Odwzorowanie logistyczne Rozwiązanie deterministyczne jest uważane za chaotyczne, jeśli dwa rozwiązania, które początkowo różnią się niewiele, rozchodzą się eksponencjalnie z rozwojem czasu. Przykładem rozwiązania chaotycznego jest rozwiązanie odwzorowania logistycznego: Odwzorowanie to ma istotnie różne typy zachowań zależnie od wartości a. Jest ono prostą reprezentacją dynamiki populacji jakiegoś gatunku. xn to ilość osobników w roku n, a średnie tempo reprodukcji. W zależności od zachowania rozwiązań w otoczeniu punktów stałych xs = 0 i xs = 1 - 1/a dany punkt będzie stabilny lub nie. Rozwiązania są zbieżne do stabilnych punktów stałych (odwzorowanie będzie ewoluować do tych punktów) i rozbieżne względem niestabilnych. Dla a=3 zachodzi bifurkacja. Oba punkty stałe są niestabilne i iteracje zbiegają się do cyklu granicznego oscylującego miedzy xs1 i xs2. Wartości xs1 i xs2 obliczane są z wzoru: xs2 = a xs1(1- xs1) xs1 = a xs2(1- xs2)

Rzut podwajania okresu bifurkacji zachodzi dla ciągu ak, który aproksymacyjne spełnia zależność Feigenbauma: ak =4.669202 - 2.6372 F-k gdzie F = 4.669202 jest stałą Feigenbauma. Ta zależność wskazuje na fraktalne - niezmiennicze ze względu na skalę, zachowanie dla ciągu podwajania okresu bifurkacji. Wartości ciągu podwajania okresu mogą być użyte do przewidzenia zachowania chaotycznego w a. Dla wartości a > a wchodzi się w rejon w którym okresowe i nieokresowe atraktory są naprzemienne. Dla atraktorów aperiodycznych występuje chaos. Zachowanie chaotyczne może być opisane ilościowo w terminologii wykładnika potęgowego Lyapunowa l. Jest on miarą prędkości z jaką rozbiegają się trajektorie w przestrzeni fazowej. Dla odwzorowania logistycznego wykładnik Lyapunowa wynosi Wykładnik Lyapunowa spada do zera w każdym rzucie bifurkacji.

Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego: Przykład Dla a = 4 iteracje odwzorowania logistycznego: xn+1= 4xn (1-xn ) dla x [0,1] można wyrazić analitycznie obierając x0 = sin2pb ( 0<b<1 ) Z podstawienia otrzymujemy: x1 = 4sin2 pb (1 - sin2 pb) = sin2 2pb W n-tej iteracji: xn = sin22npb Przyjmując, że b nie jest liczbą całkowitą wartości xn zmieniają się losowo i otrzymuje się w pełni chaotyczne zachowanie. dxn=2sin(2n pb)cos(2n pb) 2npdb dx0=2sin(pb)cos(pb)pdb Stąd: wykładnik Lyapunowa dla tego specyficznego przypadku jest 1 - iteracja jest w pełni chaotyczna.

Krytyczne samouzgodnienie - SOC (Self-organized criticality) Cechą charakterystyczną zmian fazowych jest katastroficzna (nieciągła) zmiana parametrów makroskopowych przy ciągłych zmianach zmiennych stanu systemu. W układach posiadających zjawisko punktu krytycznego można zaobserwować wewnętrzne zorganizowanie stanu krytycznego tzw. krytyczne samouzgodnienie. Układ jest w stanie SOC jeśli utrzymuje się w pobliżu  punktu krytycznego a wytrącony z tego stanu powraca do stanu  granicznej stabilności. W stanie krytycznym nie ma naturalnej skali długości - stosuje się statystyka fraktalna. Najprostszym przykładem modelu krytycznego  samouzgodnienia jest stożek piasku na okrągłym stole. Rozkład częstość - rozmiary osuwisk  jest rozkładem fraktalnym. Średnio liczba dodawanych ziaren piasku równoważy się z  liczbą tych, które się ześlizgną ze zboczy na stół, lecz aktualna liczba  ziaren na stole ciągłe fluktuuje.

SOC - model automatu komórkowego Model automatu  komórkowego składa się z siatki n kwadratowych kostek. Do siatki dodawane i usuwane są cząstki zgodnie z regułą:  Cząsteczki dodawane są losowo do jednej z kostek: każda z nich jest  ponumerowana i stosowany jest generator liczb losowych by określić do której kostki ma zostać dodana cząstka. Jest to model statystyczny. Gdy kostka ma cztery cząstki są one redystrybuowane do czterech kostek  sąsiednich. Gdy brak kostki sąsiedniej cząstka jest usuwana (redystrbucja cząstek z kostki na brzegu usuwa jedną, kostka narożna  powoduje odrzucenie dwu cząstek).  Gdy po redystrybucji któraś inna kostka ma cztery lub więcej  cząstek jest ona niestabilna i prowadzi do dalszych redystrybucji.  Zjawiska wielokrotne pojawiają się powszechnie w dużej siatce.   Układ jest w stanie granicznie stabilnym. Średnio liczba cząstek  dodanych jest równa liczbie odrzuconych.  Jest to model najbliższego sąsiedztwa - w każdym kroku kostka oddziałuje tylko najbliższymi sąsiadami.

SOC - model automatu komórkowego  Zachowanie układu może być scharakteryzowane przez statystyczny rozkład  częstość - rozmiar zjawisk. Rozmiar zjawiska wielokrotnego można określić  ilościowo w różny sposób. Jedną z miar może być ilość kostek niestabilnych w zjawisku wielokrotnym, inną ilość cząstek utraconych z  sieci podczas tego zjawiska.   Gdy cząstki są dodawane do sieci początkowo nie są z niej usuwane - dominują drobne redystrybucje. W końcu układ jest w stanie quasi-równowagi; średnio liczba cząstek traconych  z sieci jest równa liczbie cząstek dodawanych a rozkład częstość - rozmiar jest fraktalny. W modelu automatu komórkowego statystyka  jest fraktalna jedynie w stanie krytycznego samouzgodnienia.

Automat komórkowy –cellular automata Zachowanie takiego  modelu prześledzić można na przykładzie sieci 3x3. Dziewięć kostek jest  ponumerowane z lewej do prawej i z góry w dół. Po jakimś czasie działania  automatu ustalił się stan z rys.  Dalszy rozwój modelu zgodnie z regułą. Redystrybucja zachodzi w  kolejnych krokach. Pod siatką po lewej proszę podać kumulatywną liczbę  kostek poddanych redystrybucji. Jeśli kostka w danym zjawisku wielokrotnym  redystrybuowana jest wielokrotnie zliczana jest tylko raz. Po prawej  podać kumulatywną liczbę cząstek straconych z sieci. Gdy po redystrybucji  istnieje kilka kostek o czterech lub więcej cząstkach, cząstka redystrybuowana  jest wybierana losowo i nie ma to znaczącego wpływu na statystyczny efekt  zjawiska. Prosty model ilustruje pracę automatu, aby móc wnioskować statystycznie musi się rozważać większe siatki. Jedną z miar rozmiarów  zdarzenia jest liczba kostek, które stały się niestabilne. Rezultaty dla  proszę przedstawić na rysunku w skali dwulogarytmicznej: ilość zdarzeń N, w których brała udział określona liczba n kostek, w funkcji liczby n kostek. Wyznaczyć nachylenie  prostej w skali log-log. Ponieważ liczba kostek jest równoważna z obszarem wymiar fraktalny  D = podwojonemej wartości tangensa kąta nachylenia.

Rozkład częstość - rozmiar zdarzeń związanych z  krytycznym  samouzgodnieniem jest podobny do rozkładu trzęsień w strefach  aktywnych tektonicznie. Predykcja trzęsień nie jest możliwa w  sensie deterministycznym, jedynie probabilistycznym.  Zachowanie stożka piasku czy automatu komórkowego można porównać do sejsmiczności. W strefie aktywnej wzrost naprężenia, spowodowany przez względne przemieszczenia płyt, jest  analogiczny do dodania cząstek do sieci czy ziaren piasku do stożka.  Zdarzenia wielokrotne są analogiem do trzęsień w których zgromadzone naprężenia są redystrybuowane a część jest tracona. Zachowanie układu może być scharakteryzowane przez statystyczny rozkład  częstość - rozmiar zjawisk. Istnieją prace modelujące sejsmiczność skorupy poprzez automaty komórkowe o niezmienniczym ze względu na skalowanie rozkładzie rozmiarów komórek, co ma modelować niezmienniczy ze względu na skalowanie rozkład rozmiarów uskoków. Redystrybucja jest równoważna charakterystycznemu trzęsieniu na uskoku. Redystrybucja z małych komórek (wstrząs uprzedni) może wyzwolić niestabilność w dużej komórce (wstrząs główny). Redystrybucja z dużej komórki zawsze wyzwala wiele niestabilności w małych (wstrząsy następcze). Wiele prac powstało dla badań statystyki rzeczywistych przypadków częstość - rozmiar lawin i w pewnych przypadkach znaleziono statystykę fraktalną. Chaotyczne zachowanie analogowych układów nisko-wymiarowych oznacza, że naturalne układy również będą zachowywać  się  chaotycznie. Oddziaływanie między uskokami prowadzące do  fraktalnej statystyki częstotliwość - magnituda jest  przykładem  deterministycznego chaosu.