Wykład 23 10.4 Drgania wymuszone oscylatora 10.4.1 Przypadek rezonansu 10.4.2 Przesunięcie fazowe 10.4.3 Średnia moc absorbowana przez oscylator 10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej 10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych 10.6 Oscylatory sprzężone 19-12-2008 Reinhard Kulessa

10.4 Drgania wymuszone oscylatora Oscylator wykonuje drgania wymuszone, jeżeli istnieje zewnętrzna siła F(t) przyłożona do niego. (10.9) . Załóżmy, że siła wymuszająca jest siłą periodyczną taką, że . 19-12-2008 15.12.2008 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 2

Będziemy szukali rozwiązania w postaci ; W stanie równowagi drgania oscylatora harmonicznego następują z częstością wymuszającą, a nie z częstością własną 0 . Będziemy szukali rozwiązania w postaci ; . (10.10) W ostatnim równaniu  jest fazą pomiędzy przemieszczeniem a siłą wymuszającą drgania.  informuje nas o kącie, z jakim przemieszczenie wyprzedza maksimum siły. F(t) x(t) t 19-12-2008 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 3

Równanie (10.9) przyjmuje wtedy postać Stosując tożsamości trygonometryczne na sinus i cosinus sumy kątów, oraz przegrupowując otrzymane równanie, otrzymamy, . 19-12-2008 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 4

Ażeby to równanie było spełnione muszą być spełnione dwa warunki. 1. Otrzymujemy stąd: . (10.11) Otrzymujemy również wyrażenia; . 19-12-2008 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 5

Z wyrażenia tego uzyskujemy wyrażenie na amplitudę x0. 2. . (10.12) Z wyrażenia tego uzyskujemy wyrażenie na amplitudę x0. . (10.13) Możemy więc podać już ogólne rozwiązanie dla drgań wymuszonych oscylatora harmonicznego: . (10.14) 19-12-2008 Reinhard Kulessa Reinhard Kulessa 6

Dla częstości  = 0 amplituda jest maksymalna. 10.4.1 Zjawisko rezonansu Równanie (10.13) pokazuje nam, że amplituda drgań wymuszonych zależy od częstości siły wymuszającej. Zależność tą pokazuje poniższy rysunek. 0/02  0 x0() xmax0/0 0>>1 Dla częstości  = 0 amplituda jest maksymalna. 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Zobaczmy w jaki sposób zmienia się krzywa rezonansowa dla różnych parametrów tłumienia 0  x0() r 1 2 3 1< 2 < 3 19-12-2008 Reinhard Kulessa

jest niezależne od częstości wymuszającej. Dla bardzo małych częstości wymuszających  << 0 wychylenie oscylatora jest niezależne od częstości wymuszającej. . Równanie to przedstawia znane nam już Prawo Hooke’a. Dla  >> 0 amplituda drgań spada do zera. Dla wzrastającej częstości amplituda rośnie wraz z częstością (patrz wzór (10.13)) i osiąga maksimum dla częstości rezonansowej r . Przy czym . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

10.4.2 Przesunięcie fazowe Rozważmy w oparciu o równanie (10.12) jak zmienia się z częstością drgań oscylatora kąt fazowy . -900 -1800   0 0 = 100 0 = 1 Kąt ten jest zawsze ujemny, co oznacza, że wychylenie jest zawsze opóźnione w stosunku do siły wymuszającej. Dla częstości równej 0 przesunięcie to wynosi 900. Dla dużych częstości wychylenie może być przeciwne do siły wymuszającej, czyli 1800. 19-12-2008 Reinhard Kulessa

10.4.3 Średnia moc absorbowana przez oscylator Średnią absorbowaną moc możemy policzyć, jeśli znamy pracę wykonaną w jednostce czasu. Korzystając z relacji trygonometrycznych możemy poprzednie równanie doprowadzić do postaci: . Możemy więc wyliczyć moc wyśredniowaną po czasie jako; . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

W oparciu o wzory (10.11) i (10.12) otrzymujemy, Pierwsze dwie składowe funkcji podcałkowej zawierają odpowiednio funkcje sin(2t) i cos(2t) dadzą średnią wartość równą zero. Po wycałkowaniu pozostaje więc tylko; . W oparciu o wzory (10.11) i (10.12) otrzymujemy, . (10.15) Widzimy więc, że absorbowana przez oscylator moc ma również maksimum dla swojej częstości rezonansowej. 19-12-2008 Reinhard Kulessa

linii rezonansowej decyduje o ostrości tej linii.  0 P() 2=1/ Lmaks=1/2m02 Lmaks/2 Krzywa rezonansowa średniej absorbowanej mocy spada do zera po obu stronach częstości rezonansowej. Szerokość linii rezonansowej decyduje o ostrości tej linii. Półszerokość krzywej rezonansowej jest równa odwrotności czasu relaksacji. Zachodzi również; . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

19-12-2008 Reinhard Kulessa

19-12-2008 Reinhard Kulessa

10.5 Składanie ruchów harmonicznych 10.5.1 Ruchy wzdłuż jednej prostej Najprostszym przykładem dodawania ruchów harmonicznych jest dodawanie ruchów odbywających się wzdłuż jednej prostej. Możemy wtedy zastosować zasadę superpozycji. Otóż jeżeli x1(t) opisuje ruch ciała pod działaniem siły F1(t), a x2(t) opisuje ruch pod wpływem siły F2(t), wtedy x1(t) + x2(t) opisuje ruch pod wpływem sumy sił F1(t) + F2(t). . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Możliwości składania ruchów jest wiele. Dodajmy dwa ruchy harmoniczne wzdłuż jednej prostej różniące się częstością, tak, że 2 > 1. . Otrzymamy wtedy; . (10.16) Widzimy, że amplituda drgań (nawias kwadratowy) zależy od różnicy częstości. Dla częstości różniących się nieznacznie będziemy mieli do czynienia z dudnieniem. 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Górna część rysunku przedstawia dudnienia przy nakładaniu się dwóch drgań o częstościach 1/2 = 9/8, a dolna dla stosunku 1/2 = 9/3 . DUDN 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Superpozycja dwóch drgań harmonicznych nie jest drganiem harmonicznym. x(t) x(t)=x1(t)+x2(t) x1(t) x2(t) 19-12-2008 Reinhard Kulessa

10.5.2 Dodawanie drgań wzajemnie prostopadłych Rozważmy dwa drgania prostopadłe o jednakowych częstościach. . Drugie równanie możemy przekształcić do postaci; . Z pierwszego równania znajdujemy, że; Możemy więc równanie na y(t) napisać w postaci; 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Położenie osi elipsy pozwala wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego  . Podnosząc ostatnie równanie do kwadratu otrzymujemy ogólne równanie elipsy. (10.17) . y x y(0) Położenie osi elipsy pozwala wyznaczyć kąt przesunięcia fazowego  . . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

1.  = 00 , linia prosta o dodatnim nachyleniu, Dla różnic faz  = 00 ,  = 900 i  = 1800, występują szczególne przypadki. 1.  = 00 , linia prosta o dodatnim nachyleniu, . 2.  = 900 , elipsa o osi głównej równoległej do osi y, a w przypadku gdy x0 = y0 otrzymujemy okrąg ze środkiem w początku układu. 3.  = 1800 , prosta o ujemnym nachyleniu, . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

otrzymujemy figury Lissajous . Dla stosunku częstości dodawanych drgań, które w ogólnym przypadku może być równe; , otrzymujemy figury Lissajous . 19-12-2008 Reinhard Kulessa

19-12-2008 Reinhard Kulessa

Wprowadźmy oznaczenia: Co odpowiada odpowiednio: 10.6 Oscylatory sprzężone Równanie ruchu możemy napisać następująco: x y Wprowadźmy oznaczenia: Co odpowiada odpowiednio: APLET 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Dodajmy i odejmijmy równania stronami i skorzystajmy z wprowadzonych oznaczeń: Dostajemy dwa równania opisujące drgania normalne 19-12-2008 Reinhard Kulessa

Przedyskutujmy otrzymane dwa rozwiązania na częstość; oraz . 1. Rozwiązanie  = 0 Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy, że x0 = y0 . Obydwa oscylatory drgają więc w tej samej fazie . Sprzęgająca je sprężyna nie jest napięta. 2. Rozwiązanie 2 = 02 + C/m Podstawiając tą wartość do pierwszego z równań (10.18), otrzymamy x0 = -y0 . Oscylatory drgają w przeciwfazie. Sprzęgająca je sprężyna jest maksymalnie obciążona. Powoduje to wzrost częstości  względem 0. Sprzężone oscylatory mogą więc drgać w fazie i przeciwfazie. Innych możliwości nie ma. Obydwa rodzaje drgań mogą jednak wystąpić równocześnie. 19-12-2008 Reinhard Kulessa