania energii otrzymujemy energię traconą na ciepło w wyniku zderzenia plastycznego. 1/5 początkowej energii kinetycznej Dla danych przykładu

Przykład 4 Na kutrze o masie m = 2•100 000 kg ustawiono specjalny silnik pobierający wodę na dziobie i wyrzucający w kierunku przeciwnym do ruchu kutra 200 kg wody w ciągu sekundy z szybkością u = 5 m/s względem kutra. Znaleźć prędkość kutra po czasie 5 min. od rozpoczęcia ruchu. Opór wody pominąć. W chwili t = 0, v(0) = 0 u v µ = 200 kg/s Przyrosty skończone zastępujemy nieskończenie małymi.

W chwili t = 0, v(0) = 0 C – stała całkowania V = 1.3 m/s Następnie separujemy zmienne, a następnie całkujemy Otrzymaliśmy równanie różniczkowe, którego rozwiązanie ma postać następującą: W chwili t = 0, v(0) = 0 C – stała całkowania V = 1.3 m/s

Grawitacja Prawo powszechnego ciążenia, energia, potencjał grawitacyjny, natężenie pola

Prawo powszechnego ciążenia Odkryte przez Newtona 1665 r. Siła działająca między każdymi dwoma punktami materialnymi o masach m1 i m2, znajdujących się w odległości r, jest siłą przyciągającą, skierowaną wzdłuż prostej łączącej te dwa punkty i ma wartość: G – uniwersalna stała grawitacji

Stała grawitacji G ma tę samą wartość dla wszystkich punktów materialnych i jest skalarem. Siłę grawitacji możemy zapisać w postaci wektorowej: r12 m1 m2 r21 m2 m1 F12 = -F21 F12 F21 m2 m1

Stała grawitacyjna G wyznaczana jest doświadczalnie (doświadczenie Cavendisha). Obecnie przyjęta wartość wynosi: G = 6.6720•10-11 N•m2/kg2 ± 0.0006 N•m2/kg2 Znajomość prawa powszechnego ciążenia oraz wartości stałej grawitacji pozwala na wyznaczenie masy Ziemi Mz. Siła przyciągania ciała o masie m umieszczonego na powierzchni Ziemi wynosi: F = gm. Siłę tę porównujemy z siłą grawitacji:

Pole grawitacyjne Zgodnie z prawem powszechnego ciążenia każda masa umieszczona w pobliżu drugiej masy, jest przez nią przyciągana, znajduje się w polu jej działania. Pole to nazywamy polem grawitacyjnym, którego natężenie γ w dowolnym punkcie definiujemy jako siłę grawitacyjną działającą w tym punkcie na jednostkę masy (stosunek siły do masy).

Grawitacyjna energia potencjalna Zmiana ∆U energii potencjalnej układu, w którym działa siła zachowawcza, podczas przejścia układu ze stanu a do b: ∆U = Ub – Ua = -Uab Energia potencjalna układu w dowolnym stanie b wynosi: Ub = -Uab+ Ua . Ua jest wartością energii umownie wybranego układu odniesienia.

Wygodnie jest przyjąć Ua = 0 Wygodnie jest przyjąć Ua = 0. Odpowiada to sytuacji, kiedy oddziaływania grawitacyjne maleją do zera, dla dużych odległości. Przyjmujemy energię potencjalną w nieskończoności równą zeru. Siła jest zachowawcza jeśli praca przez nią wykonana na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli od toru. B A

Wyznaczamy pracę W∞r siły grawitacji w trakcie przenoszenia masy m z nieskończoności do odległości r od środka Ziemi o masie M oraz energię potencjalną U(r). m r F

Znak minus siły oznacza siłę przyciągającą – siłę, która ciągnie masę m w kierunku Ziemi. Znak energii potencjalnej wynika ze znaku siły grawitacyjnej.

Energia potencjalna układu ciał Jeżeli formujemy układ ciał, na przykład układ trzech mas m1, m2, m3, pokazanych na rysunku, to energia potencjalna równa jest pracy , która musi być wykonana przez czynnik zewnętrzny podczas tego formowania. m1 r13 r12 m3 m2 r23

Początkowo masy znajdują się w nieskończonej odległości od siebie r13 r12 m2 m3

Praca potrzebna na utworzenie układu: Przenosimy z nieskończoności m2 do m1 na odległość r12 – praca -G m1 m2/r12 Przenosimy z nieskończoności m3 do m1 na odległość r13 – praca -G m1 m3/r13 Uwzględniamy pracę przeciwko grawitacyjnemu oddziaływaniu między m2 a m3 – praca -G m2 m3/r23 Całkowita praca będzie sumą prac z punktów 1-3

Otrzymana suma prac będzie energią potencjalną i jednocześnie energią wiązania tego układu równą: Aby układ rozdzieli na trzy odległe masy należy dostarczyć energię:

Energia ciała w polu siły centralnej Siła centralna to taka siła, której wektor jest zawsze skierowany do lub od pewnego ustalonego punktu, zwanego centrum siły. Siłą centralną jest siła grawitacji i coulombowska. Przyjmijmy, że ciało o masie M w inercjalnym układzie odniesienia znajduje się w spoczynku, a masa m krąży wokół masy M po orbicie kołowej o promieniu r. Prędkość liniowa masy m wynosi v, kątowa ω.

Grawitacyjna energia potencjalna układu wynosi: Energia kinetyczna będzie równa: W ruchu po okręgu słuszny jest związek (równość sił grawitacji i dośrodkowej):

Związek wykorzystujemy przy obliczaniu całkowitej energii układu E. Związek siły grawitacji z siłą dośrodkową Związek wykorzystujemy przy obliczaniu całkowitej energii układu E.

Potencjał grawitacyjny Potencjał grawitacyjny V jest wielkością skalarną definiowaną jako stosunek energii potencjalnej U, jaką posiada ciało o masie m umieszczone w danym punkcie pola grawitacyjnego, do wartości tej masy. Potencjał grawitacyjny jest skalarem.

Potencjał grawitacyjny V w polu siły centralnej wynosi: gdzie r jest odległością od środka masy M, która jest źródłem pola grawitacyjnego. Potencjał pola wytworzonego przez kilka mas jest sumą potencjałów wytworzonych przez wszystkie masy.

PRZYKŁAD: Pierścienie Saturna Pierścienie Saturna pierścienie zbudowane z cząstek lodu i skał, krążących wokół Saturna. W zależności od gęstości materiału, tworzą one pojedyncze wąskie pasma lub wstęgi. Chociaż średnica pierścieni Saturna wynosi ponad 250 000 km, mają one zaledwie 30 km grubości. Ze względu na grawitacyjne oddziaływanie księżyców orbitujących pośród pierścieni nie są one idealnie płaskie. . Co 14-15 lat pierścienie Saturna ustawiają się pod takim kątem, że przestają być widoczne z Ziemi.

Pierścienie Saturna

PRZYKŁAD: Powłoka kulista Siła działająca między powłoką kulistą a punktową masą m

a) R > r rdθ a F1 r R P O F2 R = OP Znaleźć siłę działającą między powłoką kulistą o promieniu r, gęstości ρ i masie M a masą punktową m, znajdującą się w odległości r od środka powłoki, w przypadku, gdy: a) R > r, b) R < r, grubość powłoki wynosi t. a) R > r rdθ A a F1 r F1y R α rsinθ F1x θ P F2x O α F2y t F2 R = OP B

Wyobrażamy sobie, że powłokę podzieliliśmy na elementy paskowe o szerokości rdθ i długości 2πrsinθ i grubości t. Objętość paska dV: Masa dM będzie równa: Wypadkowa dF sił F1 i F2 działających na element paska o masie m ma kierunek poziomy i wynosi:

Między zmiennymi a, θ, α zachodzi związek: Z twierdzenia cosinusów wynika następny związek: stąd Otrzymany wynik różniczkujemy:

zmienne a i θ, r i R - stałe Podstawiając ostatni, otrzymany wzór do poprzednio otrzymanych związków dostajemy wyrażenie na siłę, jaką kołowy pasek dS działa na punkt o masie m:

Musimy teraz uwzględnić siłę działającą między masą m a każdym paskiem o szerokości ds, a następnie wykonać sumowanie tych sił (całkowanie), otrzymując siłę wypadkową. Zmienna a przyjmuje wartości os R - r do R + r. Ponieważ Więc dla siły wypadkowej otrzymamy:

Gdzie M = (4πr2ρt) jest całkowitą masą powłoki. Pełna kula może być rozpatrywana jako układ wielu współśrodkowych powłok. Rozważmy przypadek, kiedy punkt materialny o masie m znajduję się wewnątrz powłoki. Poszukujemy siły, jaką powłoka sferyczna działa na punkt materialny. Poprzednio otrzymane związki między zmiennymi a, θ, α są słuszne. Natomiast zmienna a przyjmuje teraz wartości od r-R do r+R. Dla takiego przypadku

Siła wewnątrz powłoki wynosi zero. R = OP PA = PB = a b) r > R rdθ Siły F1 i F2 działają pod kątem α i ich składowe poziome się znoszą. Wartości pionowych sił sumujemy i otrzymujemy: A rsinθ r a F1 θ t P O R F2 a B Siła wewnątrz powłoki wynosi zero.

Siła F i natężenie pola γ wewnątrz powłoki wynoszą zero. Na zewnątrz powłoki siła F i natężenie pola γ zależą od odległości od środka powłoki. Siła F i natężenie pola γ wewnątrz powłoki wynoszą zero.

Pełna kula może być rozpatrywana tak, jakby była złożona z dużej ilości współśrodkowych powłok. Jest to słuszne dla takiej kuli, której każda powłoka ma jednakową gęstość. Ziemia, Księżyc czy Słońce, rozważane jako takie kule, jeśli chodzi o działanie grawitacyjne na ciała znajdujące się na zewnątrz, mogą być uważane za punkty materialne.

Kartkówka Planeta porusza się po elipsie wokół nieruchomego Słońca. Największa odległość od Słońca wynosi a, najmniejsza – b. Masz Słońca M, planety – m. Napisać prawa zachowania energii i momentu pędu, traktując układ Słońce – Ziemia jako odosobniony. M va a r b m vb

energia Moment pędu Dla punktów leżących na długiej półosi elipsy: