Wykład 23 19. Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne 18.6 Rezonans równoległy (napięciowy) 18.7 Układ RLC – Drgania tłumione 19. Równania Maxwella Fale elektromagnetyczne 20.1 Równanie falowe Reinhard Kulessa

 18.6 Rezonans równoległy (napięciowy)  = V0eit  R L C IC IL I Zespolona wartość natężenia prądu będzie wynosiła Zakładając, że mamy do czynienia ze słabym tłumieniem, możemy pominąć R2 w stosunku do 2L2. Reinhard Kulessa

Diagram impedancji dla 1/Z wygląda następująco: Z podanego na poprzedniej stronie Równania otrzymujemy na rzeczywiste wartości natężenia prądu i przesunięcie fazowe wartości: R/2L2 -i/L iC Z-1  Rezonans zachodzi wtedy gdy (18.17) Reinhard Kulessa

Dla częstości rezonansowej zachodzi: =0, |1/Z| = R/(rL)2  min., V0/R Możemy jeszcze podać wartości dla prądów częściowych: Widzimy, że I0C=I0L, ale IC+IL=0 dla rezonansu. Reinhard Kulessa

18.7 Układ RLC – Drgania tłumione Mamy obwód szeregowo połączonych R-L-C z naładowanym kondensatorem. Ponieważ nie przykładamy napięcia zmiennego, nie ma zastosowania rachunek na liczbach zespolonych. R L C I + - Możemy napisać: (18.18) Reinhard Kulessa

Rozwiązanie to zawiera Jest to równanie typu tłumionego oscylatora harmonicznego. Rozwiązanie tego równania dla słabego tłumienia (1/LC) > (R2/4L2) jest następujące: (18.19) I(t) t Rozwiązanie to zawiera również przypadek nieperiodyczny czyli eksponencjalny zanik natężenia prądu. Reinhard Kulessa

Wtedy gdy (1/LC) >> (R2/4L2) częstość Jest równa częstości własnej nie tłumionego obwodu. Rozważmy co dzieje się z natężeniem pola elektrycznego E i indukcją magnetyczną B. Reinhard Kulessa

Dla chwili t=0 istnieje tylko pole E w kondensatorze. 1. - - - - + + + + R L C E B=0 Dla chwili t=0 istnieje tylko pole E w kondensatorze. Po zamknięciu klucza zaczyna płynąć prąd rozładowujący kondensator. Wytwarza on pole B cewce L, przy czym E w kondensatorze znika. R L C E=0 B0 2. Reinhard Kulessa

3. Płynący przez cewkę prąd stopniowo zanika, lecz w sumie ładuje on kondensator przeciwnie niż na początku. Znów mamy pole E różne od zera i równe zeru pole indukcji B. - - - - + + + + R L C E0 B=0 4. I znów kondensator się rozładowuje tworząc pole B i likwidując pole E, itd.. R L C E=0 B0 Reinhard Kulessa

Wiemy, że pole istnieje nie tylko w pobliżu źródeł pola, ale jest obserwowane na dużych odległościach. Z poprzednich rozważań widać, że jest to pole zmienne w czasie, czyli drgające w ten sposób, że zmiana pola elektrycznego E generuje zmianę pola indukcji B. Drganie te zgodnie z teorią względności mogą rozchodzić się nie szybciej niż z prędkością światła. Tworzą one tzw. falę elektromagnetyczną. Istnienie fal elektromagnetycznych zostało przewidziane już przez Maxwell. Zestawmy sobie więc wszystkie równania Maxwella. 19. Równania Maxwella Równania te podamy tak, jak były one podane do tej pory na wykładzie, w postaci różniczkowej i całkowej. Równania Maxwella podaliśmy w oparciu o tzw. równania materiałowe. Reinhard Kulessa

Prawo Gaussa dla Pola magn. (19.1) Same równania Maxwella mają następującą postać Postać różniczkowa Nazwa odpow. prawa Postać całkowa I Prawo Ampera (19.2) Prawo indukcji Faradaya II (19.3) Prawo Coulomba Prawo Gaussa (E) III (19.4) IV Prawo Gaussa dla Pola magn. (19.6) Reinhard Kulessa

Korzystając z równań materiałowych możemy I równanie Maxwella napisać w następującej postaci: Ia (19.6) W równaniach tych wykorzystaliśmy zależność: Do kompletu należy jeszcze dodać równanie ciągłości (19.7) Reinhard Kulessa

Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy: . Podajmy jeszcze postać równań Maxwella wyrażoną przez skalarny i wektorowy potencjał pola. (19.8) Pamiętamy, że w elektrostatyce mieliśmy: . W drugim równaniu Maxwella mamy . Podstawiając do tego równania wartość wektora B z równania (19.8) mamy: Reinhard Kulessa

Otrzymaliśmy więc podane we wzorze (19.8) wyrażenie. , co możemy zapisać jako , lub . Możemy więc twierdzić, że wyrażenie w nawiasie w ostatnim wzorze jest gradientem funkcji skalarnej, (19.9) . czyli Otrzymaliśmy więc podane we wzorze (19.8) wyrażenie. Reinhard Kulessa

Możemy więc napisać III równanie Maxwella następująco: lub . (19.10) Równanie Maxwella Ia możemy napisać następująco: Korzystając z równania (19.9) , otrzymujemy: Reinhard Kulessa

Zastosujmy teraz następujący warunek: (19.11) Równania (19.10) i (19.11) wydają się być zupełnie różne i skomplikowane. Możemy jednak skorzystać z dowolności do dania do potencjału wektorowego A gradientu pewnej funkcji. Zapisywaliśmy to w elektrostatyce stosując specyficzny warunek dla uproszczenia równań; . Zastosujmy teraz następujący warunek: (19.12) Wówczas równanie (19.10) przechodzi w równanie: (19.13) , Reinhard Kulessa

a równanie (19.11) przyjmuje postać: (19.14) Dwa ostatnie równania są równaniami Maxwella wyrażonymi przez potencjał skalarny  i potencjał wektorowy A. Operator nazywamy operatorem D’Alamberta. (19.15) (19.16) Reinhard Kulessa

Można pokazać, że zarówno  jak i A można policzyć znając rozkład ładunków i prądów, oraz ich zależności czasowe. (19.17) Z wzorów tych widać, że pole w punkcie (1), zależy od rozkładu ładunków i prądów w punkcie (2) w chwili (t-r12/c). Informacja o tych rozkładach może dotrzeć do punktu (1) dopiero po czasie (r12/c) Reinhard Kulessa