Wykład 14 11 Procesy transportu 12. Niskie temperatury 11.1 Strumień cząstek 11.2 Średnia droga swobodna 11.3 Uogólniony współczynnik transportu. 11.3.1 Przewodnictwo cieplne 11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym 11.3.3 Dyfuzja 11.3.4 Lepkość dynamiczna 12. Niskie temperatury 12.1 Metody pomiaru niskich temperatur 12.2 Zjawisko nadciekłości 12.3 Nadprzewodnictwo 2011-06-13 Reinhard Kulessa

11 Procesy transportu Ażeby móc omówić procesy transportu, należy wprowadzić pewne pojęcia. Są nimi strumień cząstek, średnia droga swobodna i przekrój czynny na zderzenie. 11.1 Strumień cząstek Chcemy określić liczbę cząstek przechodzących przez jednostkową powierzchnię dA w ciągu jednostki czasu. Załóżmy, że mamy do czynienia z cząstkami podlegającymi statystyce Maxwella – Bolzmana. Zgodnie z tą statystyką część cząstek posiadająca prędkości pomiędzy v a v + dv jest równa; . 2011-06-13 Reinhard Kulessa

posiadających prędkości pomiędzy v a v + dv test równa f(v) n dv. Liczba molekuł na jednostkową objętość posiadających prędkości pomiędzy v a v + dv test równa f(v) n dv. x y z dA   v Część molekuł docierających do płaszczyzny xy z kierunku , , jest dana przez; . W czasie dt w powierzchnię dA uderzy następująca część molekuł: 2011-06-13 Reinhard Kulessa

v dt oznacza odległość przebytą w czasie t, gdzie, v dt oznacza odległość przebytą w czasie t, dA cos oznacza część dA prostopadłą do kierunku v, dnv oznacza liczbę molekuł na jednostkę prędkości, objętości i kąta bryłowego, przy czym . W wyniku tego liczba molekuł uderzających w powierzchnię dA w czasie dt jest dana przez; 2011-06-13 Reinhard Kulessa

W wyniku całkowania otrzymuje się, że Strumień molekuł padający na jednostkę powierzchni w czasie jednostkowym otrzymamy w wyniku całkowania ostatniego wyrażenia po wszystkich kierunkach i prędkościach. W wyniku całkowania otrzymuje się, że . (11.1) Skorzystaliśmy z faktu, że . 2011-06-13 Reinhard Kulessa

oznacza średnią prędkość jonów i jest równa: W wykonanych obliczeniach nie braliśmy pod uwagę zderzeń pomiędzy cząstkami. Uwzględnienie tych zderzeń nie zmieni jednak otrzymanego wyniku. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

 11.2 Średnia droga swobodna Aby poprawnie opisać zjawiska transportu, należy uwzględnić zderzenia pomiędzy cząstkami. Chcemy obliczyć średnią odległość przebywaną przez cząsteczkę przed zderzeniem z inną. Załóżmy, że mamy szereg molekuł w spoczynku, a porusza się jedna o średnicy d mająca prędkość v. d v d2 v dt  2011-06-13 Reinhard Kulessa

Liczba zderzeń będzie równa liczbie molekuł w objętości d2 v dt.  = d2 nazywamy przekrojem czynnym. Inaczej przekrój czynny definiujemy jako stosunek liczby zderzeń dN do liczby cząstek padających N, gęstości cząstek w tarczy n i grubości tarczy x. (11.2) Częstość zdarzeń określamy jako liczbę zdarzeń zachodzących na jednostkę czasu. Dla cząsteczek o prędkości średniej, częstość zdarzeń wynosi; 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Średnia odległość pomiędzy zderzeniami będzie więc wynosiła: . Droga przebyta w czasie t, jest równa v t, a liczba zderzeń w tym czasie  t =  n v t. Średnia odległość pomiędzy zderzeniami będzie więc wynosiła: . Uwzględniając ruch wszystkich cząstek, oraz fakt, że prędkości cząstek dane są przez rozkład Maxwella, otrzymujemy na średnią drogę swobodną wartość; . (11.3) 2011-06-13 Reinhard Kulessa

11.3 Uogólniony współczynnik transportu. Można również policzyć, że średnia wartość odległości od płaszczyzny x-y do miejsca, w którym cząsteczki miały ostatnie zderzenie przed przejściem przez powierzchnię dA wynosi; (11.4) 11.3 Uogólniony współczynnik transportu. Zdefiniowane do tej pory zależności pozwolą nam opisać zjawiska transportu cząstek. Załóżmy, że mamy pole cząstek o jednorodnej gęstości n = const. W tym polu cząsteczek istnieje również gradient pewnej własności  w kierunku osi z. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

  może oznaczać energię, pęd, stężenie cząstek, ładunek, itp.. z x y  Transport wielkości  przez powierzchnię dA jest zależny od zmiany  w kierunku z. W pobliżu powierzchni dA możemy napisać: dA (11.5) . Zależność ta jest ważna w odległości kilku dróg swobodnych od z = 0. Transport w dół wielkości  przez powierzchnię dA otrzymuje się przez przemnożenie strumienia cząstek (wzór 11.1) przechodzących przez powierzchnię dA, przez wartość 2011-06-13 Reinhard Kulessa

wielkości  w miejscu ostatniego zderzenia przed dA, czyli w odległości 2/3 . 0 2/3 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Czynnik nazywamy uogólnionym współczynnikiem transportu. Wypadkowy transport wielkości  w kierunku dodatniej osi z jest sumą dwóch podanych strumieni; (11.6) Czynnik nazywamy uogólnionym współczynnikiem transportu. 11.3.1 Przewodnictwo cieplne Przewodnictwo cieplne jest zdefiniowane przez relację daną przez prawo Fouriera; (11.7) 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Wtedy zgodnie z równaniem (11.6) mamy; Współczynnik K jest stałą przewodnictwa cieplnego. Druga część równania dotyczy transportu w dowolnym kierunku. Wielkością transportowaną jest energia cząsteczek. Transport ten zachodzi zawsze w kierunku od wyższej do niższej temperatury. Pamiętamy, że cząsteczki charakteryzują się kilkoma rodzajami energii. Możemy energię cząsteczek wyrazić przez liczbę stopni swobody f. Wtedy zgodnie z równaniem (11.6) mamy; Z porównania ostatniego równania z równaniem (11.7) mamy; 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Równanie to da się również przedstawić w następującej postaci: . Równanie to da się również przedstawić w następującej postaci: . Ostatnią postać równania uzyskaliśmy w oparciu o zależność pomiędzy średnią drogą swobodną a przekrojem czynnym. 11.3.2 Związek przewodnictwa cieplnego z elektrycznym Równanie transportu prądu elektrycznego jest dane przez prawo Ohma. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

. W ostatnim równaniu  jest potencjałem skalarnym pola elektrycznego, a el współczynnikiem przewodności elektrycznej. Podobieństwo tego wzoru z wzorem (11.7) jest widoczne natychmiast. Fakt ten został sformułowany w prawie Wiedermanna-Franza; , gdzie L = 1/3 (k/e)2. Przy transporcie ciepła należy pamiętać, że wypadkowe ciepło wpływające do elementu objętości musi być równe czasowej zmianie energii wewnętrznej. Prowadzi to do równania przewodnictwa cieplnego: 2011-06-13 Reinhard Kulessa

. (11.8) W równaniu tym  oznacza gęstość, a cw ciepło właściwe ośrodka. Współczynnik K/cw określa zdolność przewodzenia ciepła. 11.3.3 Dyfuzja Jeśli doprowadzimy np. w cylindrze do kontaktu dwóch gazów lub cieczy o różnych ciężarach cząsteczkowych, ostra granica pomiędzy tymi materiałami po jakimś czasie zaniknie. Zakładamy, że nie zachodzą ruchy konwekcyjne. Każdy ze składników będzie chciał zająć całą dostępną objętość. Koncentracja np. gazów w cylindrze będzie dana przez równanie barometryczne. Zachodzące W cylindrze zjawisko nazywamy dyfuzją i zaliczamy je do procesów transportu. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Współczynnik dyfuzji dla cząstek jednakowych jest dany przez; Wielkością transportowaną jest koncentracja. Jeśli przez dn/dz oznaczymy zmianę koncentracji w określonym kierunku, to . (11.9) Jest to sformułowanie prawa Ficka. Na wskutek dyfuzji istnieje wypadkowy ruch cząstek z obszaru o wyższej koncentracji do obszaru o niższej koncentracji. Współczynnik dyfuzji dla cząstek jednakowych jest dany przez; . W przypadku, gdy dyfuzja dotyczy dwóch różnych gazów lub cieczy, współczynnik dyfuzji przyjmuje postać; 2011-06-13 Reinhard Kulessa

gdzie . Zmianę koncentracji w określonym kierunku w czasie podaje równanie dyfuzji; (11.10) . 11.3.4 Lepkość dynamiczna Jedną z bardzo częstych transportowanych wielkości fizycznych jest pęd. Z transportem tej wielkości związana jest lepkość. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

W oparciu o równanie (11.6) mamy: z F/A= = η du/dz Współczynnik Tarcia wewnętrznego u Pęd jest transportowany z obszarów o dużej prędkości do obszarów o małej prędkości, przy czym p = mu. W oparciu o równanie (11.6) mamy: (11.11) . 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Z drugiej strony mamy, że: Otrzymujemy wobec tego na współczynnik lepkości wartość: Należy jeszcze zaznaczyć, że wypadkowy transport pędu jest ujemny dla u/z dodatniego. Istnieje również związek pomiędzy przewodnictwem ciepła a lepkością. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Współczynniki te można powiązać z tzw. Liczbą Prandtla , gdzie =cp/cv. Dla gazu idealnego pod ciśnieniem 1 at liczba Prandtla wynosi 1.667, dla He – 0.69, dla O2 – 0.71. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

12. Niskie temperatury Jedną z głównych metod otrzymywania niskich temperatur jest wykorzystanie efektu Joule’a-Thomsona. Przypomnijmy, że zjawisko to polegające na ochładzaniu się gazu przy rozprężaniu nazywamy dodatnim, zaś polegające na ogrzewaniu – ujemnym. Okazuje się, że znak zjawiska Joule’a – Thomsona zależy od tego, która z poprawek a, czy b w równaniu van der Waalsa odgrywa większa rolę. . Gaz, dla którego można pominąć poprawkę b w równaniu van der 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Waalsa a poprawka a odgrywa znaczącą rolę, oziębia się przy rozprężaniu. Ażeby gazy skroplić, musimy je oziębić poniżej temperatury krytycznej, gdyż powyżej tej temperatury nie da się gazu skroplić żadnymi metodami. Najważniejszymi metodami otrzymywania niskich temperatur są; Ekspansja gazu z wykonywaniem pracy zewnętrznej, Odparowanie cieczy pod zmniejszonym ciśnieniem, Zjawisko Joule’a-Thomsona dla przypadku zjawiska dodatniego, czyli dla gazu ochłodzonego poniżej temperatury inwersji, Efekt Peltiera, polegający na wymianie ciepłą pomiędzy dwoma różnymi metalami na wskutek przepływu prądu. 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Omówmy pokrótce ten efekt; a JQa JQb b Je Mamy tu do czynienia z równoczesnym transportem ciepła i ładunku. oznacza siłę termoelektryczną. Wypadkowy transport ciepła wynosi: (12.1) 2011-06-13 Reinhard Kulessa

ab jest współczynnikiem Peltiera. Dla złącza chromel – konstantan współczynnik Peltiera wynosi 22.3 mV. Współczynnik Peltiera rośnie z temperaturą . 5. Adiabatyczne rozmagnesowanie paramagnetyka Problem ten omówiliśmy w czasie jednego z wykładów. Mieszanie ciekłego 3He i 4He. Proces ten umożliwia osiąganie temperatur do 0.001K. 12.1 Metody pomiaru niskich temperatur Do pomiaru temperatur poniżej 1K najczęściej stosuje się następujące metody; 2011-06-13 Reinhard Kulessa

a). Pomiar podatności magnetycznej, b). Pomiar zależności oporu elektrycznego od temperatury, c). Pomiar ciśnienia par 4He w równowadze z cieczą. (jest to związane ze zmniejszaniem się ciepła właściwego mieszaniny. 12.2 Zjawisko nadciekłości Przy obniżaniu temperatury pewne ciecze wykazują bardzo charakterystyczne właściwości.Omówmy to na przykładzie ciekłego 4He. W temperaturze 2.17 K istnieje punkt przejścia, w którym zmienia się cały szereg własności tej cieczy.: W temperaturze 2.17 K następuje skok pojemności cieplnej ciekłego helu, tzw. Punkt  (lambda) (patrz rysunek) Znikanie lepkości poniżej punktu . Lepkość jest 106 razy mniejsza niż powyżej punktu  . 2011-06-13 Reinhard Kulessa

3. Zjawisko pełzania ciekłego 4He po ściankach naczynia Cp[J/Mol·K] 1 2 3 4 10 20 30 T[K] 3. Zjawisko pełzania ciekłego 4He po ściankach naczynia 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Występowanie w nadciekłym He II fali podłużnej (dźwięku) wzbudzanej termicznie. Jak wygląda diagram fazowy 3He i 4He?. P[at] 1 2 3 4 5 25 50 75 T He stały Ciekły HeII Ciekły HeI Krzywa przejścia Krzywa topnienia 1 2 3 4 40 80 120 160 T P[at] 3He Ciało stałe ciecz 4He 2011-06-13 Reinhard Kulessa

Stan nadprzewodnictwa cechuje się następującymi własnościami; 12.3 Nadprzewodnictwo Stan nadprzewodnictwa cechuje się następującymi własnościami; 1. Skokowy zanik oporu elektrycznego w temperaturze przejścia (np. 7.19 K dla Pb). Wzbudzony w obwodzie kołowym prąd może krążyć 105 lat. 2. Zależność temperatury przejścia od pola magnetycznego, 3. Zjawisko Meissnera-Ochsenfelda: zanikanie pola magnetycznego wewnątrz nadprzewodnika w temperaturze przejścia. 4. Zwiększenie nachylenia krzywej zależności entropii od temperatury poniżej temperatury przejścia (skok pojemności cieplnej). 2011-06-13 Reinhard Kulessa