Wykład 13 Ruch obrotowy 4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy 4.4.3 Ruch rakiety 4.4.4 Wyznaczanie środka masy Ruch obrotowy 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego punktu materialnego 5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych. 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej 04-11-19 Reinhard Kulessa

4.4.2 Zderzenia w układzie środka masy Omówmy przypadek zderzenia ciała o masie m1 i prędkości v1 ze spoczywającą w układzie laboratoryjnym cząstką o masie m2 . Ponieważ v2 = 0, w oparciu o r. (4.30) otrzymujemy, . 04-11-19 Reinhard Kulessa

Jeśli w układzie środka masy zaznaczymy prędkości analogicznie Układ laboratoryjny Układ środka masy m2 m1 S L v1i v2Sf v1Sf v1f v2f vS p1Sf p1Si p2Si p2Sf Jeśli w układzie środka masy zaznaczymy prędkości analogicznie jak pędy na prawym rysunku, to w oparciu o definicję pędu w układzie środka masy możemy napisać; . 04-11-19 Reinhard Kulessa

Wstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy: Dla zderzenia elastycznego zachowana jest również energia kinetyczna. Dla układy środka masy możemy ją napisać następująco: . Z zasady zachowania pędu w układzie środka masy S podanej na poprzedniej stronie, mamy . Wstawiając to do poprzedniego równania otrzymujemy: 04-11-19 Reinhard Kulessa

W oparciu o rysunek na stronie 3 możemy znaleźć związek pomiędzy prędkościami w układzie laboratoryjnym i w układzie środka masy. . vS v1f v1Sf L S vS v1f v1Sf S L A B C D  W oparciu o prawy rysunek możemy napisać; . 04-11-19 Reinhard Kulessa

Z zasady zachowania pędu (r. (4.31) ) możemy napisać: , bo v2i = 0. Z transformacji prędkości pomiędzy układem L i S, mamy, . Możemy więc napisać: 04-11-19 Reinhard Kulessa

W przypadku zderzenia dwóch równych mas, mamy m1 = m2, czyli Na zależność pomiędzy kątami rozproszenia w układzie laboratoryjnym L i w układzie środka masy S otrzymujemy: . (4.41) W przypadku zderzenia dwóch równych mas, mamy m1 = m2, czyli . 04-11-19 Reinhard Kulessa

Rozważmy następujący układ. 4.4.3 Ruch rakiety Rozważmy następujący układ. m m-dm dm dv v0 Rozważmy problem ruchu rakiety w układzie środka masy. Jest on umiejscowiony w rakiecie tak długo jak masa wyrzucanych gazów dm jest mała w stosunku do chwilowej masy rakiety. W układzie tym całkowity pęd jest stały przed i po wyrzucie gazów i jest równy zero. . Zaniedbując dm·dv mamy: . 04-11-19 Reinhard Kulessa

4.4.4 Wyznaczanie środka masy Prędkość rakiety zależy od prędkości wylotu gazów i stosunku mas rakiety z paliwem do masy pustej rakiety, 4.4.4 Wyznaczanie środka masy W jaki sposób możemy wyznaczyć środek masy ciała? Rozważmy następującą sytuację. 04-11-19 Reinhard Kulessa

Względem punktu zawieszenia działa moment siły; x rS ri dmig Względem punktu zawieszenia działa moment siły; . Pamiętamy w oparciu o r. (4.30) że, . Otrzymujemy więc, że, . Widzimy, że równowagę uzyskamy tylko wtedy, gdy środek masy czy ciężkości leży poniżej punktu zaczepienia, rS || g, (lub ogólnie, gdy suma momentów sił działających na dane ciało jest równa zero) Powtarzając tą czynność dwa razy , możemy wyznaczyć rS . 04-11-19 Reinhard Kulessa

Ruch obrotowy 5.1 Zachowanie momentu pędu dla ruchu obrotowego punktu materialnego  r F Rozpatrzmy następujący układ. Równanie ruchu punktu materialnego można napisać jako: . Pomnóżmy to równanie wektorowo z lewej strony przez r. . Równanie to możemy zapisać inaczej korzystając z zależności; 04-11-19 Reinhard Kulessa

Wyrażenie nazywamy momentem siły lub momentem obrotowym. Mamy więc; , lub krócej, (5.1) . Wyrażenie nazywamy momentem siły lub momentem obrotowym. Z kolei nazywamy momentem pędu lub krętem. 04-11-19 Reinhard Kulessa

5.2 Zachowanie momentu pędu dla układu punktów materialnych. W poprzednim rozdziale równanie (4.32) opisywało ruch środka masy. Jego ruch zależał tylko od sumy sił zewnętrznych. Gdy ich nie ma, środek masy porusza się ruchem jednostajnym po linii prostej lub spoczywa. . Widzimy więc, że środek masy nie bierze udziału w ruchu obrotowym ciała. Możemy więc wysnuć wniosek, że przy braku sił zewnętrznych obrót ciała może zachodzić tylko wokół osi, które przechodzą przez środek masy ciała. 04-11-19 Reinhard Kulessa

S Fz Zastanówmy się jak zasadę zachowania momentu pędu możemy uogólnić dla układu wielu mas. Przeprowadźmy w tym celu następujące rozumowanie. 04-11-19 Reinhard Kulessa

Siły zewnętrzne pochodzą od mas i ładunków z poza naszego układu. F21 F32 F13 F31 F23 F12 S F1z F3z F2z r1 r3 r2 1 3 2 Siły zewnętrzne pochodzą od mas i ładunków z poza naszego układu. Drugie prawo Newtona dla jednego ciała możemy napisać jako: 04-11-19 Reinhard Kulessa

Pamiętając o zasadzie akcji i reakcji, czyli np. Równanie to pomnożymy z lewej strony wektorowo przez wektor r1. Następnie robimy to samo dla pozostałych dwóch mas i dodajemy do siebie. . Pamiętając o zasadzie akcji i reakcji, czyli np. otrzymamy, 04-11-19 Reinhard Kulessa

Możemy to równanie zapisać inaczej jako; Wiemy, że , i.t.d.. Wobec tego znikają pierwsze trzy człony po lewej stronie. Mamy więc; (5.2) . Możemy to równanie zapisać inaczej jako; (5.3) . 04-11-19 Reinhard Kulessa

5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej Całkowity moment pędu układu zamkniętego może zostać zmieniony tylko przez działający zewnętrzny moment siły. kiedy Mz = 0, . (5.4) 5.3 Zachowanie momentu pędu przy działaniu siły centralnej Zarówno moment siły M jaki i moment pędu L zależą od r. Zależą więc od wyboru układu współrzędnych. Szczególnie warto zauważyć, że w przypadku gdy siła jest siłą centralną, moment siły jest równy zero. W przypadku ruchu planety wokół Słońca, siła grawitacji leży zawsze wzdłuż promienia i z tego powodu zawsze jest spełniona zależność: 04-11-19 Reinhard Kulessa

. Taka sama sytuacja zachodzi przy rozpraszaniu cząstki  na ciężkim jądrze atomowym. r  F Jeśli w czasie ruchu ciała nie działa moment siły, to z równania (5.1) wynika, że . (5.5) 04-11-19 Reinhard Kulessa

Równanie (5.5) przedstawia sobą trzecie ważne prawo zachowania – prawo zachowania momentu pędu. W dalszej części wykładu pokażemy jak z prawa zachowania krętu można wyciągnąć szczegółowe informacje dotyczące toru ruchu planet czy cząstki . 04-11-19 Reinhard Kulessa