Wykład 4 5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej E Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity strumień wektora wychodzącyprzez powierzchnię zamkniętą otaczająca jakiś obszar w polu wektorowym, jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora. E d dA divE Reinhard Kulessa
(5.6) Jeśli porównamy równania (5.5) i (5.6) to otrzymamy różniczkową postać prawa Gaussa. (5.7) Ładunki elektryczne możemy więc nazwać źródłami pola elektrycznego. Gdy nie ma wypływającego z objętości strumienia, nie ma źródeł. Pole v, dla którego div v = 0 jest polem bezźródłowym. Reinhard Kulessa
5.4 Twierdzenie Stokes’a A Analogicznie do związku pomiędzy dywergencją a przestrzenną gęstością strumienia pola wektorowego, istnie je związek pomiędzy składowymi rotacji a powierzchniowymi gęstościami odpowiednich cyrkulacji. Wektor n jest wektorem prostopadłym do elementu powierzchni dA. Wobec tego wektor dA = dA n dA A n Powierzchnia A jest naciągnięta na pętlę rot v Reinhard Kulessa
Określa to twierdzenie Stokes’a (5.8) Pole wektorowe może być polem sił F. Wiemy, że pole wektorowe jest polem bezwirowym, jeśli rotacja tego pola jest równa zero. Dla bezwirowego pola sił (rot F = 0) wynika, że praca siły F po zamkniętym obwodzie jest równa zero. Takie pole sił nazywamy polem zachowawczym. Reinhard Kulessa
Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego spełnia tą zależność: O polu elektrycznym wiemy, że jest polem centralnym. Dla pola centralnego cyrkulacja wektora pola jest równa zero, czyli Natężenie pola elektrycznego ładunku punktowego spełnia tą zależność: Weźmy rozkład linii sił natężenia pola pochodzących od ładunku punktowego. Reinhard Kulessa
Krążenie natężenia pola elektrycznego liczymy po zielonym konturze . Na łukach E Na promieniach przyczynki się nawzajem znoszą. Wynika stąd, że . . Czyli, Pole elektrostatyczne jest więc polem bezwirowym. Reinhard Kulessa
5.5 Potencjał skalarny pola elektrycznego. Z bezwirowości pola elektrostatycznego wynika istnienie potencjału skalarnego V(r) takiego, że; (5.9) 5.5 Potencjał skalarny pola elektrycznego. Do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego postaci (5.9) możemy dojść w oparciu o wzór (5.3). (5.3) Reinhard Kulessa
Występujący w tym wzorze element objętości d możemy zapisać jako d = d3. Zauważmy, że dla funkcji występującej pod całką występuje następująca zależność: . Wiedząc, że składowe gradientu są następujące: Reinhard Kulessa
, oraz otrzymamy: Reinhard Kulessa
W oparciu o podane wyrażenia możemy wzór na natężenie pola elektrycznego pochodzącego od objętościowego rozkładu ładunków (5.3) napisać następująco: . Funkcję skalarną (5.10) Nazywamy skalarnym potencjałem pola elektrycznego. Reinhard Kulessa
Dla pojedynczego ładunku w oparciu o wzór (5.1) mamy: Analogiczne wyrażenia na potencjał pola dla układu ładunków powierzchniowych, punktowych i dla ładunku pojedynczego możemy wyprowadzić odpowiednio w oparciu o równania (5.3a), (5.2) i (5.1). Dla pojedynczego ładunku w oparciu o wzór (5.1) mamy: Wiadomo, że , Reinhard Kulessa
Po wycałkowaniu otrzymujemy : Czyli . . Po wycałkowaniu otrzymujemy : Przyjmujemy, że w nieskończoności (r =) potencjał pochodzący od ładunku Q jest równy zero. Musimy wtedy przyjąć, że stała C jest równa zero. Reinhard Kulessa
Można łatwo pokazać, że wyrażenie pod całką jest równe czyli , Ten sam wynik otrzymamy, jeśli wprowadzimy odpowiednie granice całkowania (5.11) Można łatwo pokazać, że wyrażenie pod całką jest równe czyli , (5.11a) Potencjał określony we wzorze (5.11) jest równy pracy potrzebnej do przeniesienia ładunku jednostkowego q=1C z nieskończoności na odległość r od ładunku Q. Reinhard Kulessa
W oparciu o definicję potencjału (5.11a) możemy zdefiniować różnicę potencjału UAB pomiędzy dwoma punktami pola elektrostatycznego. (5.11b) Ze względu na to, że pole elektryczne jest polem centralnym i ma charakter zachowawczy (r. (5.9) ), tak samo jak w mechanice, praca potrzebna na przesunięcie ładunku w polu jest niezależna od drogi po której ją wykonujemy. Reinhard Kulessa
Praca potrzebna do przesunięcia ładunków Q z A do B w polu elektrycznym jest taka sama niezależna od drogi. Q1 Q2 Q3 A Q1 Q2 Q3 B Reinhard Kulessa
Praca wykonana na przesunięcie ładunku po drodze zamkniętej jest Q Praca wykonana na przesunięcie ładunku po drodze zamkniętej jest równa zero Reinhard Kulessa
Możemy w oparciu o ostatnie równanie napisać; Ponieważ ds 2 Możemy w oparciu o ostatnie równanie napisać; 1 (5.12) Dla układu N ładunków punktowych otrzymamy na potencjał w punkcie r wyrażenie: (5.13) Reinhard Kulessa
5.5 Równanie Poissona i Laplace’a Pamiętamy podane w równaniu (5.7) różniczkowe prawo Gaussa. Jeśli do tego równania podstawimy wartość natężenia pola elektrycznego E(r) wyrażone przez potencjał pola V(r) zgodnie ze wzorem (5.9), otrzymamy następujące równanie: (5.14) zwane równaniem Poissona. Reinhard Kulessa
Ostatnie równanie możemy napisać w postaci operatorowej. Z drugiej strony Reinhard Kulessa
Operator nosi nazwę laplasjanu. (5.15) Bardzo często stosuje się zapis . W przypadku pola bezźródłowego równanie Poissona przechodzi w równania Laplace’a. (5.16) Reinhard Kulessa
Równanie Poissona i Laplace’a, oraz prawo Gaussa, są trzema podstawowymi równaniami pola elektrycznego E. Wynikają one Bezpośrednio z prawa Coulomba. Wprowadzenie strumienia pola elektrycznego było praktyczne i poglądowe, lecz można się było bez tego obyć. Reinhard Kulessa
5.6 Podsumowanie wiadomości o polu elektrycznym Na poprzednich wykładach poznaliśmy następujące informacje dotyczące pola elektrycznego: Cyrkulacja pola Rotacja pola , definicja pola bezwirowego, pola o zerowej rotacji Twierdzenie Stokes’a, podjące związek pomiędzy całką po konturze, a całką powierzchniową, Definicja gradientu pola, Istnienie dla pola elektrycznego, które jest bezwirowe potencjału skalarnego, którego gradient jest równy natężeniu pola elektrycznego. Reinhard Kulessa
Dywergencję funkcji wektorowej, Prawo Gaussa, również w postaci różniczkowej Twierdzenie Gaussa podające związek pomiędzy całką powierzchniową a objętościową , Definicja potencjału skalarnego pola , Równania Poissona i Laplace’a pozwalające wyliczyć potencjał pola, Rozważmy pole elektryczne, dla którego gęstość ładunku =0. Wtedy dla potencjału spełnione jest równanie Poissona z =0, czyli równanie Laplace’a, V=0 . Jednoznaczne znalezienie potencjału wymaga dodatkowo podania warunków brzegowych, inaczej zawsze można by podać rozwiązanie V0. Reinhard Kulessa