Wykład 21 Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa 9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością 9.3 Dynamika cieczy 9.3.1 Równanie ciągłości 9.3.2 Prawo Bernoulie’ego 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawo Bernoulie’ego Reinhard Kulessa

Mechanika płynów 9.1 Prawo Archimedesa Ciecze są substancjami, które nie podlegają odkształceniu postaci. Jeśli chcemy ciecz odkształcić, to warstwy cieczy ślizgają się jedna po drugiej. Ta właściwość pozwala cieczy płynąc i zmieniać kształt. Mechanika cieczy zajmuje się właściwościami cieczy na poziomie makroskopowym. Wielkościami mierzonymi są ciśnienie,temperatura i objętość. Element objętości cieczy jest wielkością makroskopową i nie ma nic wspólnego z pojedyncza cząsteczką. Statyka cieczy zajmuje się przypadkami, kiedy środek masy każdego elementu objętości cieczy posiada zerową prędkość i przyśpieszenie. Taka ciecz znajduje się w spoczynku lub inaczej mówiąc w równowadze hydrostatycznej. Reinhard Kulessa

Jedną z najważniejszych właściwości cieczy znajdujących się w równowadze hydrostatycznej formułuje Prawo Archimedesa. Ciało zanurzone w cieczy doznaje wyporu, który jest równy ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało. C – gęstość cieczy - gęstość ciała V – objętość ciała FC = Vg FW= CVS g W związku z istnieniem prawa Archimedesa możliwe jest pływanie ciał. Dla równowagi mamy; W=CVSg mg = Vg } { V VS , czyli CVSg= Vg .

9.2 Zależność pomiędzy ciśnieniem a głębokością Na każdy metr kwadratowy powierzchni Ziemi działa siła 105 N (11 ton). Jest to ciężar powietrza nad Ziemią. Ciężar powietrza dzielony przez powierzchnię na którą powietrze działa nazywamy ciśnieniem atmosferycznym. Również zanurzając się w cieczy doznaje się coraz większego ciśnienia. S dz pS (p+dp)S dFC z dz Reinhard Kulessa

Dla równowagi hydrostatycznej; Z drugiej strony . Dla równowagi hydrostatycznej; Otrzymujemy więc, . . (9.1) Z równania tego możemy odczytać, że jeśli zmieni się ciśnienie na powierzchni cieczy, to zmieni się ono o tyle samo na każdej głębokości. Reinhard Kulessa

Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego 9.3 Dynamika cieczy Aby omówić dynamikę cieczy możemy oprzeć się na tym co powiedzieliśmy o ruchu środka masy. Każdy makroskopowy element objętości cieczy możemy traktować jako cząstkę o danym środku ciężkości. Prędkość u tej cieczy jest opisany przez prędkość środka masy „cząstek” cieczy. Prędkość cieczy może zmieniać się zarówno ze zmianą położenia, jak i z upływem czasu, co w ogólności możemy napisać jako; Musimy również zaznaczyć, że siły wewnętrzne na wskutek III zasady dynamiki Newtona znoszą się. Przy omawianiu cieczy ograniczymy się do specjalnego przypadku tzw. cieczy bezwirowych Reinhard Kulessa

Ograniczymy się również do cieczy nielepkich. Są to ciecze, które zachowują się tak jak ciecz w lewej części rysunku. Brak rotacji przepływ rotacja Ograniczymy się również do cieczy nielepkich. Rozróżnimy gazy i ciecze pod względem zdolności do ich kompresji. Ograniczymy się do cieczy nieściśliwych. Reinhard Kulessa

Następnym warunkiem, który rozważana ciecz musi spełniać będzie jej laminarny przepływ. Oznacza to, że pojedyncze warstwy cieczy przesuwają się po sobie nie mieszając się. Definiujemy sobie również linie prądu , które w każdym miejscu są równoległe do prędkości cieczy. A B C D vA vB vC Prędkość będziemy ogólnie zapisywać tak jak zrobiliśmy to na stronie 6. Reinhard Kulessa

Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla Linie prądu nigdy się nie przecinają, gdyż w przeciwnym przypadku prędkości z nimi związane miałyby w punkcie przecięcia różne kierunki. Oznaczałoby to, że prędkość w jednym punkcie ma dwie różne wartości. v1 v2 Matematycznie ciecz bezwirową definiujemy jako ciecz dla której rot v = 0. Reinhard Kulessa

Rozważmy następującą sytuację. 9.3.1 Równanie ciągłości Rozważmy następującą sytuację. S1 S2 v1t v2t v1 v2 W czasie t przez przekroje S1 i S2 przepływają przepływają odpowiednio masy; . Reinhard Kulessa

Ze względu na to, że w zamkniętej przekrojami S1 i S2 objętości masa musi być dla nieściśliwej cieczy stała. Tyle samo samo masy musi wpływać co wypływać przez każdy z przekrojów, czyli m1 = m2 . Wynika stąd, że (9.2) . Możemy również podejść równania ciągłości rozważając procesy transportu, w naszym przypadku masy. Wprowadźmy pojęcie strumienia gęstości masy j jako stosunek ilości masy przepływającej na jednostkę czasu przez powierzchnię S; . (9.3) W przypadku przez nas omawianym istnieje potencjał prędkości . Prędkość cieczy definiujemy jako; Reinhard Kulessa

. (9.4) 2 1 > 2 1 masa m v grad  Równanie ciągłości możemy podać rozważając strumień gęstości masy przepływający przez zamkniętą powierzchnię. , Gdzie dS jest wektorem reprezentującym element powierzchni prostopadłym do tej powierzchni. Jeżeli wewnątrz powierzchni nie mamy dodatkowego źródła masy, Reinhard Kulessa

W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać, wtedy dm/dt =0. W oparciu o twierdzenie Gaussa możemy napisać, , gdzie dV jest elementem objętości. Otrzymujemy więc bezpośrednio, ze względu na to że =const, . (9.5) Reinhard Kulessa

Rozważmy sytuację na rysunku. 9.3.2 Prawo Bernoulie’ego Z równania ciągłości wynika, że każdy element objętości przesuwając się z lewa na prawo doznaje pewnego przyśpieszenia. Zgodnie z II prawem Newtona źródłem tego przyśpieszenia musi być pewna siła. Co to jest za siła? Rozważmy sytuację na rysunku. x x+dx p(x) p(x+dx) dV F(x)=p(x)·S F(x+dx)=p(x+dx)·S S p(x) oznacza ciśnienie hydrostatyczne. Wypadkowa siła w kierunku x (w prawo) wynosi; Reinhard Kulessa

Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą. Znak minus oznacza, że siła jest skierowana w stronę malejącego ciśnienia. Ze względów symetrii wszystkie inne siły się równoważą. Siłę uzyskaliśmy więc przez zróżniczkowanie ciśnienia, analogicznie jak wyliczyliśmy ją poprzednio z energii potencjalnej. Ciśnienie ma wymiar energii na jednostkę objętości. Możemy dla elementu masy m napisać równanie ruchu Newtona; . Reinhard Kulessa

Poprzednie równanie możemy zapisać jako; (9.6) . Równanie (9.6) przedstawia Prawo Pascala. W\czasie przesuwania się elementu masy dm = dV z odległości x1 do x2 siła Fx wykonuje na tym elemencie prace . Zgodnie z zasadą zachowania energii praca ta zwiększa energię kinetyczną z wartości do wartości , czyli . Reinhard Kulessa

W oparciu o równanie (9.1) możemy napisać; Oznacza to, że; . (9.7) Równanie (9.7) określa prawo Bernoulie’ego. 9.3.3 Zastosowanie równania ciągłości i prawa Bernoulie’ego A). Przykładem może być działanie skrzydła samolotu. p1,v1 p2,v2 Reinhard Kulessa

Ze względu na różnicę ciśnień pomiędzy górną a dolną powierzchnią skrzydła powstaje siła nośna skierowana ku górze. . Średnią wartość prędkości nad skrzydłem i pod skrzydłem możemy przyjąć jako prędkość samolotu v. Wtedy siła F jest dana prawem Kutta-Joukowskiego: . Reinhard Kulessa

B).Rurka Pitot’a – pomiar prędkości dynamicznej patm+ pdyn Rurka pitot’a mierzy różnicę pomiędzy ciśnieniem całkowitym a statycznym. C). Rurka Prandtla – pomiar prędkości dynamicznej pdyn Reinhard Kulessa

D). Działanie spryskiwacza pow. E).Efekt Magnusa F v  Poprzednio badaliśmy również opór stawiany przez ciecz formułując Prawo Stokesa. Pamiętamy również definicję liczby Reynoldsa. Wielkość siły F na jednostkę długości cylindra o promieniu R jest równa . Reinhard Kulessa