Reinhard Kulessa1 Wykład Środek masy Zderzenia w układzie środka masy Sprężyste zderzenie centralne cząstek poruszających się c.d. 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych

Reinhard Kulessa2 Powróćmy do rysunku B na str. 13 z poprzedniego wykładu i policzmy maksymalną energię przekazaną masie m 2 w zderzeniu elastycznym dla przypadku m 2 >> m 1. Z zasady zachowania energii (wzór (4.25) ) dla Q = 0 mamy;. Dla m 2 >> m 1, m 1 /m 2 0, p 1 = p 2. Trzy wektory z poprzedniego równania tworzą trójkąt równoramienny Sprężyste zderzenie centralne cząstek poruszających się c.d. 1 2 p1p1 p 1 p 2 B

Reinhard Kulessa3 p1p1 p 1 Otrzymujemy więc:. Możemy więc policzyć energię przekazana ciału o masie m 2 ;, gdzie oznacza energię kinetyczną nadlatującej cząstki o masie m 1 przed zderzeniem. Maksymalna energia zostaje przekazana dla zderzenia centralnego z = 180 o.

Reinhard Kulessa Sprężyste zderzenie centralne cząstek poruszających się Problem ten przerobić we własnym zakresie łącznie z dyskusją różnych wariantów. 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych Rozważmy N ciał, na które poza siłami wewnętrznymi działają również siły z zewnątrz. Masy tych ciał są odpowiednio m m N.

Reinhard Kulessa5 Siłę wewnętrzną działającą na i-te ciało a pochodzącą od k- tego ciała oznaczmy przez F ik. Na i-te ciało działa więc siła wewnętrzna,.(4.27) Oznaczmy przez F i z siłę zewnętrzną działającą na i-te ciało. Równania ruchu dla N ciał mają następującą postać;. (4.28)

Reinhard Kulessa6 Po dodaniu tych równań otrzymujemy;. Z zasady akcji i reakcji mamy;, czyli. (4.29) Zmiana pędu układu na który działają siły zewnętrzne w czasie, jest równa sumie działających sił zewnętrznych.

Reinhard Kulessa Środek masy Równanie (4.29) możemy zinterpretować bardziej poglądowo, jeśli wprowadzimy pojęcie środka masy. Jeśli mamy układ N ciał z których każde jest rozmieszczone w miejscu r i, to możemy określić położenie środka masy jako:. (4.30) Jeśli mamy układ dwóch ciał, to zgodnie z powyższym wzorem mamy;, lub.

Reinhard Kulessa8 Ostatnie równanie możemy napisać następująco:. m1m1 m2m2 x y z r 2S rSrS r2r2 r1r1 S r 1S Wynika stąd, że:, Czyli środek ciężkości leży na linii łączącej dwie masy. Środek ciężkości dzieli linię łączącą dwie masy w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas.

Reinhard Kulessa9 Jeśli mamy pewien rozkład masy, to musimy w celu określenia środka masy tego rozkładu wykonać następującą operację całkowania;, (4.30a) gdzie określa gęstość i. Ruch środka masy dowolnego układu cząstek możemy opisać bardzo prostymi równaniami. W oparciu o równanie (4.30) mamy:.(4.31)

Reinhard Kulessa10 M S jest sumaryczną masą układu cząstek skupioną w środku masy,. W wyniku powtórnego różniczkowania równania (4.31) z uwzględnieniem r. (4.29) otrzymujemy.. Układ ciał porusza się tak jak jego środek masy, przy czym wszystkie siły zewnętrzne są przyłączone do środka masy. Jeśli suma sił zewnętrznych jest równa zero, środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub spoczywa. Rozważmy nowy układ współrzędnych z początkiem w środku masy.

Reinhard Kulessa11 Sytuację tą możemy przedstawić na diagramie pędowym. p 1Si p 2Sf p 2Si p 1Sf Układ środka masy możemy przedstawić następująco: Zgodnie z r. (4.30) mamy, (4.33). Jeśli założymy, że nie działają siły zewnętrzne, to. m1m1 m2m2 r 2S rSrS r2r2 r1r1 r 1S L S

Reinhard Kulessa12 W nowym układzie prędkość środka masy znika.. W układzie środka masy całkowity pęd układu przed i po zderzeniu będzie równy zeru. Dwie zderzające się masy m 1 i m 2, będą w układzie środka masy miały pędy odpowiednio p 1S i p 2S. Dla pędów tych będzie przed zderzeniem zachodziła relacja;. W czasie zderzenia obydwie cząsteczki mogą zmienić prędkości, a tym samym pędu, zachowana jednak zostanie relacja;.

Reinhard Kulessa13 Równania będą miały postać;. Odejmując te równania stronami otrzymujemy;. Oznaczmy (4.34), gdzie nazywamy masą zredukowaną, wtedy.

Reinhard Kulessa14 Równanie to opisuje nam ruch względny dwóch mas pod wpływem oddziaływania wewnętrznego. Skorzystaliśmy tu z zależności:.(4.36) W oparciu o równanie (4.33) i (4.36) znajdujemy: (4.37). Wiedząc, że w układzie laboratoryjnym (patrz rysunek) otrzymujemy (korzystając z r.(4.30) ),

Reinhard Kulessa15. Z tych równań, jak również wprost z równania (4.37) otrzymujemy:. (4.38) Dla pędu ruchu względnego otrzymujemy:

Reinhard Kulessa16 (4.39). Analogicznie na energię kinetyczną otrzymamy;. (4.40) Zderzenia w układzie środka masy Omówmy przypadek zderzenia ciała o masie m 1 i prędkości v 1 ze spoczywającą w układzie laboratoryjnym cząstką o masie m 2. Ponieważ v 2 = 0, w oparciu o r. (4.30) otrzymujemy,.

Reinhard Kulessa17 p 2Si p 2Sf p 1Si p 1Sf Układ laboratoryjny Układ środka masy Jeśli w układzie środka masy zaznaczymy prędkości analogicznie jak pędy na prawym rysunku, to w oparciu o definicję pędu w układzie środka masy możemy napisać;. m2m2 m1m1 m2m2 S L m1m1 v 1i v 2Sf v 1Sf v 1f v 2f vSvS

18 Dla zderzenia elastycznego zachowana jest również energia kinetyczna. Dla układy środka masy możemy ją napisać następująco:. Z zasady zachowania pędu w układzie S podanej na poprzedniej stronie, mamy. Wstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy:

Reinhard Kulessa19 W oparciu o rysunek na stronie 11 możemy znaleźć związek pomiędzy prędkościami w układzie laboratoryjnym i w układzie środka masy.. vSvS v 1f v 1Sf L S vSvS v 1f v 1Sf S L ABC D W oparciu o prawy rysunek możemy napisać;.

Reinhard Kulessa20 Z zasady zachowania pędu (r. (4.31) ) możemy napisać:, bo v 2i = 0. Z transformacji prędkości pomiędzy układem L i S, mamy,. Możemy więc napisać:

Reinhard Kulessa21 Na zależność pomiędzy kątami rozproszenia w układzie laboratoryjnym L i w układzie środka masy S otrzymujemy:.(4.41) W przypadku zderzenia dwóch równych mas, mamy m 1 = m 2, czyli.