Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla PARADOKS PRAWDY Wprowadzenie w problematykę związaną z twierdzeniem Gödla

Ja kłamię Epimenides z Krety 6/7 wiek p.n.e. Zapętlenie w nieskończoność

M.C. Escher

Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem, Russell: klasy normalne i nienormalne Mędrzec: kara śmierci Rozróżnienie pomiędzy językiem i metajęzykiem, Arytmetyką i metamatematyką Szkic rozumowania Gödla Numeracja Gödla Formuła Dem(x,y) Numer sub(y,13,y) Skonstruowanie formuły metamatematycznej G Szkic dowodu kilku twierdzeń

i drugiego zdania jest taki sam Czytam książkę Kłamię Czyli w miarę łatwo jest mówić o języku w języku, Ale jak zdania o liczbach (twierdzenia) mogą coś komentować o sobie?! Zdania w teorii liczb (arytmetyce) mówią o własnościach liczb naturalnych, ale nie mówią nic o zdaniach. Liczby nie są zdaniami, ich własności też nie są zdaniami, ale gdyby każdej formule udało się przyporządkować jednoznacznie numer ?... ARYTMETYKA <------> METAMATEMATYKA ∃n (2+ n = 4) ∃n (2 + n = 9) Początek pierwszego i drugiego zdania jest taki sam

Szkic rozumowania Gödla 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

Numeracja Gödla mogą

Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce: Zatem każde zdanie metamatematyczne jest reprezentowane przez dokładnie jedną formułę należącą do arytmetyki. Zależności logiczne pomiędzy zdaniami metamatematycznymi są w pełni odzwierciedlone przez związki liczbowe zachodzące pomiędzy odpowiadającymi im formułami arytmetycznymi. Jako przykład weźmy jeden z aksjomatów w arytmetyce: 2 2 2 (p ⅴ p) ɔ p a = 28 × 311 × 52 × 711 × 119 × 138 × 1711 (p ⅴ p) b = 28 × 311 × 52 × 711 × 119 2 2 Metamatematyczne zdanie: Formuła (p ⅴ p) jest początkową częścią aksjomatu (p ⅴ p) ɔ p jest w arytmetyce odzwierciedlona formułą: b jest czynnikiem a

METAMATEMATYKA <===> ARYTMETYKA Ciąg formuł posiadających numer gödlowski x jest dowodem formuły z numerem gödlowskim z Dem (x, z) Nazwijmy tak relację, która odpowiada temu metamatematycznemu zdaniu Niech podstawienie sub (m, 13, m) oznacza numer gödlowski formuły, którą otrzymuje się z formuły posiadającej numer gödlowski m przez podstawienie za zmienną z numerem gödlowskim 13 (za y) cyfry oznaczającej liczbę „m” (cyfry, która jest symbolem liczby m) Np. jeśli a jest numerem gödlowskim formuły (∃x) (x = sy ) to sub (a, 13, a) jest numerem formuły (∃x)(x = sa)

Szkic rozumowania Gödla 1) Skonstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić Pokazanie, że G daje się udowodnić wtedy i tylko wtedy, gdy ͠ G daje się udowodnić. Zatem, jeśli rachunek jest niesprzeczny, to ani G ani ͠ G nie daje się wywieść z aksjomatów arytmetyki w sposób formalny. Inaczej mówiąc: Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna to G jest formułą nierozstrzygalną formalnie. Pokazanie, że chociaż G nie daje się udowodnić formalnie, w ramach arytmetyki jest prawdziwą formułą arytmetyczną. Jest prawdziwa w tym sensie, że każdej liczbie naturalnej przypisuje własność arytmetyczną, która jest prawdziwa dla każdej liczby naturalnej. Podobnie jak formuła (x) ͠ (x+3 =2) głosi pewną własność wszystkich liczb naturalnych.

„Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna” 4) Skoro G jest równocześnie formułą prawdziwą i formalnie nierozstrzygalną, to aksjomatyka arytmetyki jest niezupełna. Mało tego, Gödel pokazał jeszcze jak skonstruować formułę arytmetyczną reprezentującą metamatematyczne zdanie: „Jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to jest niezupełna” i pokazał, że ta formuła jest prawdziwa. Na końcu pokazał także, że formuła odpowiadająca metamatematycznemu zdaniu: Arytmetyka jest niesprzeczna nie daje się udowodnić.

FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ Konstruowanie formuły matematycznej G, która reprezentuje metamatematyczne zdanie: FORMUŁA G NIE DAJE SIĘ UDOWODNIĆ Korzystając z wprowadzonej arytmetycznej relacji Dem (x, y) oraz przyporządkowania Sub (y, 13, y) możemy napisać następującą formułę arytmetyczną (x) ͠ Dem (x, sub (y, 13, y)). Oznaczmy numer gödlowski tej formuły przez n. Formuła ta reprezentuje metamatematyczne zdanie: Formuła posiadająca numer gödlowski sub (y, 13, y) nie daje się dowieść. Dla przypomnienia sub (y, 13, y) to numer gödlowski formuły, którą dostaje się z formuły o numerze gödlowskim y poprzez podstawienie w niej za zmienną z numerem gödlowskim 13 cyfry oznaczającej liczbę y. Podstawmy teraz w formule o numerze n cyfrę n za zmienną oznaczoną numerem gödlowskim 13. Dostaniemy:(x)͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) numerem tej formuły jest Sub (n, 13, n) !!!! Zatem na płaszczyźnie metamatematycznej możemy powiedzieć, że formuła ta mówi o sobie samej że nie daje się udowodnić! NAZWIJMY TĘ FORMUŁĘ ARYTMETYCZNĄ FORMUŁĄ G

Zarys rozumowania pokazującego, że jeśli G daje się dowieść, to również ͠ G daje się dowieść założenie, że G daje się dowieść jest tożsame z założeniem, że istnieje ciąg formuł arytmetycznych stanowiących dowód formuły G oznaczmy numer gödlowski tego ciągu przez k skoro sub (n, 13, n) to numer gödlowski zdania G, to zachodzi relacja arytmetyczna: Dem (k, sub (n, 13, n)) z twierdzenia tego za pomoca reguł transformacji elementarnej logiki możemy wywieść formułę: ͠ (x) ͠ Dem (x, sub (n, 13, n)) Jest to formuła ~G Czyli, jeśli można udowodnić G, to można także udowodnić negację formuły G

Formuła G nie daje się udowodnić. Chociaż G nie daje się udowodnić formalnie w ramach arytmetyki to jest prawdziwą formułą arytmetyczną W punkcie 2 pokazaliśmy, że jeśli G daje się udowodnić, to także ͠ G daje się udowodnić. Zatem jeśli arytmetyka jest niesprzeczna, to G nie daje się udowodnić. Czyli patrząc na arytmetykę z zewnątrz w metamatematycznym opisie prawdziwe jest zdanie: Formuła G nie daje się udowodnić. Skoro to zdanie w arytmetyce jest reprezentowane przez formułę G, to jeśli ono jest prawdziwe, to G też jest prawdziwe Jednak to, że G jest prawdziwą formułą arytmetyczną wywiedliśmy nie z dedukcji z aksjomatów arytmetyki, tylko z rozumowania METAMATEMATYCZNEGO