Wykład 4 2.6 Przemiany gazu idealnego Zmiana stanu gazu idealnego może odbywać się przy różnych warunkach narzuconych na podstawowe parametry opisujące stan gazu. Ogólną przemianę gazu przy zmianie przynajmniej dwóch parametrów opisuje przemiana politropowa. (2.26) Istnieje kilka dobrze znanych przemian gazu idealnego, tóre tutaj przytoczymy. Przemiana izotermiczna, T=const, =1.0 2. Przemiana izobaryczna, p=const, =0 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Przemiana izochoryczna v=const =± Przemiana adiabatyczna Q=0 =cp/cv Przemiana politropowa  dowolne Dla gazu idealnego pV = nT. p izobara ogólna izochora izoterma adiabata V V1 V2 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

3 Makroskopowe własności materii Własności materii zmieniają się, jeśli zmienimy V, p i T. Substancje mogą istnieć w różnych fazach. Prześledźmy to dla wody. p Punkt krytyczny gaz ciecz parowanie A B topnienie Linia AB pokazuje, że woda może równocześnie znajdować się w trzech fazach c. stałe sublimacja para T Punkt potrójny 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Z kolei izotermiczny współczynnik ściśliwości jest równy: Innymi własnościami makroskopowymi są możliwości zmiany kształtów geometrycznych. Określają to odpowiednie współczynniki. Współczynnik objętościowej rozszerzalności temperaturowej definiujemy jako: (3.1) Z kolei izotermiczny współczynnik ściśliwości jest równy: (3.2) Można jeszcze zdefiniować współczynnik prężności , który ma następującą postać: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

(3.3) Warto zauważyć, że trzy wymienione współczynniki (, , ) są ze sobą powiązane. Wynika to z zależności pomiędzy pochodnymi cząstkowymi trzech zmiennych, pomiędzy którymi istnieje zależność funkcyjna. Jeżeli zapiszemy w oparciu o równanie stanu gazu doskonałego, że V zależy od ciśnienia i temperatury w następujący sposób V(p,T), to zachodzi zależność: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Dla gazu idealnego uzyskujemy również: Mnożąc po prawej stronie równania licznik i mianownik przez V, oraz obydwie strony równania przez p uzyskujemy zależność: Jeżeli znamy z pomiarów  i , to nie musimy już mierzyć , tylko możemy je obliczyć z powyższego równania. Dla gazu idealnego uzyskujemy również: Praca, którą należy wykonać ażeby sprężyć izotermicznie gaz idealny wynosi; 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

W oparciu o równanie (3.2) otrzymujemy, że 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

4. Analiza procesów energetycznych w układach otwartych 4.1 Wstęp Dotychczas omówiliśmy analityczną postać I zasady termodynamiki, oraz podaliśmy przykłady wyliczania termodynamicznych własności substancji. W tym rozdziale rozszerzymy omawianie zagadnień termodynamiki do układów, w których masa substancji może przekraczać granice układu, czyli do układów otwartych. Ażeby w pełni móc podać zależności opisujące procesy zachodzące w takich układach, należy postępować według pewnej procedury pozwalającej dokładnie scharakteryzować układ i zachodzące procesy. Należy m.in. rozważyć następujące problemy: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

W jaki sposób jest opisany układ termodynamiczny, który mamy analizować, Jaką substancję zawiera rozważany układ i czy są znane własności tej substancji, Czy układ jest otwarty czy zamknięty, W jaki sposób należy opisać zachodzący proces termodynamiczny, 5. Czy rozważany układ jest stacjonarny, czy zmienny w czasie. Po znalezieniu odpowiedzi na te pytania, należy należy dokonać analizy matematycznej problemu, która może przebiegać następująco: Naszkicowanie układu i określenie wlotu i wylotu masy i energii, Matematyczne sformułowanie dostępnej informacji, Przeprowadzenie bilansu energii, Napisanie relacji opisujących proces, 5. Połączenie wszystkich informacji i otrzymanie wyniku. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

4.2 Bilans energii i konwencja dotycząca znaku energii W rozdziale 2 omówiliśmy relacje energetyczne dotyczące układów zamkniętych, czyli takich dla których nie zachodzi transport masy poprzez granice układu. Przyjęliśmy przyjmować za dodatnią energię dodaną do układu, a za ujemną energię oddawaną przez układ, który rozważamy. Nie możemy oczywiście zapomnieć o zasadzie zachowania energii: Energia, którą układ pobiera jest równa energii, którą oddaje plus energia akumulowana w układzie. Analiza układu opierać się będzie na relacjach poznanych na poprzednim wykładzie. Pamiętamy, że dla układów zamkniętych można zapisać pierwszą zasadę termodynamiki jako: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Użyliśmy we wzorze różniczek, aby móc opisać każdy możliwy proces. (4.1) Użyliśmy we wzorze różniczek, aby móc opisać każdy możliwy proces. d‘Q d’Q+d’W=dE W układzie zamkniętym nie ma przepływu masy. d‘W 4.3 Układ otwarty Przykładem termodynamicznego układu otwartego może być grzejnik wody. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Q dostarczane ciepło Strumień Ciepławoda Zimnej wody Granica układu Zdefiniowany układ nie bardzo zgadza się z nasza poprzednią definicją układu termodynamicznego, jako pewnej określonej wyodrębnionej ilości materii. Problem ten rozwiążemy, stosując do analizy takich układów praw dotyczących układów zamkniętych. Zobaczmy w jaki sposób możemy opisać przepływ masy. Można tego dokonać definiując jej strumień. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

A s 2 1 Jeśli przez V=s/dt oznaczymy średnią prędkość przepływającej substancji, której gęstość oznaczymy przez , wtedy strumień masy przepływającej na jednostkę czasu przez układ wynosi . (4.2) 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

 objętość kontrolna 4.4 Analiza układu otwartego – objętość kontrolna Aby móc analizować procesy termodynamiczne w układach otwartych wprowadzamy pojęcie objętości kontrolnej. Jest to pewna część przestrzeni, określona granicą, w której obserwujemy przepływ masy i energii. bilans masy A  objętość kontrolna 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

ei ee  objętość kontrolna bilans energii B Literą e oznaczyliśmy ilość energii na jednostkę masy. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Masa wpływająca do objętości kontrolnej jest równa masie wypływającej z niej plus wzrost masy wewnątrz objętości kontrolnej. (4.3) Jest oczywiste, że nasz układ może mieć wiele wlotów i wylotów. Wtedy równanie (4.3) przyjmuje postać: (4.4) W celu analizy bilansu energii w całym obszarze kontrolnym, rozważmy ustaloną masę, która porusza się przez objętość kontrolną. Odpowiada to zachowaniu się układu zamkniętego, w którym następuje ruch masy przez objętość kontrolną. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Układ ten może być poddany ciśnieniu otoczenia Układ ten może być poddany ciśnieniu otoczenia. Może nastąpić transfer ciepła przez granicę układu, mogą na niego działać różne siły wykonujące pracę. Energia wewnętrzna układy zamkniętego może zmieniać się na wskutek ruchu z jednego miejsca do drugiego, jak również na wskutek zmiany prędkości. Niezależnie od obserwowanych zjawisk możemy zastosować zasadę zachowania energii. Całkowity przepływ masy do i z objętości kontrolnej można rozważyć jako ciąg elementów dm, czyli małych zamkniętych układów termodynamicznych. Możemy uważać, że strumień masy przepływający przez układ transportuje energię wewnętrzną przez granice naszego układu. Dla takiego układu możemy sformułować zasadę zachowania energii następująco: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Transport energii wewnętrznej do objętości kontrolnej + ciepło dodane do objętości kontrolnej, + praca wykonana na wszystkich elementach w czasie ich ruchu przez układ, są równe wzrostowi energii wewnętrznej wewnątrz objętości kontrolnej + transport energii wewnętrznej z objętości kontrolnej. Analityczny zapis jest następujący: (4.4) . . Gdzie Ei i Ee oznaczają transport energii wewnętrznej na jednostkę czasu odpowiednio na wlocie i wylocie układu. Możemy wielkości te wyrazić następująco: 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Równanie (4.4) można stosować do analizy układów otwartych. (4.5) Równanie (4.4) można stosować do analizy układów otwartych. Można jednak wyrazić inaczej człon odpowiadający pracy. Aby masa przepływała przez układ potrzebna jest siła. Siła ta jest dana przez ciśnienie w układzie. Element masy o objętości A · s ażeby być przetransportowany do lub z objętości kontrolnej musi być poddany działaniu siły p·A na drodze s , przy czym niezależnie od wielkości masy s=V/A. Praca potrzebna na przepchanie masy do lub z objętości kontrolnej jest równa: (4.6) 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

A s 1 2 Wypadkowa praca wykonana na układzie przy przesunięciu masy z punktu 1 do punktu 2 wynosi p1V1 jest pracą wykonaną na objętości przy wprowadzaniu jej w objętość kontrolną, a p2V2 odpowiednio przy wyprowadzaniu jej z objętości kontrolnej. Różnica jest równa wypadkowej pracy dodanej. pV jest pracą strumienia substancji i należy tą wielkość rozpatrywać oddzielnie od pracy wprowadzonej z zewnątrz. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Równanie energetyczne przyjmie więc postać: (4.7) Przypominam, że vi,e oznaczają objętość jednostki masy. Wzew jest pracą dostarczoną objętości kontrolnej przez siły zewnętrzne. Równanie (4.7) przedstawia ogólny bilans energii dla układu otwartego. W przypadku, kiedy rozważany układ otwarty zachowuje się jak stan stacjonarny, tzn. że nie ma w objętości kontrolnej zmiany w czasie, czyli , , 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Wtedy i równanie (4.7) przechodzi w: (4.8) Ażeby móc ostatecznie sformułować bilans energii dla układu otwartego, przypomnijmy sobie od jakich wielkości zależy energia wewnętrzna r.(2.13), (E=U+Ek+Ep+Echem + .....) oraz definicję entalpii r.(2.18) (h=u+pv). Entalpia jest własnością układu, gdyż zależy tylko od wielkości stanowiących własność układu. Ma ona fizyczne znaczenie w zastosowaniu do układu otwartego, które nie jest już ważne dla układu zamkniętego. A to dlatego, że iloczyn pv w układzie zamkniętym nie stanowi pracy strumienia substancji. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

Wprowadzając do bilansu energii (r. (4 Wprowadzając do bilansu energii (r.(4.7)) entalpię i zakładając, że układ otwarty może mieć więcej wlotów i wylotów, możemy zasadę zachowania zapisać następująco: (4.9) Równanie to jest dość skomplikowane, ale w rozważaniach praktycznych okazuje się, że można go jeszcze uprościć. Np. dla gazu idealnego, czy układu woda-para wodna można zaniedbać energię chemiczną. Oceńmy rolę energii kinetycznej. Policzmy jaka prędkość jest potrzebna aby uzyskać energię kinetyczną 1kJ/1kg. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa

1000J/kg = 1/2v2 v=44.7 m/s. Jest to prędkość znacznie większa niż w większości rozważanych przypadków (nie biorąc oczywiście pod uwagę turbiny gazowej, czy silnika odrzutowego) takich jak strumień wody czy powietrza, pary w rurociągu, czy freonu w chłodnicy. Prędkości są zwykle tak małe, że można zaniedbać energię kinetyczną w porównaniu z entalpią czy energią wewnętrzną. 21 marca 2011 Reinhard Kulessa