Wykład 3 4.1 Prawo Coulomba W 1785 roku w oparciu o doświadczenia z ładunkami Charles Augustin Coulomb doszedł do trzech następujących wniosków dotyczących siły F działającej pomiędzy dwoma ładunkami Q1 i Q2; F  Q1 • Q2 F  1/r2 F jest przyciągająca dla ładunków przeciwnych (+/-) a odpychająca dla jednakowych (+/+), (-/-) i działa wzdłuż linii łączącej ładunki. Prawo coulomba W doświadczeniach swoich Coulomb posługiwał się tzw. Wagą Skręceń Reinhard Kulessa

Prawo swoje Coulomb sformułował następująco: Waga Skręceń + + - Równowaga następowała wtedy, gdy moment sił sprężystości nici był równy momentowi związanemu z oddziaływaniem ładunków. Prawo swoje Coulomb sformułował następująco: (4.1) Reinhard Kulessa

jest wektorem położonym na linii łączącej dwa oddziaływujące ładunki. Ze znajomości wielkości siły i odległości pomiędzy ładunkami możemy przez definicję stałej k zdefiniować wielkość ładunku. W układzie SI Gdzie c jest prędkością światła w próżni: c = 299792458 m/s jest przenikalnością elektryczną próżni i jest równe: Reinhard Kulessa

Jednostką ładunku w układzie SI jest KULOMB. Ciało posiada ładunek jednego kulomba jeśli na równy sobie działa z odległości jednego metra siłą 9. 109 Newtona. Prawo Kulomba jest spełnione w fizyce makroskopowej i atomowej z dokładnością jak 1 do 109. Jeśli umieścimy dwa ciała o masach po 1 kilogramie i ładunku Jednego kulomba w odległości 1m od siebie, to stosunek siły kulombowskiej do siły grawitacji ma się jak 1019: 1. 1C 1C 1m 1 kg 1 kg Reinhard Kulessa

Pole elektryczne 5.1 Natężenie pola elektrycznego Z prawa Coulomba wiemy, że ładunki oddziaływują pomiędzy sobą siłą zależną od wielkości tych ładunków i ich odległości. Możemy więc powiedzieć, że wokół każdego ładunku roztacza się pewien obszar, POLE, w którym na inne ładunki działają siły kulombowskie. Pole wytworzone przez ładunki elektryczne nazywamy polem elektrycznym. Pole takie charakteryzuje się natężeniem informującym nas o wielkości siły działającej na ładunek umieszczony w tym polu. Reinhard Kulessa

E F r Q Natężenie pola elektrycznego definiujemy jako stosunek siły Działającej na ładunek próbny q0 umieszczony w polu, do wielkości tego ładunku. z E F q0 r y Q x (5.1) Reinhard Kulessa

We wzorze (5.1) granicę dla q0  0 wprowadzamy dlatego, aby otrzymać wartość natężenia pola elektrycznego pochodzącego tylko od ładunku Q . z Q2 Fakt, że natężenie pola elektrycznego jest proporcjonalne do wielkości ładunku, leży u podstawy zasady superpozycji. Zasada ta mówi, że natężenie pola elektrycznego w danym punkcie jest sumą pól pochodzących od poszczególnych ładunków. Q1 Q3 P x Q4 r -  i r i Qi y x Reinhard Kulessa

Dla układu ładunków punktowych otrzymujemy zgodnie z zasadą superpozycji następujące wyrażenie na natężenie pola elektrycznego: (5.2) Ładunek może być rozłożony nie tylko punktowo, ale również objętościowo lub powierzchniowo. Jeśli zdefiniujemy gęstość ładunku jako (x,y,z) [C/cm3], to ładunek zawarty w elemencie objętości d jest równy: dQ =  d. Reinhard Kulessa

P  r -  r d  z x Obłok ładunku y Natężenie pola w punkcie pochodzącego od ładunku rozmieszczonego w objętości  dane jest wzorem: x (5.3) Reinhard Kulessa

Analogiczny wzór możemy napisać dla ładunku rozłożonego na powierzchni A z gęstością powierzchniową (x,y,z). z P x dA A r  Natężenie pola w punkcie P pochodzącego od ładunku rozmieszczonego na powierzchni A dane jest wzorem: y x (5.3a) Reinhard Kulessa

5.2 Prawo Gaussa We wzorze (3.1) podaliśmy definicję strumienia dowolnego wektora pola. W ten sam sposób możemy zdefiniować strumień natężenia pola elektrycznego. Prawo Gaussa mówi nam, że: Strumień natężenia pola elektrycznego E przez dowolną powierzchnię, równa się sumie całkowitego ładunku zamkniętego w tej powierzchni, razy stała k. A) dA E Q r0 Reinhard Kulessa

W układzie SI otrzymujemy na wartość strumienia w omawianym (5.5) W układzie SI otrzymujemy na wartość strumienia w omawianym przypadku wartość ( ): Reinhard Kulessa

B). Tą samą wartość strumienia natężenia pola elektrycznego otrzymujemy, otaczając ładunek dowolną powierzchnią A. dA`` dA` E dA0 E0 dA Q+ r0 A Reinhard Kulessa

C). Wiele ładunków zamkniętych powierzchnią. Ponieważ E1/r2, stąd wynika, że E=E0(r0/r)2. Z drugiej strony dA’/dA0=(r/r0)2. Wynika z tego, że d= E dA’= E0 dA0. Otrzymujemy więc na strumień natężenia pola elektrycznego taki sam rezultat jak w punkcie A). (5.4a) C). Wiele ładunków zamkniętych powierzchnią. A A’ Reinhard Kulessa

Gdzie jest całkowitym ładunkiem. (5.4b) Gdzie jest całkowitym ładunkiem. D). Ładunki Q znajdujące się poza zamkniętą powierzchnią Zgodnie z C) =0. Przez powierzchnię wychodzi tyle samo linii pola, co wchodzi. A Reinhard Kulessa

Jeśli mamy do czynienia z objętościowym rozkładem ładunku (x,y,z), wtedy przyjmując, że (x,y,z)=dQ/d, równanie (4.5b) przyjmie postać: (5.5) Pamiętamy, że A jest całkowitym polem powierzchni otaczającej Ładunek, a  całkowitą objętością zajmowaną przez ładunek. Podsumowanie: Strumień natężenia pola elektrycznego przez dowolną powierzchnię, obejmujący dowolny rozkład ładunku,Jest niezależny od kształtu tej powierzchni i zależy jedynie od wielkości ładunku położonego wewnątrz powierzchni. Reinhard Kulessa

5.3 Prawo Gaussa w postaci różniczkowej Korzystając z równania (3.8) możemy sformułować twierdzenie Gaussa, które mówi, że całkowity strumień wektora wychodzący przez powierzchnię zamkniętą otaczająca jakiś obszar w polu wektorowym, jest równy rozciągniętej na całą objętość obszaru całce z dywergencji tego wektora. E d dA divE Reinhard Kulessa

(5.6) Jeśli porównamy równania (5.5) i (5.6) to otrzymamy różniczkową postać prawa Gaussa. (5.7) Ładunki elektryczne możemy więc nazwać źródłami pola elektrycznego. Gdy nie ma wypływającego z objętości strumienia, nie ma źródeł. Pole v, dla którego div v = 0 nazywamy polem bezźródłowym. Reinhard Kulessa