Reinhard Kulessa1 Wykład Środek masy Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką 4.4 Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych Sprężyste zderzenie centralne poruszających się cząstek

Reinhard Kulessa Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką Przypuśćmy, że mamy cząstkę o pędzie m 1 v 1 zderzającą się z cząstką o masie m 2 w ten sposób, że po zderzeniu ma ona pęd m 1 v 1. Zgodnie z wzorem (4.23) cząstka m 1 musiała przekazać cząstce m 2 pęd:

Reinhard Kulessa3. Zgodnie z wzorem (4.25) możemy wyliczyć stąd energię i pęd cząstki m 2. Ogólnie sytuacja jest następująca; m1m1 m2m2 v1v1 v 1 v m1m1 A 1 2 p1p1 p 1 p 2 B

Reinhard Kulessa4 Dla zderzenia centralnego 1 = 0 o lub 180 o. Rozważmy ten przypadek czyli zderzenie centralne z nieruchomą cząstką. Z równań tych otrzymujemy: Po podzieleniu ostatnich równań stronami, otrzymujemy,..

Reinhard Kulessa5. Ostatecznie otrzymujemy: W zależności od stosunku mas zderzających się cząstek, mamy następujące przypadki: 1.m 1 = m 2 v 1 = 0, v 2 = v 1, 2.m 1 << m 2 v 1 -v 1, v 2 0, 3.m 2 << m 1 v 1 v 1, v 2 2 v 1.

Reinhard Kulessa6 Powróćmy do rysunku B na str. 15 z poprzedniego wykładu i policzmy maksymalną energię przekazaną masie m 2 w zderzeniu elastycznym dla przypadku m 2 >> m 1. Z zasady zachowania energii (wzór (4.25) ) dla Q = 0 mamy;. Dla m 2 >> m 1, m 1 /m 2 << 1, p 1 p 1. Trzy wektory z poprzedniego równania tworzą trójkąt równoramienny Zderzenie elastyczne z nieruchomą cząstką c.d. 1 2 p1p1 p 1 p 2 B

Reinhard Kulessa7 p1p1 p 1 Otrzymujemy więc:. Możemy więc policzyć energię przekazana ciału o masie m 2 ;, gdzie oznacza energię kinetyczną nadlatującej cząstki o masie m 1 przed zderzeniem. Maksymalna energia zostaje przekazana dla zderzenia centralnego z = 180 o.

Reinhard Kulessa Sprężyste zderzenie centralne cząstek poruszających się Sytuacja tego zderzenia wygląda następująco: m1m1 m2m2 m 2 v1v1 v 2 przed zderzeniem po zderzeniu v2v2 m1m1 v 1

Reinhard Kulessa9 Zasada zachowania pędu dana jest zgodnie z równaniem (4.23). (4.23b) Zasada \zachowania energii dana jest wzorem: Równanie (4.23b) możemy przekształcić do postaci: (4.23c) Korzystając z r. (4.23a) zapisanego w jednym wymiarze i r. (4.23c) otrzymujemy; (4.23d).. (4.23a)

Reinhard Kulessa Całkowity pęd układu cząstek przy działaniu sił zewnętrznych Rozważmy N ciał, na które poza siłami wewnętrznymi działają również siły z zewnątrz. Masy tych ciał są odpowiednio m m N. Z punktu widzenia ciała 2 ciało 1 oddala się po zderzeniu z taką prędkością, z jaką zbliżało się przed zderzeniem do ciała 2. Podstawiając równanie (4.23d) do równania (4.23a) otrzymujemy:.(4.23e)

Reinhard Kulessa11 Siłę wewnętrzną działającą na i-te ciało a pochodzącą od k- tego ciała oznaczmy przez F ik. Na i-te ciało działa więc siła wewnętrzna,.(4.27) Oznaczmy przez F i z siłę zewnętrzną działającą na i-te ciało. Równania ruchu dla N ciał mają następującą postać;. (4.28)

Reinhard Kulessa12 Po dodaniu tych równań otrzymujemy;. Z zasady akcji i reakcji mamy;, czyli. (4.29) Zmiana pędu układu na który działają siły zewnętrzne w czasie, jest równa sumie działających sił zewnętrznych.

Reinhard Kulessa Środek masy Równanie (4.29) możemy zinterpretować bardziej poglądowo, jeśli wprowadzimy pojęcie środka masy. Jeśli mamy układ N ciał z których każde jest rozmieszczone w miejscu r i, to możemy określić położenie środka masy jako:. (4.30) Jeśli mamy układ dwóch ciał, to zgodnie z powyższym wzorem mamy;, lub.

Reinhard Kulessa14 Ostatnie równanie możemy napisać następująco:. m1m1 m2m2 x y z r 2S rSrS r2r2 r1r1 S r 1S Wynika stąd, że:, Czyli środek ciężkości leży na linii łączącej dwie masy. Środek ciężkości dzieli linię łączącą dwie masy w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do mas.

Reinhard Kulessa15 Jeśli mamy pewien rozkład masy, to musimy w celu określenia środka masy tego rozkładu wykonać następującą operację całkowania;, (4.30a) gdzie określa gęstość i. Ruch środka masy dowolnego układu cząstek możemy opisać bardzo prostymi równaniami. W oparciu o równanie (4.30) mamy:.(4.31)

Reinhard Kulessa16 M S jest sumaryczną masą układu cząstek skupioną w środku masy,. W wyniku powtórnego różniczkowania równania (4.31) z uwzględnieniem r. (4.29) otrzymujemy.. Układ ciał porusza się tak jak jego środek masy, przy czym wszystkie siły zewnętrzne są przyłączone do środka masy. Jeśli suma sił zewnętrznych jest równa zero, środek masy porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, lub spoczywa. Rozważmy nowy układ współrzędnych z początkiem w środku masy. (4.32)

Reinhard Kulessa17 Układ środka masy możemy przedstawić następująco: Zgodnie z r. (4.30) mamy,(4.33). Jeśli założymy, że nie działają siły zewnętrzne, to. m1m1 m2m2 r 2S rSrS r2r2 r1r1 r 1S L S

Reinhard Kulessa18 W nowym układzie prędkość środka masy znika.. W układzie środka masy całkowity pęd układu przed i po zderzeniu będzie równy zeru. Dwie zderzające się masy m 1 i m 2, będą w układzie środka masy miały pędy odpowiednio p 1S i p 2S. Dla pędów tych będzie przed zderzeniem zachodziła relacja;. W czasie zderzenia obydwie cząsteczki mogą zmienić prędkości, a tym samym pędu, zachowana jednak zostanie relacja;.

Reinhard Kulessa19 Sytuację tą możemy przedstawić na diagramie pędowym. p 1Si p 2Sf p 2Si p 1Sf

Reinhard Kulessa20 Równania będą miały postać;. Odejmując te równania stronami po podzieleniu przez masy, otrzymujemy;. Oznaczmy (4.34), gdzie nazywamy masą zredukowaną, wtedy.

Reinhard Kulessa21 Równanie to opisuje nam ruch względny dwóch mas pod wpływem oddziaływania wewnętrznego. Skorzystaliśmy tu z zależności:.(4.36) W oparciu o równanie (4.33) i (4.36) znajdujemy: (4.37). Wiedząc, że w układzie laboratoryjnym (patrz rysunek) otrzymujemy (korzystając z r.(4.30) ),

Reinhard Kulessa22. Z tych równań, jak również wprost z równania (4.37) otrzymujemy:. (4.38) Dla pędu ruchu względnego otrzymujemy:

Reinhard Kulessa23 (4.39). Analogicznie na energię kinetyczną otrzymamy;. (4.40)