Równania rekurencyjne i ich zastosowania Liniowe równania rekurencyjne: równanie charakterystyczne, transformata Z Stabilność: ciągi monotoniczne i okresowe, układy dynamiczne Rola stabilności: metoda Newtona, macierze Markowa, fraktale Chaos na odcinku

Egzamin Część pisemna (obowiązkowa) zadania rachunkowe zagadnienia i twierdzenia z wykładu (wraz z dowodami) samodzielne dowodzenie prostych twierdzeń Część ustna (opcjonalna) - możliwość podniesienia oceny z części ustnej teoria wraz z zagadnieniami z ćwiczeń autorskie propozycje studentów

Systemy Lindenmayera (L-systems) Glon arabaena catenula komórki nie podlegające podziałom komórki ulegające podziałom duże małe

Systemy Lindenmayera P - duża komórka powodująca rozrost w prawo L - duża komórka powodująca rozrost w lewo p - mała komórka powodująca rozrost w prawo l - mała komórka powodująca rozrost w lewo reguły podziału L l P l l P P L p p L p

Systemy Lindenmayera L | p l | P L | p l | P L | p l | P L | p

Systemy Lindenmayera : Formalizacja - alfabet - słowo (długości 8) - konkatenacja słów - zbiór słów

Systemy Lindenmayera : Formalizacja Reguły podziału komórek (liter) determinują podziały organizmów (słów) wg wzoru Np.

Systemy Lindenmayera Pytania: ? ? ?

śmierć z przeludnienia Gra »Life« Conwaya: Zasady Stan przed zmianą Liczba sąsiadów Stan po zmianie Opis ,,socjologiczny” pełna 0-1 pusta śmierć z samotności pełna 4-8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny ,,rodzice” umierają z samotności narodziny

śmierć z przeludnienia Gra »Life« Conwaya: Zasady Stan przed zmianą Liczba sąsiadów Stan po zmianie Opis ,,socjologiczny” pełna 0-1 pusta śmierć z samotności pełna 4-8 pusta śmierć z przeludnienia pusta 3 pełna narodziny ,,rodzą” się 2 nowe tracąc 2 ,,rodziców” śmierć z przeludnienia łódka stoi w miejscu

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 Żaba ,,skok” ,,lądowanie”

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 poprzednio teraz

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 0

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 1

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 2

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 3

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 4

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 5

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 6

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 7

Gra »Life« Conwaya lot Dakoty-4 stage 8

Właściwą scenerię dla A stanowi torus Automorfizm Arnolda (Arnold’s cat map) = liczba pikseli w pionie/w poziomie Właściwą scenerię dla A stanowi torus a nie płaszczyzna

Kot Arnolda Po 1-krotnym działaniu A Po 2-krotnym działaniu A To ja w roli kota Arnolda

Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie. Kot Arnolda Przekształcenie Arnolda zachowuje się chaotycznie. Nowy rodzaj kryptografii - kryptografia chaotyczna? Po 5-krotnym działaniu A

Macierze Markowa Frakcje polityczne: (1), (2) i (3). - prawdopodobieństwo zmiany poparcia z i na j - rozkład poparcia w n-tych wyborach

Macierze Markowa ,,Twierdzenie ergodyczne” Po dostatecznie długim czasie będziemy mieli w przybliżeniu stały rozkład poparcia niezależnie od rozkładu początkowego Praktycznie stałe już przy n=8 wyborach Mariaż powyższego z teorią gier i systemów głosowania pozwala wyjaśnić dlaczego w większości rozwiniętych parlamentów istnieją tylko dwie partie (np. Anglia, Stany Zjednoczone)

Wzrost wykładniczy Model kapitalizacji (procent składany); inflacja - kapitał po n latach , - oprocentowanie Rozpad połowiczny; datowanie C-14 T - czas półrozpadu - masa materiału promieniotwórczego po czasie nT Prawo Malthusa; bakterie - wielkość populacji w n-tym pokoleniu - współczynnik narodzin

Wzrost wykładniczy Króliki Leonarda z Pizy - liczba par królików w n-tym miesiącu hodowlę zaczynamy od 1 pary miesięczne - niezdolne do rozrodu nowo narodzone wzór asymptotyczny

Ograniczona oscylacja Żniwowanie (harvesting); rozsądne połowy - masa złapanych homarów w n-tym roku Np. dla Maine = 20 871 ton = 16 435 ton lobster - homar rekord! Odszukać wartość i porównać z modelem

Generator liczb pseudolosowych Zależność logistyczna Model Verhulsta - gęstość populacji - współczynnik przyrostu Przeludnienie hamuje rozwój Generator liczb pseudolosowych chaotyczne!