Wykład 12 8.10 Gęstość energii pola elektrycznego 9. Prąd elektryczny 9.1 Natężenie prądu, wektor gęstości prądu 9.2 Prawo zachowania ładunku 9.3 Model przewodnictwa elektrycznego 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

8.10 Gęstość energii pola elektrycznego Rozważmy jednorodne pole elektryczne zawarte pomiędzy okładkami kondensatora płaskiego naładowanego ładunkiem Q. Przeniesienie z okładki na okładkę ładunku dQ wymaga wykonania pracy dW. A powierzchnia L Jeżeli przeniesiemy z ujemnej płyty ładunek +dQ na dodatnią płytę, to wykonamy pracę przeciwko polu elektrycznemu równą  +Q -Q dQ+ V Na wskutek przeniesienia ładunku z okładki ujemnej na dodatnią napięcie na kondensatorze wzrośnie o dV. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Wobec tego dQ = C dV. Możemy więc napisać: dW = C V dV . Po wycałkowaniu, otrzymujemy: L  -(Q+dQ) +(Q+dQ) dQ+ V+dV Wykonana praca została zmagazynowana w kondensatorze jako energia potencjalna (W = U ). Może ona zostać wykorzystana do wykonania pracy przez kondensator. Czyli, Pamiętając, że C =0 A/L, a V=L E, 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Możemy więc wyliczyć gęstość energii pola elektrycznego, która wynosi: i dalej: (8.28) Ponieważ dowolne pole można na małym obszarze traktować jako jednorodne, wzór ten stosuje się również do pól niejednorodnych. d mikro-objętość pola , którą można uważać za mały kondensator. Linie ekwipotencjalne 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Rozważmy dwa zastosowania energii pola elektrycznego. A). Pomiędzy okładkami kondensatora działają siły, które można wykorzystać do dokładnego pomiaru napięcia. Wirtualne rozsunięcie okładek o dx powoduje zmniejszenie energii pola. Ładunek spływa z powrotem do baterii. Wiemy, że energia pola jest równa dx +Q V x F -Q A . Pamiętamy, że C = 0 A/x. Otrzymamy więc: 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Siła działająca pomiędzy płytkami kondensatora jest więc równa: Obliczona strata energii dU związana z rozsunięciem okładek o dx jest równoważona przez wykonana pracę mechaniczną na rozsunięcie tych okładek. Siła działająca pomiędzy płytkami kondensatora jest więc równa: Wyrażenie to może służyć do dokładnego pomiaru różnic potencjałów. Służy do tego tzw. Waga Thomsona. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

A Waga Thomsona L V B). Zmiana energii pola elektrycznego może również posłużyć do wyznaczania stałej dielektrycznej dielektryków ciekłych. Jeśli poziom cieczy podniesie się o dx wtedy objętość wypełniona dielektrykiem wzrasta o a·b·dx. b x 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa a

Przyrost energii pola elektrycznego wynosi jest równy; Praca na podniesie nie poziomu cieczy jest równa: Praca, którą musi wykonać bateria aby dostarczyć dodatkowego ładunku dQ jest równa: Z porównania: . oraz wiedząc, że E=V/a, otrzymujemy następujące wyrażenie na wysokość słupa cieczy wciągniętej pomiędzy okładki kondensatora: , (8.30) 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

9. Prąd elektryczny 9.1 Natężenie prądu, wektor gęstości prądu Opuszczamy rozważanie stabilnych rozkładów ładunków i od tej chwili pozwalamy im się poruszać. W elektrostatyce: Powierzchnie przewodników są powierzchniami ekwipotencjalnymi, Ładunki są rozmieszczone na powierzchni i spoczywają, Wewnątrz przewodników natężenie pola E jest równe zero, Połączmy przewodnikiem dwa naładowane elektroskopy i zobaczmy co się dzieje. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

+Q -Q V3 V1 V2 Po połączeniu elektroskopów następuje w krótkim czasie wyrównanie ładunków. Co natomiast dzieje się z potencjałem? t=0 V0 = V1 – V2 Przypadek statyczny 2 powierzchnie ekwipotencjalne t= V0 = 0 1 powierzchnia ekwipotencjalna t=t’ V0 maleje Przypadek niestatyczny Potencjał zależy od miejsca pomiaru 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Jednostką natężenie prądu jest amper. [1 A=1C/1sek]. Oznacza to, że w czasie przepływu ładunku mamy do czynienia ze spadkiem potencjału, czyli, że w przewodniku pojawia się pole elektryczne. Przepływ ładunków przewodniku zarówno dodatnich jak i ujemnych nazywamy prądem elektrycznym. Na rysunku na poprzedniej stronie poruszają się elektrony i zachodzi to z prawej strony na lewą. Prąd elektryczny charakteryzowany jest przez swoje natężenie, które definiujemy jako całkowity ładunek przepływający przez daną powierzchnię w jednostce czasu. (9.1) Jednostką natężenie prądu jest amper. [1 A=1C/1sek]. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Do pomiaru natężenia prądu wykorzystuje się wszelkie efekty wywoływane przez płynący prąd. Nośnikami prądu w metalach są elektrony, a w gazach i elektrolitach – jony. Ważną wielkością charakteryzującą prąd elektryczny jest wektor gęstości prądu j. Jego kierunek jest określony dA j przez ruch ładunków dodatnich. A Wartość wektora j ,| j | jest równa ładunkowi przepływającemu przez jednostkę powierzchni dA prostopadłej do j na jednostkę czasu. Przez element powierzchni dA przepływa w czasie dt ładunek 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Jednostką gęstości prądu w układzie SI jest [A/m2]. (9.2) (9.3) Przy czym Jednostką gęstości prądu w układzie SI jest [A/m2]. W oparciu o wzór (9.2) znajdujemy na natężenie prądu przepływającego przez całą powierzchnię A wyrażenie; (9.4) 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

A dA  9.2 Prawo zachowania ładunku W jaki sposób sformułować prawo zachowania ładunku, kiedy mamy przepływ prądu. Zgodnie z wzorem (9.4) wiemy ile na sekundę przepływa ładunku przez całą powierzchnie przewodnika, mianowicie dA j j j  j W oparciu o twierdzenie Gaussa mamy: A j j j j 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Na jednostkę czasu w przewodniku ubywa ładunku Na jednostkę czasu w przewodniku ubywa ładunku. Bilans ładunku wynosi więc: (9.5) Wyrażenie to jest ważne dla każdej objętości , a więc również dla objętości d. Otrzymujemy więc równanie, które nazywamy równaniem ciągłości: (9.6) Dla prądu o stałym natężeniu I=0 wektor gęstości też jest niezależny od czasu. Tyle samo ładunku wpływa co wypływa z danej objętości. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

9.3 Model przewodnictwa elektrycznego Pamiętamy, że nośnikami ładunków mogą być elektrony, jak również jony dodatnie i ujemne. Najlepszymi przewodnikami są metale w których znajduje się wiele swobodnych elektronów. Zastanówmy się nad mechanizmem przewodzenia prądu w metalicznym przewodniku. Każdy atom siatki oddaje średnio jeden elektron do całej sieci (elektrony przewodnictwa). Elektrony te zachowują się jak gaz. Gęstość tego gazu jest bardzo wysoka. Do elektronów jako fermionów stosuje się statystyka Fermiego- Diraca. Przyjmuje się, że prędkość elektronu przed zderzeniem nie wpływa na prędkość po zderzeniu. Oznacza to, że zderzenia „wymazują pamięć” elektronów. Oznaczmy średni czas pomiędzy dwoma kolejnymi zderzeniami przez . 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Na elektrony działa siła . Co zachodzi w czasie przepływu prądy w przewodniku. W przewodniku istnieje pole elektryczne . Elektrony w czasie ruchu w polu elektrycznym zderzają się głównie z elektronami związanymi w atomach. Tor przypadkowego elektronu jest przedstawiony na poniższym rysunku. E Jądro atomowe Na elektrony działa siła . 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Na ukierunkowany ruch elektronów pod wpływem pola elektrycznego nakładają się izotropowe ruchy termiczne E 1/2b2 1/2b2 vx0 v2 v1 v0 1/2b2 x x0 x1 x2 x3 Pomiędzy kolejnymi zderzeniami następującymi po średnim czasie  elektron porusza się w kierunku osi x ruchem jednostajnie przyśpieszonym. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Ruch elektronu odbywa się zgodnie z II zasada dynamiki Newtona, . Licząc kolejne odcinki przebyte między zderzeniami, otrzymujemy, Sumujemy te równania po N zdarzeniach, przy czym N>>1. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Zdefiniujmy jeszcze czas relaksacji jako <R> = /2. Wtedy W wyniku otrzymujemy: Ze względu na izotropowy rozkład kierunków ruchów termicznych, pierwszy wyraz po prawej stronie jest równy zero, gdyż tyle samo cząstek może mieć prędkości –vx jak i +vx. Średnia prędkość elektronów w kierunku x (prędkość dryfu) jest więc równa: . Zdefiniujmy jeszcze czas relaksacji jako <R> = /2. Wtedy (9.7) 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Ruchliwością nośników prądu nazywamy: . Mimo, że ruch pod wpływem siły eE powinien być przyśpieszony, ze względu na występujące zderzenia, nie ma przyśpieszenia. Średnia prędkość dryftu jest stała. Ruch elektronu wygląda tak, jakby istniała siła tarcia. Wpływ zderzeń na ruch ilustruje poniższa animacja. W rzeczywistości poprzez zderzenia sieci dostarczana jest energia, tzw. „ciepło Joule’a” . Cdn. 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa

Równanie (9. 7) możemy też interpretować następująco Równanie (9.7) możemy też interpretować następująco. W sieci w której poruszają się elektrony działa na nie poza siłą przyspieszającą F = eE, również siła tarcia . Zachodzi więc równowaga F + R =0. Z tego faktu wynika jednostajny ruch elektronów. Na podstawie definicji wektora gęstości prądu (r. (9.3) ), oraz średniej prędkości dryfu, możemy wyrazić wektor gęstości prądu jako: dAn dI dV dl = <vD> dt 27 marca 2003 r. Reinhard Kulessa