Wykład 11 15. Magnetyczne własności materii 14.4 Siły wynikające z prawa Lorentza i Biota-Savarta c.d. 14.5 Prądy polaryzacyjne w dielektrykach. 15. Magnetyczne własności materii 15.1 Momenty magnetyczne atomów i cząsteczek 15.2 Zależność pomiędzy magnetyzacją M a prądem cząsteczkowym jmol. 15.3 Wektor natężenie polamagnetycznego H. 15.4 Zdolność magnetyzacji materii 15.5 Pole magnetyczne na granicy ośrodków. 15.6 Obwody magnetyczne - Elektromagnes 16. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej 16.1 Prawo indukcji Faraday’a 16.2 Prądy indukcyjne, reguła Lenza Reinhard Kulessa

16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej 16.3 Prądy wirowe 16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej Reinhard Kulessa

14.5 Prądy polaryzacyjne w dielektrykach. Na ostatnim wykładzie stwierdziliśmy, że udział w powstawaniu pola indukcji magnetycznej mają wszystkie możliwe prądy. Rozważaliśmy jednak do tej pory jedynie prądy stacjonarne, czyli niezależne od czasu. Różniczkowe prawo Ampera możemy sformułować następująco: Zastanówmy się co dzieje się w dielektryku przy włączaniu pola elektrycznego. E = 0 E = const - + Włączenie pola powoduje przesunięcie ładunku dE/dt 0 ładunek powierzchniowy  neutralne atomy uszeregowane dipole Reinhard Kulessa

W chwili gdy włączamy pole w czasie dt przepływa przez jednostkę powierzchni ładunek . Możemy więc powiedzieć, że przepływa wtedy prąd związany z polaryzacją o natężeniu; . Możemy więc napisać, że gęstość prądu polaryzacyjnego wynosi: Wektor polaryzacji związany jest z wektorem natężenia pola elektrycznego zależnością (8.5) , czyli (8.5) Reinhard Kulessa

Wprowadzając tą zależność do naszych rozważań, otrzymujemy równanie; . W próżni prawa część równania powinna zniknąć. Doświadczenie pokazuje, że również w próżni istnieje człon . Różniczkowe prawo Ampera przyjmuje więc ogólnie postać: (14.21) Powyższe równanie jest równocześnie I prawem Maxwella. Reinhard Kulessa

15. Magnetyczne własności materii 15.1 Momenty magnetyczne atomów i cząsteczek W równaniu (14.16) podaliśmy definicję orbitalnego momentu magnetycznego. Moment pędu (rysunek obok) jest wielkością skwantowaną. z Lz  r e  = 1.0546 ·10-34 Js Orbitalny moment magnetyczny jest równy: Reinhard Kulessa

Do tego dochodzi własny-spinowy moment magnetyczny; W atomach wieloelektronowych momenty orbitalny i spinowy dodają się do wypadkowego momentu magnetycznego pM. Wartość tego momentu definiuje własności magnetyczne materiału. Gdy pM ≠ 0 ----- materiał jest paramagnetykiem, Gdy pM = 0 ----- materiał jest diamagnetykiem. Przyłożenie do jakiegoś materiału zewnętrznego pola indukcji magnetycznej B, powoduje polaryzację dipoli magnetycznych występujących w tym materiale. Pojawia się wtedy wielkość, którą nazywamy magnetyzacją M. Reinhard Kulessa

15.2 Zależność pomiędzy magnetyzacją M a prądem cząsteczkowym jmol. Załóżmy, że mamy jednorodnie namagnesowany cylinder. M l I A Cały cylinder posiada magnetyczny moment dipolowy pM = M · l · A. Magnetyzacja ma miejsce dlatego, że atomowe momenty dipolowe są ustawione równolegle do osi cylindra. Wewnątrz cylindra prądy atomowe kompensują się. Na powierzchni powstaje nie skompensowana składowa prądu powierzchniowego I. Reinhard Kulessa

Magnetyzacja tej płytki wynosi; Jeśli podzielimy cylinder na dyski o wysokości l, to opływa go prąd I· l/l, dając moment magnetyczny; I ·l/l A pM l Magnetyzacja tej płytki wynosi; (15.2) Znaleźliśmy więc związek pomiędzy prądami molekularnymi a magnetyzacją. Przyczyniają się do niej składowe powierzchniowe tych prądów. Można pokazać , że ogólna postać zależności pomiędzy prądami molekularnymi a magnetyzacją, ważna również dla niejednorodnej magnetyzacji ma postać: (15.3) Reinhard Kulessa

M A l I M l I=I cbdo. Prawdziwość równania (15.3) możemy wykazać następująco. Dla równania (15.3) możemy definiując powierzchnię A = s·l napisać: M l I A Lewa całka w tym równaniu jest = 0 dla powierzchni A1 , lecz jest równa I dla powierzchni A2 . Prawa całka jest zgodnie z twierdzeniem Stokes’a równa: M A1 A2 s l Mamy wtedy: 1 2 I=I cbdo. Reinhard Kulessa

15.3 Wektor natężenie polamagnetycznego H. Jeśli wprowadzimy znalezioną postać wektora gęstości prądu molekularnego jmol do I równania Maxwella, to otrzymamy: Równanie to możemy zapisać również jako: (15.4) Natężeniem pola magnetycznego H nazywamy wyrażenie: Jednostką natężenia pola magnetycznego jest [A/m]. (15.5) Reinhard Kulessa

15.4 Zdolność magnetyzacji materii Zgodnie z równaniem (15.5) możemy wyrazić wektor indukcji magnetycznej przez wetor natężenia pola magnetycznego. Otrzymamy zależność Równanie to zawiera w sobie skomplikowane bardzo często własności materii. A). paramagnetyki Pamiętamy związek pomiędzy indukcją magnetyczną B a natężeniem pola magnetycznego H analogiczny do związku między D a E w elektrostatyce. Ma on postać: Reinhard Kulessa

Współczynnik  = ( - 1) jest podatnością magnetyczną. 0 jest przenikalnością magnetyczną próżni, a  jest względną przenikalnością magnetyczną ośrodka. Z ostatnich dwóch równań możemy znaleźć zależność między magnetyzacją a natężeniem pola magnetycznego. Współczynnik  = ( - 1) jest podatnością magnetyczną. Dla paramagnetyków podatność magnetyczna  > 1 Jeśli posiadamy substancję paramagnetyczną, która posiada n atomów na jednostkę objętości, a każdy atom ma dipolowy moment magnetyczny równy m to magnetyzacja tej substancji wynosi; Reinhard Kulessa

nazywamy podatnością magnetyczną substancji. , (15.6) Gdzie wyrażenie mB/3kT oznacza ułamek dipoli magnetycznych ustawionych równolegle do pola indukcji B. Stosunek (15.7) nazywamy podatnością magnetyczną substancji. W oparciu o równania (15.6) i (15.5) możemy napisać: (15.8) Reinhard Kulessa

Dla paramagnetyków   10-9 – 10-3, a   1. Należy również zauważyć, że podatność magnetyczna dla paramagnetyków zmienia się z temperaturą zgodnie z prawem Curie. Dla paramagnetyków   10-9 – 10-3, a   1. B H M H b). diamagnetyki W diamagnetykach magnetyczne momenty orbitalne i spinowe kompensują się. Zewnętrzne pole indukcji magnetycznej indukuje prądy kołowe o kierunku takim, że dipolowe momenty magnetyczne tych prądów są antyrównoległe do zewnętrznego pola. Reinhard Kulessa

Podatność magnetyczna  jest dla diamagnetyków ujemna i niezależna od temperatury. H C). ferromagnetyki Dla ferromagnetyków >> 1∼104, >>0. Zależność B(H) pokazuje zjawisko histerezy. Reinhard Kulessa

Ferromagnetyzm znika powyżej temperatury Curie. B(M) H BR HK Krzywą histerezy charakteryzują dwie wielkości, remanencja BR, oraz koercja HK. Ferromagnetyzm znika powyżej temperatury Curie. Temperatury Curie wynoszą przykładowo dla Gd-200 C, Dla Ni-3580 C, dla Fe-7700 C, Co- 11310 C. B T TC Reinhard Kulessa

15.5 Pole magnetyczne na granicy ośrodków. Analogicznie do rozważań nad przebiegiem wektora natężenia pola elektrycznego E, oraz wektora przesunięcia D na granicy dwóch ośrodków o różnych stałych dielektrycznych, możemy zbadać zachowanie się wektorów B i H na granicy dwóch ośrodków o różnych przenikalnościach magnetycznych 1 i 2 . Stosując dla składowych równoległych wektora natężenia pola magnetycznego i prawo Ampera wiedząc, że w obszarze granicznym nie płyną prądy przewodnictwa, uzyskujemy następująca zależność: (15.9) . Reinhard Kulessa

W oparciu o powyższe wzory otrzymujemy również; Z kolei wiedząc, że pole indukcji magnetycznej B jest bezźródłowe, czyli posiada zerowa dywergencję , uzyskujemy stosując do składowych i prawo Gaussa, następujące zależności; ⊥ . (15.9a) ⊥ W oparciu o powyższe wzory otrzymujemy również; B1 B2 1 2 1 2 (15.10) . Reinhard Kulessa

15.6 Obwody magnetyczne - Elektromagnes Pole magnetyczne zwykle jest skupione w ograniczonych obszarach, tworzących elementy obwodów magnetycznych. Obwody magnetyczne posiadają swoje opory magnetyczne . Dla oporów tych można podać odpowiedniki prawa Ohma i Kirchoffa dla obwodów elektrycznych, zwanych prawami Hopkinsa. Omówmy dla przykładu pole magnetyczne w elektromagnesie ze szczeliną powietrzną o długości x. r I x D<<r 1). Prąd o natężeniu I jest źródłem pola H. H⊥ zmienia się na granicy rdzeń-szczelina. Z prawa Ampera mamy: 2). Pole B jest bezźródłowe, tzn. Reinhard Kulessa

Bezźródłowość pola indukcji magnetycznej daje nam: Otrzymujemy więc: Bezźródłowość pola indukcji magnetycznej daje nam: W związku tym: Otrzymujemy więc silne wzmocnienie pola w szczelinie (>>1). Reinhard Kulessa

16. Zjawisko indukcji elektromagnetycznej W rozdziale tym będziemy mówili o efektach towarzyszących zmianom pól elektrycznych i magnetycznych. Stwierdzimy też z zawsze należy rozważać pola elektryczne i indukcji magnetycznej nierozdzielnie. Pole elektryczne i magnetyczne są bowiem dwoma formami jednej wielkości fizycznej- pola elektromagnetycznego. 16.1 Prawo indukcji Faraday’a Omawianie prawa indukcji Faradaya możemy przeprowadzić na dwa sposoby. Pierwszy opiera się na doświadczeniach demonstrujących zjawisko indukcji elektromagnetycznej, czyli wzbudzania przez pole magnetyczne prądu elektrycznego w zamkniętym obwodzie. Drugie podejście opiera się na rozważaniach dotyczących II równania Maxwella. Reinhard Kulessa

Tę drogę obierzemy w tym wykładzie. II równanie Maxwella mówi, że: (16.1) . Doprowadźmy to równanie do postaci całkowej. Otrzymamy wtedy: (16.2) Występująca we wzorze (16.2) całka jest niczym innym jak definicją strumienia indukcji magnetycznej. Reinhard Kulessa

Z wielkością tą zapoznaliśmy się już poprzednio. Jednostką strumienia indukcji magnetycznej jest [M]=[1 Weber] = [V·s]. Przedyskutujmy równanie (16.2).  A dA B dl Dla jednej pętli  istnieje dowolnie wiele powierzchni A. Kierunek dA jest dany regułą śruby prawej, w połączeniu z kierunkiem całkowania po pętli . Dla powierzchni skierowanej w dół, wektor dA byłby skierowany do wnętrza powierzchni A. Reinhard Kulessa

3. Spotykamy się tu po raz pierwszy z wirem natężenia pola elektrycznego E, gdyż najwyraźniej Oznacza to, że wytworzone zmienne w czasie pole E nie jest zachowawcze, tzn. nie da się go utworzyć jako gradientu skalarnego potencjału. Nie jest to jednak w sprzeczności z tym co wiemy z elektrostatyki. Mamy bowiem do czynienia z polami zmiennymi w czasie, a nie stacjonarnymi. Jeżeli we wzorze (16.2) zastąpimy pętlę  pętlą przewodzącą, to w rezultacie otrzymamy mierzalną wielkość . Reinhard Kulessa

Wir wektora natężenia pola elektrycznego E istnieje jako następstwo zmiany strumienia pola magnetycznego zawsze, niezależnie od tego, czy „zmaterializujemy” czy nie drogę całkowania. Możemy więc już napisać prawo indukcji Faradaya. Siła elektromotoryczne indukcji i wyraża się wzorem: (16.3) Przy pomocy prostego układu możemy wykonać kilka doświadczeń demonstrujących zjawisko indukcji elektromagnetycznej. Układ doświadczalny pokazany jest na następnym rysunku. Reinhard Kulessa

Układ składa się z pętli połączonej z galwanometrem, oraz solenoidu połączonego ze źródłem prądu stałego.Pętlę możemy: poruszać zarówno w kierunku pionowym jak i poziomym, możemy również zmieniać jej kształt możemy ją obracać względem osi poziomej. + - B 1 2 3 4  Jeśli chodzi o solenoid będący źródłem indukcji magnetycznej, to możemy nim też wykonywać ruchy 1 i 2, jak również przez zmianę natężenia prądu możemy możemy zmieniać wartość statyczną wektora indukcji magnetycznej, oraz zmieniać ją w czasie. Reinhard Kulessa

Rozważmy bliżej dwa przypadki. Zmiana powierzchni pętli. Przy wykonaniu wszystkich doświadczeń zmienia się strumień wektora indukcji pola magnetycznego przez dowolną powierzchnie A rozpiętą na pętli . Obieg pętli  uważamy za dodatni, jeśli jest on związany z kierunkiem wektora indukcji B regułą śruby prawej. W naszym doświadczeniu odpowiada temu odpowiednie wychylenie galwanometru. Rozważmy bliżej dwa przypadki. Zmiana powierzchni pętli. Dla takiego przypadku możemy siłę elektromotoryczną indukcji wyrazić wzorem; Reinhard Kulessa

i b) Przypadek obracającej się pętli – generator napięcia zmiennego. W tym przypadku wektor charakteryzujący powierzchnię obraca się wokół osi ⊥ do stałego wektora indukcji B0 z prędkością kołową . Mamy więc: B0 a 1/2b oś A  t i Siła elektromotoryczna indukcji wynosi więc: (16.4) Reinhard Kulessa

i(t) Napięcie szczytowe osiąga wartość V=B0·A· . t 2/ B0A Prawo indukcji Faradaya w postaci (16.3) jest ważne tylko wtedy, gdy jest jednoznacznie realizowana przez przewodnik. Gdy mamy zamknięte oczko wokół punktów A i B, płyną w nim prądy zmieniające w sposób skomplikowany zewnętrzne pole B(t) .Zawsze jednak prawdziwe jest równanie; A B B(t) Reinhard Kulessa

16.2 Prądy indukcyjne, reguła Lenza Zgodnie z prawem Ohma, siła elektromotoryczna indukcji prowadzi do przepływu prądu o natężeniu I: . B(t) A  I dl  Zgodnie ze wzorem (16.2) mamy bowiem: Widzimy wobec tego jednoznacznie, że: Reinhard Kulessa

Kierunek prądu indukcyjnego określa Reguła Lenza. Mówi ona, że: Kierunek prądu indukcyjnego jest taki, że powstająca w wyniku przepływu prądu indukcyjnego siła Biota – Savarta działa przeciwko zachodzącym zmianom strumienia magnetycznego. Możemy to zilustrować przy pomocy pętli, w której wywołujemy prąd indukcyjny przy pomocy magnesu. v N S I I. Pola magnesu i pętli przyciągają się. II. Pola magnesu i pętli odpychają się. Reinhard Kulessa

Rozważmy następujący układ. Mamy dwa przewodniki połączone ruchomym prętem. Całość znajduje się w polu indukcji magnetycznej prostopadłym do płaszczyzny przewodników i pręta. Zwrot wektora indukcji jest zaznaczony na rysunku. Poruszamy prętem ze stałą prędkością w lewo. W czasie dt strumień zmienia się o B · dA=B · l· dx = B ·l · v0 · dt. B I F R v0 dA l dx Otrzymujemy więc zgodnie z prawem Faradaya siłę elektromotoryczną indukcji równą: V Reinhard Kulessa

Napięcie to jest przyłożone do oporu R, przez który płynie prąd indukcyjny Iind . Na oporze wydziela się ciepło Joule’a. Moc wydzielona w przewodniku, zgodnie z równaniem (9.23) jest równa: B I F R V v0 dA Ze względu na zasadę zachowania energii na jednostkę czasu musi zostać wykonana praca mechaniczna związana z przesunięciem pręta. Reinhard Kulessa

Ponieważ Pe = Pm , otrzymujemy więc: . Jest to znana nam już siła Biota – Savarta. Siła ta wynika więc z prawa indukcji Faradaya i zasady zachowania energii. Zgodnie z regułą Lenza siła ta sprzeciwia się zmianom strumienia pola magnetycznego. m W oparciu o regułę Lenza można zbudować silnik liniowy. Reinhard Kulessa

Równowaga sił ciężkości i B-S Siła elektromotoryczna indukcji Po włączeniu prądu, pręt będzie przesuwał się w lewo, a równocześnie zmienia się strumień indukcji magnetycznej. W prosty sposób można pokazać, że prędkość przesuwu pręta równocześnie unoszącego masę m jest równa: (16.5) Prawo Ohma. Równowaga sił ciężkości i B-S Siła elektromotoryczna indukcji Reinhard Kulessa

16.3 Prądy wirowe Załóżmy, że mamy pętlę z dobrego przewodnika, którą chcemy wysunąć z pola magnetycznego. N S Powstający przy wysuwaniu z pola pętli, prąd indukcyjny stara się zachować w niej stały strumień indukcji magnetycznej. Prowadzi to do tego, że linie sił pola magnetycznego są częściowo zabierane przez wysuwaną z pola pętlę. Obliczmy jaka siła jest potrzebna, aby usunąć z pola magnetycznego o natężeniu B, pętlę z prądem z prędkością v. Reinhard Kulessa

indukcyjny będzie miał natężenie: R F’ -F’ v F Płynący w pętli prąd indukcyjny będzie miał natężenie: Siła F, którą musimy działać w kierunku v wynosi: (16.6) Ruch pętli w polu indukcji magnetycznej doznaje proporcjonalnej do prędkości siły hamowania. Ruch płytki przewodzącej w polu indukcji jest źródłem prądów wirowych. Reinhard Kulessa

16.4 Zjawisko indukcji wzajemnej Rozważmy dwie zwojnice o różnych średnicach i różnej liczbie zwojów umieszczonych jedna w drugiej. 1 1’ 2 2’ l Pierwsza zwojnica posiada N1 zwojów i średnicę A1 A1 A2 Druga zwojnica posiada N2 zwojów i średnicę A2 Do zacisków 1 i 1’ łączymy źródło zasilania dające w zwojnicy prąd o natężeniu I1. Prąd I1 wytwarza w cewce pole indukcji magnetycznej równe B1 równe: Reinhard Kulessa

Zmiana natężenia prądu I1 – dI1/dt powoduje powstanie w cewce zmiennego w czasie pola indukcji dB1/dt. To zaś powoduje w cewce 2 pojawienie się siły elektromotorycznej indukcji V2ind. Postępując w sposób analogiczny przyłączając źródło prądu do cewki 2, otrzymamy na siłę elektromotoryczną indukcji w cewce 1 wyrażenie: Reinhard Kulessa

Jednostką indukcji wzajemnej jest 1 Henry = [Wb/A=V·s·A-1] Widzimy, że w obydwu wyrażeniach na siłę elektromotoryczną indukcji występuje wspólny człon zależny jedynie o geometrii zwojnic i przenikalności magnetycznej ośrodka. Otrzymujemy bowiem: (16.7) Widzimy, że . Jednostką indukcji wzajemnej jest 1 Henry = [Wb/A=V·s·A-1] Reinhard Kulessa