Model Konkurujących Gatunków

Co to jest konkurencja? Konkurencja to jedna z antagonistycznych interakcji międzypopulacyjnych, w której dwie populacje tego samego lub różnych gatunków, zazwyczaj o podobnych wymaganiach środowiskowych rywalizują o tę samą niszę ekologiczną. Dochodzi do współzawodnictwa o ograniczone zasoby środowiska np. pożywienie.

Założenia modelu konkurujących gatunków: Liczba konkurujących osobników jest proporcjonalna do liczebności każdego z tych gatunków, czyli iloczynu Konkurencja zewnątrzgatunkowa może w różnym stopniu wpływać na osobniki różnych gatunków, w tym celu należy uwzględnić strategię jaką stosują osobniki w spotkaniu ze sobą. Jednorodność każdej populacji, zatem wszystkie osobniki danego gatunku zachowują się jednakowo.

Strategie stosowane przez osobniki: Gołębia Jastrzębia Osobniki stosującego ją gatunku ustępują przy spotkaniu z osobnikami , które zachowują się agresywnie. Atakowanie osobników drugiego gatunku i wykazywanie agresji.

Wpływ konkurencji na osobniki: Jeśli oba gatunki stosują strategię to tracą dużo energii przy spotkaniach na walkę, co przekłada się na duży wpływ tej konkurencji. Dla osobników stosujących strategię wpływ konkurencji jest nieco mniejszy. W przypadku strategii jeden z gatunków straci więcej energii niż drugi.

Rozważany model konkurujących gatunków ma postać: Oznaczenia:

Znajdźmy rozwiązania dla omawianego modelu:

Ostatecznie :

Wyznaczmy nasze izokliny:

Uwaga. Portrety fazowe zależą od wzajemnego położenia prostych Uwaga! Portrety fazowe zależą od wzajemnego położenia prostych .Od tego zależy także liczba rozwiązań stacjonarnych w przestrzeni fazowej

Uwaga! Wzajemne położenie izoklin zależy od wielkości współczynników

Przypadek 1 Prosta znajduje się powyżej (pierwsza ćwiartka układu współrzędnych). Proste te przecinają się w . Istnieją trzy rozwiązania stacjonarne o nieujemnych współrzędnych: A, B, C. Występują zarówno rozwiązania niestabilne ( A i C ) jak i stabilne ( B, które przyciąga inne rozwiązania ).

Interpretacja przypadku Zwróćmy uwagę na fakt, że , zatem konkurencja zewnątrzgatunkowa nie wpływa tak bardzo na gatunek , jak na gatunek . Gatunek uznawany jest za słabszy i w wyniku czego jest usuwany ze środowiska, natomiast silniejszy przeżywa i w efekcie jego liczebność stabilizuje się na poziomie pojemności środowiska dla tego gatunku.

Portret fazowy Rys 1. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Przypadek 2 Analogiczny do przypadku 1. Za silniejszy gatunek uznajemy , który przeżywa, a jako słabszy , eliminowany ze środowiska . Portret fazowy jest symetryczny z portretem dla przypadku wcześniejszego.

Przypadek 3 Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce. Istnieją rozwiązania stacjonarne, które nie są stabilne ( D ) i stabilne lokalnie ( B i C ). Zachowanie rozwiązań zależy od warunków początkowych. Jeśli liczebność początkowa danego gatunku jest duża w stosunku do gatunku konkurencyjnego, to ten gatunek przeżywa.

Interpretacja przypadku Strategia jastrzębia vs. x3 x1

Portret fazowy Rys 2. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Przypadek 4 Proste i przecinają się w pierwszej ćwiartce układu współrzędnych. Występuje czwarte rozwiązanie stacjonarne ( D) do którego zbiegają wszystkie rozwiązania.

Interpretacja przypadku Strategia gołębia vs.

Portret fazowy Rys 3. Pole wektorowe układu wraz z przykładowym rozwiązaniem dla

Odmianą modelu jest układ zaproponowany przez V. Volterrę : Wpływ zużycia zasobów środowiska na gatunek Funkcja zużycia zasobów środowiska Liczebność Współczynnik rozrodczości

Własności funkcji F: F jest klasy , czyli jest ciągła wraz ze swoimi pochodnymi cząstkowymi. F(0,0)=0; F jest ściśle rosnąca ze względu na zmienne, czyli dla i=1,2. Dla dowolnych ustalonych zachodzi:

Zbadajmy własności rozwiązań układu: Założenia: Układ ma nieujemne rozwiązania dla nieujemnych warunków początkowych , które są określone i ograniczone dla każdego t >0.

Znajdźmy izokliny:

Znajdowanie rozwiązań stacjonarnych.

Istnieje także czwarte rozwiązanie, które spełnia warunek :

Koniec