Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Właściwe minimum lokalne: Funkcja f(x) ma w punkcie właściwe minimum lokalne, jeżeli istnieje takie, że: takie, że: przy czym: Słabe minimum lokalne Funkcja f(x) ma w punkcie słabe minimum lokalne, jeżeli istnieje takie, że takie, że przy czym :

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Każde minimum globalne jest minimum lokalnym, lecz nie na odwrót. Zadanie optymalizacji bez ograniczeń dla Zadanie optymalizacji z ograniczeniami:  Zadanie programowania liniowego ZPL  Zadanie programowania nieliniowego ZPN

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Twierdzenie Weierstrass’a Funkcja f(x) ciągła na zwartym zbiorze rozwiązań dopuszczalnych [zbiorze ograniczonym i domkniętym] jest na tym zbiorze ograniczona i osiąga swe kresy tzn.: istnieją punkty : takie, że dla każdego zachodzi :

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Własności funkcji wypukłych Definicja zbioru wypukłego: Zbiór nazywamy wypukłym, jeżeli dla każdych dwóch punktów odcinek łączący te dwa punkty także należy do X tzn.: Definicja funkcji wypukłej: Niech będzie zbiorem wypukłym. Funkcję będziemy nazywali wypukłą, jeżeli dla dowolnych dwóch punktów i dla każdego:

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Kiedy funkcja f(x) jest wypukła Macierz A o wymiarze nxn nazywamy hesjanem, gdy jej elementami są drugie pochodne cząstkowe funkcji f(x): Lemat 1 Niech ma ciągłe drugie pochodne cząstkowe oraz niech będzie zbiorem wypukłym. Funkcja f(x) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej hesjan A(x) jest dodatnio pół-określony dla każdego.

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Definicja macierzy A dodatnio półokreślonej Macierz A o wymiarze nxn jest dodatnio pół-określona, jeśli dla każdego Definicja macierzy A dodatnio określonej Macierz A o wymiarze nxn jest dodatnio określona, jeśli dla każdego niezerowego

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Kryterium Sylwestra – praktyczne sprawdzenie wypukłości funkcji f(x)  Kwadratowa macierz symetryczna A jest dodatnio pół-określona wtedy i tylko wtedy, gdy:  Kwadratowa macierz symetryczna A jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy:

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Rys.1 Zbiór X - wypukły Funkcja f(x) też jest wypukła

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Rys.2 Zbiór X – nie jest wypukły Funkcja f(x) – funkcja wypukła.

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Rys.3 Zbiór X – jest wypukły Funkcja f(x) nie jest wypukła,

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Rys.4 Zbiór X – nie jest wypukły Funkcja f(x) też nie jest wypukła.

Lemat 2 Niech funkcja będzie funkcją różniczkowalną oraz zbiór będzie zbiorem wypukłym. Funkcja f(x) jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy Lemat 3 Niech funkcja, dla będzie funkcja wypukłą, wówczas dla dowolnego rzeczywistego α zbiór jest wypukły. Funkcje wypukłe

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Lemat 4 skalarne są większe od zera dla i=1,...,k to funkcja f(x) Niech będzie zbiorem wypukłym. Jeśli funkcje dla i=1,...,k są funkcjami wypukłymi oraz jeśli wielkości skalarne są większe od zera dla i=1,...,k to funkcja f(x) jest funkcją wypukłą.

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Twierdzenie 2 Dowolne minimum lokalne funkcji wypukłej f(x) na wypukłym zbiorze rozwiązań dopuszczalnych jest na tym zbiorze jej minimum globalnym. Dowód: Niech w punkcie funkcja f(x) ma swoje minimum lokalne. Oznacza to, że istnieje takie, że: gdzie: Przyjmijmy,. Wybierzmy oraz Ze względu na wypukłość f(x) :

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 ckd Twierdzenie 3 Ściśle wypukła funkcja f(x) określona na wypukłym zbiorze rozwiązań dopuszczalnych X ma na tym zbiorze co najwyżej jedno minimum.

Wydział Elektroniki PWr AiR III r. Metody numeryczne i optymalizacja Dr inż. Ewa Szlachcic Wykład 3 Przykład Niech,. Wykazać, że funkcja określona formułą liniową: jest jednocześnie wypukła i wklęsła na R n.