czwartek demo 6

EMO7-laplace

równanie Laplace’a i warunki brzegowe równanie Poissona potencjał V = miara zmiany pola E równanie Laplace’a równanie Laplace’a ogranicza możliwe rozkłady potencjału do klasy funkcji harmonicznych

równanie Laplace’a w 1 wymiarze klasa rozwiązań = funkcje liniowe V(x) = ½ [V(x+dx) + V(x-dx)]  zadanie o wartości średniej nie istnieją extrema poza brzegiem

równanie Laplace’a w 2 wymiarach

równanie Laplace’a w 2 wymiarach twierdzenie o wartości średniej twierdzenie o nieistnieniu maksimów i minimów lokalnych

równanie Laplace’a w 1-2-3 wymiarach warunki brzegowe – przykład w 1 wymiarze V(x) = ? a w 2-wymiarach ? „elektrostatyka” dwuwymiarowa: „fizycznie” dopuszczalne warunki brzegowe równania Laplace’a w 2 wymiarach czyli guma napięta na krzywej krawędzi bębna (pas sprayem po ścianach + guma) w 3-wymiarach = brak lokalnych ekstremów wewnątrz obszaru

równanie Laplace’a w 3 wymiarach

równanie Laplace’a w 3 wymiarach twierdzenie o wartości średniej

równanie Laplace’a w 3 wymiarach

równanie Laplace’a w 3 wymiarach

równanie Laplace’a w 3 wymiarach

równanie Laplace’a w 3 wymiarach czyli zasada superpozycji dla dowolnego rozkładu ładunku na zewnątrz sfery czyli V nie posiada maksimów ani minimów lokalnych (może je mieć jedynie na brzegu)

twierdzenia o jednoznaczności warunki brzegowe – przykład w 1 wymiarze V(x) = ? a w 2-wymiarach ? „elektrostatyka” dwuwymiarowa: „fizycznie” dopuszczalne warunki brzegowe równania Laplace’a w 2 wymiarach czyli guma napięta na krzywej krawędzi bębna a w 3-wymiarach ?

Resume równanie Laplace’a

twierdzenie o jednoznaczności z potencjałem V na brzegu przypuśćmy, że istnieją dwa: zdefiniujmy trzeci: trzeci zeruje się na brzegu

twierdzenie o jednoznaczności z potencjałem V na brzegu przypuśćmy, że istnieją dwa: zdefiniujmy trzeci: trzeci zeruje się na granicach oraz równanie Laplace’a: extrema tylko na granicach – wewnątrz brak maksimów i minimów wszędzie twierdzenie o jednoznaczności: jedno rozwiązanie = jedyne rozwiązanie uogólnić: Laplace  Poisson

twierdzenie o jednoznaczności z ładunkami na przewodnikach przy zadanych całkowitych ładunkach Qi jedno rozwiązanie = jedyne rozwiązanie dowód do domu: jak wyżej + Gauss + dywergencja iloczynu

przykład Purcella

metoda obrazów ładunek +q w (-s,0,0), przewodząca płaszczyzna w x=0 V=0 dla x=0, V  0 w nieskończoności

metoda obrazów jak rozłożony jest ładunek na powierzchni? ile wynosi? jak wygląda pole po drugiej stronie „lustra” ? co z energią?

równanie Laplace’a w układzie rθφ

równanie Laplace’a w układzie rθφ wielomiany Legendre’a formalne rozwiązanie ogólne metoda separacji zmiennych

koniec EMO7-laplace