Wykład 14 5.3.1 Opis ruchu planet 5.3.2 Rozpraszanie cząstek alfa na ciężkich jądrach 5.4 Spin i orbitalny moment pędu 5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności Reinhard Kulessa

Weźmy planetę o masie m poruszającą się wokół Słońca o masie M. 5.3.1 Opis ruchu planet Weźmy planetę o masie m poruszającą się wokół Słońca o masie M. r Słońce Planeta vdt Reinhard Kulessa

Zakreślane pole przez promień r wynosi; , czyli . (5.6) Widzimy więc, że stałość prędkości polowej, czyli II prawo Keplera wynika z prawa zachowania momentu pędu. Ażeby rozważyć bliżej tory planet, wprowadźmy biegunowy układ współrzędnych. Niech Słońce znajduje się w początku tego układu. Reinhard Kulessa

Moment pędu dla rozważanego przypadku, wyraża się wzorem, Wiemy, że,  r M m vr vt (5.7) . Wiemy również, że, . Moment pędu dla rozważanego przypadku, wyraża się wzorem, Reinhard Kulessa

 (5.7a) . Równocześnie spełnione jest prawo zachowania energii. . Z równania (5.7a) znajdujemy wyrażenie na prędkość transwersalną, . Otrzymujemy więc na energię wzór: Mamy więc, . (5.8)  . = U’(r) Reinhard Kulessa

Zróbmy wykres energii potencjalnej U’(r). L2/(2mr2) -C/r U’=L2/(2mr2)-C/r r0 rmax rmin rS 2r0 2rmin 2rmax 2a r U’ Reinhard Kulessa

W położeniu rmin i rmax prędkość radialna vr znika. Wtedy Jeśli ciało niebieskie posiada energię E1, zbliża się ono na odległość rS,a następnie oddala się do nieskończoności. Gdy planeta posiada energię E2, porusza się ona po elipsie , przy czym 2a = rmin + rmax. W punkcie o energii E3 planeta porusza się po stałym promieniu. Jej prędkość radialna jest równa zero, orbita jest więc kołowa. Zastanówmy się jakie parametry fizyczne warunkują wielkość dużej półosi elipsy a = ½(rmin+rmax). W położeniu rmin i rmax prędkość radialna vr znika. Wtedy U’(r) = E, czyli . (5.9) Równanie to ma dwa rozwiązania: Reinhard Kulessa

. Wiemy, że , i . Widać również, że planety krążąc po różnych torach , ale z tą samą wartością 2a, mają tą samą energię. Należy również zaznaczyć, że dla energii E2 i E3, całkowita energia jest ujemna. Znaczy to, że energia kinetyczna nie przewyższa energii potencjalnej. Obiekt jest więc związany z masą centralna. Ażeby cząstki rozdzielić, musimy im dostarczyć tyle energii, aby przezwyciężyć energię ujemną, którą nazywamy energią wiązania. Reinhard Kulessa

5.3.2 Rozpraszanie cząstek alfa na ciężkich jądrach W przypadku tym mamy do czynienia z siłą kulombowską i jest ona odpychająca. Siła ta jest siłą centralną i moment pędu w czasie ruchu cząstki  wzór (5.7a) pozostaje cały czas stały. . (5.10)  b r  mv x Wielkość b nazywamy parametrem zderzenia. Dla zderzenia centralnego jest on równy zero. Przy takim wyborze osi x jak na rysunku, musi nastąpić zmiana pędu w kierunku x. Reinhard Kulessa

Zgodnie z prawem Newtona mamy, x  p mv . Zgodnie z prawem Newtona mamy, . Wiemy, że siła kulombowska ma następującą postać: . Ponieważ zmiana pędu następuje tylko w kierunku x, mamy Reinhard Kulessa

Z równania (5.10) znajdujemy, że , czyli . Dla mamy . Reinhard Kulessa

Otrzymamy więc: , gdzie . Znaleźliśmy więc zależność pomiędzy parametrem zderzenia a kątem odchylenia. b2 b1 2 1 Reinhard Kulessa

5.4 Spin i orbitalny moment pędu Istnieje wiele systemów charakteryzujących się dwoma różnymi momentami pędu. Przykładem może być elektron w atomie wodoru, czy też Ziemia w ruchu dookoła Słońca. LO LS p (5.11) Pamiętamy, że ogólnie . Przyjmijmy początek laboratoryjnego układu współrzędnych w punkcie O, oraz odpowiedni układ środka masy w punkcie S. Reinhard Kulessa

Równanie (5.11) możemy więc napisać jako; Wiemy, że O S mi rS ri riS . Równanie (5.11) możemy więc napisać jako; . W drugim składniku dolnego wzoru . Reinhard Kulessa

Z kolei w trzecim składniku . Obydwa wyrazy zerują się ze względu na definicję środka masy. Można więc napisać, że całkowity moment pędu jest równy . (5.11a) Przy braku sił zewnętrznych , wtedy . Reinhard Kulessa

5.5 Moment pędu bryły sztywnej - Moment bezwładności Rotujące ciało sztywne charakteryzuje się tym, że wszystkie jego części poruszają się ze stałą prędkością kątową wokół osi obrotu. Weźmy płytę płaskorównoległą i rozważmy jej obrót dookoła osi prostopadłej.  rj mj Pamiętamy, że . Pamiętamy, że dla każdego układu cząstek definicja momentu pędu jest następująca: Reinhard Kulessa

czyli . Drugi składnik równania jest z oczywistych względów równy zeru. Mamy więc (5.12) . (5.13) Współczynnik I definiuje moment bezwładności dla płyty z ostatniego rysunku względem wybranej osi. Reinhard Kulessa