poprzedni wykład: Fale Fale podłużne a fale poprzeczne Równanie falowe, fala harmoniczna Prędkość fazowa i grupowa Jak pokonać prędkość światła Opis fal przy pomocy liczb zespolonych Fala płaska Równania Maxwella Fale świetlne Fotony Spin Ciśnienie światła; wiatr słoneczny Chłodzenie atomów Zadania

Fale podłużne a fale poprzeczne zaburzenie, które się rozprzestrzenia się w czasie i przestrzeni. kierunek drgań jest prostopadły do kierunku rozchodzenia się fali (np. fala elektromagnetyczna) poprzeczne : drgania odbywają się w kierunku równoległym do kierunku jej rozchodzenia (np. fala dźwiękowa, fale gęstości, fale trzęsień Ziemi, fale p) podłużne : Poprzeczna podłużna http://gcsephysics.com/pwav2.htm

Równanie falowe Jednowymiarowe skalarne równanie falowe (wyprowadzimy je z równań Maxwella) funkcji f: Skalarne równanie różniczkowe cząstkowe drugiego rzędu, opisujące propagację różnorodnych fal (elektromagnetycznych, dźwiękowych, fal powierzchniowych). The wave equation is an important second-order linear partial differential equation that describes the propagation of a variety of waves, such as sound waves, light waves and water waves. It arises in fields such as acoustics, electromagnetics, and fluid dynamics. Historically, the problem of a vibrating string such as that of a musical instrument was studied by Jean le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, and Joseph-Louis Lagrange. Fale elektromagnetyczne (w tym pole elektryczne E fali świetlnej) w próżni są rozwiązaniem równania falowego z v = c.

Fala płaska: Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Jest to fala o stałej częstotliwości, której powierzchnie falowe (powierzchne jednakowej fazy) tworzą równoległe do siebie płaszczyzny. Wypełniają one całą przestrzeń. Płaszczyzny frontów falowych fal elektromagnetycznych wędrują w próżni z prędkością światła. W optyce fala płaska jest rozwiązaniem równania falowego (równania Maxwella) W mechanice kwantowej fala płaska (funkcja falowa) jest rozwiązaniem równania Schrödingera dla cząstki swobodnej. …Mimo tego pojęcie fali płaskiej jest niezwykle pożyteczne w optyce (ale równie w mechanice kwantowej!). Przy poocy fali płaskiej jesteśmy w stanie wytłumaczyć wiele zjawisk optycznych i takich cech światła jak polaryzacja, interferencja, zachowanie się na granicy ośrodków itp.. Pamietajmy, że np.. linia prosta (twór doskonale jednowymiarowy) też nie istnieje poza wyobrażeniem w naszym mózgu. Mimo tego, trudno jest sobie wyobrazić, by można było np.. wybudować dom bez użycia linii prostej, o ile zrobi się to rozsądnie Fala płaska niesie więc nieskończoną energię. Fala taka nie istnieje realnie!

Prędkość grupowa vg vp vg º dw /dk Dla fali harmonicznej o zmieniającej się (modulowanej) amplitudzie prędkość grupowa jest prędkością obwiedni fali nośnej. Obwiednia rozchodzi się z prędkością grupową. Fala nośna rozchodzi się z prędkością fazową. vg vp vg º dw /dk

Czy można: zatrzymać światło? przyspieszyć światło?!?

Zadania: Wykaż, że gdy funkcja f (x) spełnia równanie falowe, funkcja f (x ± vt) również spełnia równanie falowe. Sprawdź poprawność związków między prędkością fazową i prędkością grupową: Przedyskutuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ). Znajdź związek między prędkością fazową i prędkością grupową (Wikipedia.pl, „prędkość grupowa”). Przeanalizuj ten związek dla ośrodków posiadających dyspersję czasową (w ośrodkach takich częstość  zależy od długości fali ). ******

Odpowiedź 1. (z wykładu 02 Fale) Zapiszmy f (x ± vt) jako f (u), gdzie u = x ± vt.      Podstawiając do równania falowego: c.b.d.o.

Wykład 3 Równania Maxwella a fale świetlne Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Dlaczego fale świetlne w próżni (powietrzu) są falami poprzecznymi Gęstość energii fali świetlnej Wektor Poyntinga Irradiancja (natężenie światła) Irradiancja superpozycji fal świetlnych Skąd się bierze światło? Wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych Zadania

Wektorowe równanie falowe Teraz mamy strzałkę nad E. Są to trzy niezależne równania falowe; każde z nich dotyczy składowych x, y, i z wektora E. posiada rozwiązanie w postaci: lub: zespolona amplituda

Wektorowe równanie falowe (3D) Teraz mamy strzałkę nad E. posiada rozwiązanie w postaci: lub: zespolona amplituda

Fale wyrażone przez zespolone amplitudy wektorowe Pola zespolone, a więc i ich amplitudy są teraz wektorami: Zespolone amplitudy zapisane są więc przy pomocy aż sześciu liczb, które trzeba znać, by te amplitudy w pełni określić!!! składowa x składowa y składowa z

Powtórzenie; operatory różniczkowe Różniczkowy operator wektorowy nabla :   Gradient funkcji skalarnej f :  - jest wektorem, wskazuje kierunek, w jakim wzrost funkcji f jest największy. Dywergencja – operator różniczkowy, który funkcji wektorowej przypisuje wielkość skalarną Ponieważ rachunki, które prześledzimy, są dość proste, stosować będę notację wektorową, która jest bardziej przejrzysta a więc i bardziej przystępna dla słuchaczy mniej rachunkowo zaawasowanych. Do bardziej złożonych rachunków polecam oczywiście tzw.zapis tensorowy (zapis Einsteina), który jest wówczas wygodniejszy i bardziej ogólny. Ma on te zaletę, że daje expicite każda składową, jasno zdaje sprawę z własności transformcyjych przy zmianie układu współrzędnych i wreszcie łatwo daje się uogólnić na przestrzenie wielowymiarowe.

Powtórzenie; operatory różniczkowe Laplacian: operator różniczkowy drugiego rzędu,który można zdefiniować za pomocą operatorów gradientu i dywergencji: Laplacian funkcji skalarnej:      Laplacian funkcji wektorowej: (działa na każdą ze składowych funkcji wektorowej) Laplacian mówi nam o zakrzywieniu funkcji wektorowej

Powtórzenie; operatory różniczkowe Rotacja funkcji wektorowej tworzy pole wektorowe wskazujące wirowanie (gęstość cyrkulacji) pola wyjściowego. Rotacja może być zapisana przy pomocy wyznacznika: W notacji Einsteina: Jeżeli rotacja danego pola wektorowego jest równa zero (wektorem zerowym), to pole to jest bezwirowe. Pole bezwirowe posiada potencjał (i odwrotnie: pole posiadające potencjał jest polem bezwirowym).

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni: Z równań tych widać, że zmienne pole elektryczne w próżni wywołuje zmienne pole magnetyczne, a zmienne pole magnetyczne wywołuje zmienne pole elektryczne.

Równania Maxwell’a Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie widzimy. Równania Maxwella w elegancki sposób opisują wszystkie zjawiska dotyczące pola elektrycznego i magnetycznego. Można z nich wyprowadzić znane dawniej prawa empiryczne takie, jak prawo Faradaya czy prawo Ampera. Ale równania Maxwella zawierają jeszcze więcej informacji. Po odpowiednim ich przekształceniu otrzymujemy równanie falowe, a prędkość opisywanej przez nie fali równa jest prędkości światła w próżni. Jak wiemy, Światło jest falą elektromagnetyczną. Równania Maxwella opisują również fale elektromagnetyczne, których nie widzimy. Telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji – to opiera się na czterech równaniach Maxwella. telefony komórkowe, radio, telewizja, łączność satelitarna, nawigacja morska i lotnicza, systemy radiolokacji …

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): H zmienne E E zmienne H - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ], e0 - przenikalność elektryczna próżni, m0 - przenikalność magnetyczna,  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. Z równań tych widać, że zmienne pole elektryczne w próżni wywołuje zmienne pole magnetyczne, a zmienne pole magnetyczne wywołuje zmienne pole elektryczne. Z równań Maxwella można wyprowadzić równanie falowe fali elektromagnetycznej.

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W próżni (w powietrzu): H E - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ], e0 - przenikalność elektryczna próżni, m0 - przenikalność magnetyczna,  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. Zmiany te w postaci fali elektromagnetycznej rozchodzą się z prędkością: . Prędkość tę, mimo że dotyczy wszystkich fal elektromagnetycznych, nazywa się prędkością światła.

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy :   Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: (RM) Podstawiając za: (RM) 0 0 mamy: , lub: 0 0 m0 i e0 są stałe w czasie: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy :   Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: (RM) Podstawiając za: (RM) 0 0 mamy: , lub: 0 0 m0 i e0 są stałe w czasie: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy :   Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: (RM) (RM) Podstawiając za: 0 0 mamy: , lub: 0 0 m0 i e0 są stałe w czasie: 0 0

Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Weźmy :   Zmieńmy kolejność różniczkowania zgodnie z regułą RHS: (RM) 0 0 (RM) Podstawiając za: mamy: , lub: 0 0 m0 i e0 są stałe w czasie: 0 0

Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas:              . 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v2 = Tak więc Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością światła. Pole magnetyczne B też spełnia takie samo równanie falowe, co można łatwo wykazać. 0 0 Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c:

Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas:              . 0 0 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v2 = Tak więc Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością światła. Pole magnetyczne B też spełnia takie samo równanie falowe, co można łatwo wykazać. 0 0 Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c:

Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas:              . 0 0 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v2 = Tak więc Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością światła. Pole magnetyczne B też spełnia takie samo równanie falowe, co można łatwo wykazać. 0 0 Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c:

Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas:              . 0 0 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile : 1/v2 = Tak więc Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością światła. Pole magnetyczne B też spełnia takie samo równanie falowe, co można łatwo wykazać. 0 0 Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c:

Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wyprowadzenie równania falowego z równań Maxwella Skorzystamy teraz z lematu (do wykazania w domu): Wówczas:              . 0 0 0 0 Ponieważ nigdzie nie mamy żadnej gęstości ładunku (próżnia),  = 0, (RM) otrzymaliśmy równanie falowe, o ile: : Tak więc Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością światła. Pole magnetyczne B też spełnia takie samo równanie falowe, co można łatwo wykazać. 0 0 Fala elektromagnetyczna propaguje się w próżni z prędkością v = c:

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:      W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: i (RM) i Tak więc mamy: Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcją x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:      W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: i (RM) i Tak więc mamy: Tak więc nie ma propagujących się fal podłużnych.

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x. Pole fali jest wówczas funkcja x i t, tak więc wszystkie pochodne względem y i z są równe zero:      W ośrodku bez ładunków swobodnych: a więc: i (RM) i Tak więc mamy: Tak więc w próżni 3D nie ma propagujących się fal podłużnych.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].   Tak więc: Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)].   Tak więc: Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) (istnieje tylko składowa z obu wektorów) Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?     Tak więc: Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) oraz: - istnieje tylko składowa „z” wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)? Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y [tak więc Ex = Ez= 0 i Ey = Ey(x,t)]. Jaki jest kierunek pola magnetycznego (indukcji magnetycznej)?     Tak więc: Pole indukcji magnetycznej jest prostopadłe do pola elektrycznego. Wektory tworzą układ prawoskrętny. (RM) oraz: - istnieje tylko składowa „z” wektora Czyli pole magnetyczne wskazuje kierunek z.

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Pola E i B są już w teraz funkcjami  i k, a nie r i t

poddane transformacie Fouriera Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI W ogólności: Równania Maxwella poddane transformacie Fouriera zgodnie z regułą: Pola E i B są już w teraz funkcjami  i k, a nie r i t

Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI „Zdjęcie” w czasie t: Pola E i B są już w teraz funkcjami  i k, a nie r i t Wektor falowy k wskazuje kierunek, w jakim rozchodzi się fala EM, jego długość jest miarą szybkości zmian pola EM w przestrzeni (wzdłuż kierunku propoagacji)

tworzą układ prawoskrętny. Skąd wiadomo, że fala elektromagnetyczna w próżni jest falą poprzeczną? Równania opisujące falę harmoniczną: są rozwiązaniami równań Maxwella o ile: RELACJA DYSPERSJI Wektory tworzą układ prawoskrętny. Pola E i B są już w teraz funkcjami  i k, a nie r i t

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Startujemy z: i Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x,0) = 0 Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Startujemy z: i Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x,0) = 0 Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Startujemy z: i Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x,0) = 0 Całkowanie Ey wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-iw). Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Wielkość pola magnetycznego fali świetlnej Niech fala rozchodzi się wzdłuż osi x i jej pole elektryczne skierowane jest wzdłuż osi y. Startujemy z: i Całkujemy: Przyjmijmy Bz(x,0) = 0 Całkowanie Ey wzgledem x daje ik, a całkowanie względem t daje 1/(-iw). Otrzymujemy: Ponieważ w / k = c:

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q:   Porównajmy obie siły; ich stosunek wynosi:   Ponieważ B = E/c: gdzie jest prędkością ładunku Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q:   Porównajmy obie siły: Ponieważ B = E/c: gdzie jest prędkością ładunku gdyż: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q:   Porównajmy obie siły: Ponieważ B = E/c: gdzie jest prędkością ładunku gdyż: Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Siła działająca na ładunek w polu fali świetlnej Siła Lorentza działajaca na ładunek q:   Porównajmy obie siły; ich stosunek wynosi:   Ponieważ B = E/c: gdzie jest prędkością ładunku Tak więc tak długo, jak prędkość ładunku jest dużo mniejsza niż prędkość światła, część magnetyczna siły Lorentza jest dużo mniejsza niż część elektryczna i można ją zaniedbać.

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe. W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko, przypomnijmy sobie (chociażby z elektrostatyki), że: W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Tak więc gęstość energii pola elektrycznego i magnetycznego fali świetlnej są równe. Przypomnijmy sobie (chociażby z elektrostatyki), że:

Gęstość energii fali świetlnej (Gęstość energii pola: energia pola w jednostce objętości) Gęstość energii pola elektrycznego: Gęstość energii pola magnetycznego: Dla fali: B = E/c, i , a więc: Mamy więc: Całkowita gęstość energii: Przypomnijmy sobie (chociażby z elektrostatyki), że: Tak więc udział gęstości energii pola elektrycznego i magnetycznego fali EM w całkowitej gęstości energii pola EM jest taki sam.

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B Przypatrzmy się, którą z wielkości, o których mówiliśmy, umiemy zmierzyć. Może to jest strumień energii…. W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt V gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] V strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt V gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] V strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B W poszukiwaniu wielkości, które dają się zmierzyć, czy też tych, na które reaguje nasze oko

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B

Wektor Poyntinga: [ ] A c Dt gęstość strumienia energii U – gęstość energii pola Wektor Poyntinga: [    ] strumień energii przenoszonej przez wiązkę światła (moc przepływająca przez jednostkę powierzchni) gęstość strumienia energii = gęstość energii x prędkość jej transportu Energia przepływająca przez powierzchnię A w czasie Dt: = U V = U A c Dt Energia przepływająca w jednostkowym czasie przez jednostkę powierzchni: = U V / ( A Dt ) = U c = c e0 E2 = c2 e0 E B

Wektor Poyntinga: wielkość szybkozmienna w czasie! Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga:   Średnia z cos2 jest równa 1/2: wielkość szybkozmienna w czasie!

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła średni strumień energii   Podstawiając: i do wyrażenia na wektor Poyntinga:   Średnia z cos2 jest równa 1/2: wielkość szybkozmienna w czasie!

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz , w kierunku propagacji irradiancja I (natężenie) fali wyraża się: [W/m2] czyli: I ~ gdzie:

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła Ponieważ pola elektryczne i magnetyczne fali są wzajemnie prostopadłe, oraz B0 = E0 / c, oraz , w kierunku propagacji irradiancja I (natężenie) fali wyraża się: [W/m2] czyli: I ~ gdzie: Pamiętajmy: rozważania nasze są poprawne dla fali harmonicznej rozchodzącej się w próżni. Falę opisaliśmy:

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m2] ?  S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2  laserem osiągalne  S   1020 W/m2   pola wewnątrz atomów E 109 V/m http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Mirrors/Tzetzes.html

Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m2] ?  S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2  laserem osiągalne  S   1020 W/m2   pola wewnątrz atomów E 109 V/m http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Mirrors/Tzetzes.html

Galleria degli Uffizi (Florencja) Irradiancja (lub nieprawidłowo, choć często używane: natężenie) wiązki światła [W/m2]  S  (na pow. Ziemi) =1400 W/m2  laserem osiągalne  S   1020 W/m2   pola wewnątrz atomów E 109 V/m ? http://math.nyu.edu/~crorres/Archimedes/Mirrors/Tzetzes.html W roku 212 p.n.e. - jak głosi legenda - Archimedes (http://www.historia.info.pl/postacie/archimedes.html) zbudował wielkie wklęsłe zwierciadło, które miało posłużyć do skupienia promieni i podpalenia w ten sposób floty rzymskiej zgromadzonej w porcie w Syrakuzach. Od tamtej pory minęły ponad dwa tysiąclecia. Wszyscy wiedzą, że to działa - przy pomocy soczewki, a nawet szkiełka od zegarka można w sprzyjających okolicznościach rozpalić ognisko - ale dotychczas nikomu nie udało się podpalić sposobem Archimedesa niczego bardziej okazałego. *w roku 2004 grupa naukowców podjęła próbę zbudowania ogromnych zwierciadeł i skupienia odbitego światła w jednym punkcie, aby spowodować samozapłon fragmentu okrętu, niestety po wielokrotnych próbach nie zdołano wzniecić pożaru na okręcie i uznano „zwierciadła” Archimedesa jedynie za legendę. Starożytny pomysł Archimedesa , aby wykorzystywać przy pomocy luster energię słoneczną, zostanie zrealizowany. W Priolo na Sycylii powstaje elektrownia zasilana promieniami słonecznymi zbieranymi przez 360 luster rozlokowanych na obszarze czterdziestu hektarów (20 boisk piłkarskich). Elektrownia typu archimedesowego pozwoli zaoszczędzić rocznie 12 500 ton ropy i uniknąć wyrzucenia do atmosfery 40 000 ton dwutlenku węgla. http://www.archiwum.ekologika.pl/2004/archimedes_nie_doczekal___wklesle_zwierciadla_schwytaja_promienie.html Zwierciadło Archimedesa Giulio Parigi (1571-1635) Galleria degli Uffizi (Florencja)

Światło jako broń (?) Wcześni historycy greccy i rzymscy donoszą, że Archimedes wyposażył setki ludzi w metalowe zwierciadła by zogniskować światło słoneczne na rzymskich statkach wojennych w bitwie pod Syrakuzami (213 -211 BCE). najprawdopodobniej nieprawdziwa Jest to historia apokryficzna

Podsumowanie: Wektory są wzajemnie prostopadłe. Wektory drgają w zgodnej fazie. Fala EM jest falą poprzeczną W próżni (w ośrodku izotropowym) fala elektromagnetyczna transportuje energię prostopadle do swojego czoła. Fala elektromagnetyczna w próżni (powietrzu) rozchodzi się z prędkością Pola E i B są już w teraz funkcjami  i k, a nie r i t

Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje. Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E1(x,t) + E2(x,t) jest też jego rozwiązaniem. Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą.   Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować:

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi:    0 0

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi:    0 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): natężenia dodają się Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi:    0 0 0 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): natężenia dodają się 1 2 0 0 0 0 Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Irradiancja sumy dwóch fal: Jeśli obie są proporcjonalne do: , irradiancja wynosi:    0 0 0 0 Dla różnych polaryzacji: (np. w kierunku x i y): natężenia dodają się 1 2 0 0 0 0 Dla takich samych polaryzacji np. w kierunku x: 0 0 Tak więc: Wyraz krzyżowy ! Wyrażenie krzyżowe związane jest z interferencją!

Zadanie: Zapisz pole E i B płaskiej fali monochromatycznej o częstotliwości , która porusza się: a) w kierunku ujemnym osi x i jest spolaryzowana* w kierunku osi z, b) porusza się w kierunku wyznaczonym przez początek układu współrzędnych i punkt (1,1,1) i jest spolaryzowana* równolegle do płaszczyzny xz. *) Fala elektromagnetyczna jest spolaryzowana w danym kierunku (lub w danej płaszczyźnie) gdy jej wektor elektryczny oscyluje zgodnie z tym kierunkiem (lub w tej płaszczyźnie).

Równania Maxwella Widzieliśmy, że w pustej przestrzeni równania Maxwella (równanie falowe) opisuje propagację światła. H E W sformułoaniu makroskopowym j i  to gęstoś prądu i ładunków swobodnych (zewnetrznych), które Ale skąd się pochodzi światło, co jest jego pierwotnym źródłem? Musi nim być materia.

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: sformułowanie „makroskopowe” - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [T = Vs /m2 ], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka, mr - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m2],  - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. (wzgledna) W sformułoaniu makroskopowym j i  to gęstoś prądu i ładunków swobodnych (zewnetrznych0

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - przenikalność elektryczna ośrodka (względna), mr - przenikalność magnetyczna ośrodka (względna), - gęstość prądu, [A/m2],  - gęstość ładunku, [ C / m3]  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. Proszę Państwa, na czym polega trudność z różnymi wersjami równan Maxwella zapisanych dla ośrodków materialnych? otóż problem polega na tym, że niektóre źródła

Równania Maxwell’a Podstawowe równania elektromagnetyzmu i optyki. Opisują własności pola elektrycznego i magnetycznego oraz zależności między tymi polami. W ośrodkach liniowych: - natężenie pola elektrycznego, [ V / m ], - indukcja magnetyczna, [ T = Vs /m2], - indukcja elektryczna, [ C / m2] - natężenie pola magnetycznego, [ A / m ] er - funkcja dielektryczna r = r(), mr - przenikalność magnetyczna ośrodka, - gęstość prądu swobodnego, [A/m2],  - gęstość ładunku swobodnego, [ C / m3]  - operator dywergencji, [1/m],  - operator rotacji, [1/m]. W zagadnieniach optycznych niezwykle ważne jest, by pamiętać, że epsilon nie jest stałą, lecz jest fumkcją, która zalezy od częstotliwości fali swietlnej. To samo dotyczy w ogólności przenikalności magnetycznej mi. Z ty ze dla większości tradycyjnych materiałów uywanych w optyce mi jest stałe i wynosi 1.

Źródła światła przyspieszane ładunki niezwiazane Liniowo przyspieszane ładunki Promeniowanie synchrotronowe - promieniowanie emitowane przez naładowane cząstki przyspieszane po krzywoliniowych torach np.. w polu magnetycznym Promieniowanie hamowania (niem. Bremsstrahlung) - promieniowanie powstające podczas hamowania cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym (np. w trakcie hamowania w zderzeniu z inną czastką naładowaną).

Ośrodek spolaryzowany (obojętny elektrycznie jako całość): Źródła światła: polaryzacja Ośrodek spolaryzowany (obojętny elektrycznie jako całość): Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie.

Ośrodek spolaryzowany: Gdy drgania ładunków (elektronów) są skorelowane, ośrodek jest spolaryzowany. Polaryzacja ośrodka może się zmieniać harmonicznie w czasie. Indukowana polaryzacja ośrodka jest zawarta w równaniach Maxwell’a (przyjęto, że r=1):

Równania Maxwell‘a w ośrodku materialnym Indukowana polaryzacja ośrodka i jest zawarta w równaniach Maxwell’a (przyjęto, że r=1): Ten dodatkowy czynnik dodaje się do równania falowego, które zwane jest jako niejednorodne równanie falowe: Polaryzacja jest członem źródłowym i mówi nam o tym, jakie światło zostanie wyemitowane. Zauważmy, że indukowana polaryzacja, a więc wychylenie ładunku , jest dwukrotnie różniczkowane. jest przyspieszeniem ładunku! Tak więc to przyspieszane ładunki (elektrony) ośrodka są źródłami światła.

Równania Maxwell‘a w ośrodku materialnym Indukowana polaryzacja ośrodka i jest zawarta w równaniach Maxwell’a (przyjęto, że r=1): Ten dodatkowy czynnik dodaje się do równania falowego, które zwane jest jako niejednorodne równanie falowe: Polaryzacja jest członem źródłowym i mówi nam o tym, jakie światło zostanie wyemitowane. Zauważmy, że indukowana Polaryzacja, a więc wychylenie ładunku , jest dwukrotnie różniczkowane. jest przyspieszeniem ładunku! Tak więc to przyspieszane ładunki zwiazane (elektrony) ośrodka są źródłami światła.

Rzędy wielkości częstości oscylacji atomowych i cząsteczkowych: Oscylacje elektronów wynikające z ich ruchu wokół jader atomowych: Duża częstość: ~1014 - 1017 cykli na sekundę. Oscylacje jąder cząsteczek względem siebie: Pośrednie częstości: ~1011 - 1013 cykli na sekundę. Rotacja jąder cząsteczek: Niskie częstości: ~109 - 1010 cykli na sekundę. Energiom związanym z oscylacjami przypisać można poziomy energetyczne

Oscylacje atomowe i cząsteczkowe obrazu klasycznego odpowiadają przejściom między poziomami energetycznymi w opisie kwantowym. Stan wzbudzony DE = hn Energia Stan podstawowy Atom oscylujący z czestością n. Atom oscylujący między stanem wzbudzonym i podstawowym.

Wzbudzone atomy spontanicznie emitują fotony. Kiedy atom wraca do stanu o niższym poziomie energii, emituje foton. Stan wzbudzony Energia Stan podstawowy Cząsteczki na ogół pozostają dłużej wzbudzone ( ~ kilka nsek). Emisja fotonu: fluorescencja lub, dla dłuższych czasów życia: fosforescencja.

Cząsteczki posiadają znacznie bardziej zróżnicowane poziomy energetyczne niż atomy. Przykład poziomów energetycznych cząsteczki: E = Eel + Evib + Erot 2gi wzbudzony stan elektronowy Energia 1szy wzbudzony stan elektronowy Wzbudzony poziom rotacyjno-oscyalcyjny Przejście między stanami elektronowymi Dodatkowo widmo komplikuje się wskutek sprzężenia spin-orbita, obecności spinu jądrowego etc. Podstawowy stan elektronowy Tak więc cząsteczki mają zwykle dość złożone widma.

Dziękuję za uwagę

Lemma: Proof: Look first at the LHS of the above formula:   Taking the 2nd yields: x-component: y-component: z-component:

Lemma (cont’d): Proof (cont’d):   Now, look at the RHS:

Sumowanie pól: elektromagnetyzm jest teorią liniową, zasada superpozycji obowiązuje. Jeśli E1(x,t) and E2(x,t) są rozwiązaniami równania falowego, wówczas E1(x,t) + E2(x,t) jest też jego rozwiązaniem   Oznacza to, że wiązki światła mogą przechodzić jedna przez drugą.   Oznacza to również, że mogą one konstruktywnie lub destruktywnie interferować:

1. Proof that f (x ± vt) solves the wave equation (z wykładu 02 Fale) Write f (x ± vt) as f (u), where u = x ± vt. So and   Now, use the chain rule: So Þ and Þ    Substituting into the wave equation: