Matematyka Ekonomia, sem I i II

I. Algebra liniowa Rachunek macierzowy Układy równań liniowych Pojęcia podstawowe Działania na macierzach Wyznaczniki Macierz odwrotna Operacje elementarne na macierzach Postać kanoniczna macierzy Układy równań liniowych Pojęcia wstępne Przypadek szczególny – metoda Cramera Rozwiązywanie układu równań w przypadku ogólnym

I.1. Rachunek macierzowy I.1.1 Pojęcia podstawowe Def. 1 (macierzy) Macierzą nazywamy ciąg mn wyrażeń (np. liczb) aik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m które zapisujemy w postaci prostokątnej tablicy m x n – wymiar macierzy Jeżeli m=n – macierz kwadratowa stopnia n

Przykłady

I.1.2 Działania na macierzach Def. 2 (równości macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A=B  aik= bik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m Def. 3 (macierzy zerowej) Macierz A=0  aik= 0, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m I.1.2 Działania na macierzach Def. 4 (sumy macierzy) Jeżeli macierze A i B mają te same wymiary, to A+B=C  cik=aik+ bik, i=1, 2, ... , n; k=1, 2, ... , m czyli [aik]+[bik]=[aik+ bik] Tw. 1 (przemienność dodawania macierzy) A+B=B+A tzn. dodawanie macierzy jest przemienne Tw. 2 (element zerowy dodawania macierzy) A+0=A Tw. 3 (łączność dodawania macierzy) (A+B)+C=A+(B+C) tzn. dodawanie macierzy jest łączne Zatem przy dodawaniu można opuszczać nawiasy i pisać po prostu A+B+C

Tw. 4 (macierz przeciwna) Dla każdej macierzy A istnieje macierz przeciwna –A taka, że A+(–A)=0 –A=[–aik] Def. 5 (skalara) Macierz stopnia 1 [a11]= a11 nazywamy skalarem i identyfikujemy z liczbą (wyrażeniem) a11 Def. 6 (macierzy symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy symetryczną, jeżeli aik = aki Def. 7 (macierzy antysymetrycznej albo skośnie symetrycznej) Macierz kwadratową A nazywamy antysymetryczną (skośnie symetryczną), jeżeli aik = –aki Wniosek: aii=0 Przykład:

Tw. 5 (o rozkładzie macierzy kwadratowej) Każdą macierz kwadratową A można jednoznacznie przedstawić w postaci sumy macierzy symetrycznej S i macierzy antysymetrycznej R A=S+R Dowód: aik =sik +rik aki =ski +rki ale ski =sik i rki = –rik, zatem aki =sik –rik Dodając ostatnie dwa wzory stronami dostajemy aki + aik =2sik a stąd sik = ski =½ (aik + aki) Podobnie odejmując stronami otrzymamy rik = –rki =½ (aik – aki) Def. 8 (wektora) Macierz o jednej kolumnie nazywamy wektorem kolumnowym, a o jednym wierszu – wektorem wierszowym Wektor kolumnowy Wektor wierszowy

Def. 9 (podmacierzy) Jeżeli z macierzy usuniemy wiersz albo kolumnę albo kilka wierszy albo kilka kolumn, to pozostała macierz o mniejszych wymiarach nazywana jest podmacierzą macierzy wyjściowej Def. 10 (macierzy diagonalnej) Macierz kwadratową nazywamy diagonalną (przekątniową), jeżeli poza przekątną główną ma same zera czyli gdy aik=0 dla i≠ k np. Def. 11 (symbolu Kroneckera) Def. 12 (macierzy jednostkowej) Macierz jednostkowa 1 (albo U lub E) 1=[δik] np.

cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ... + ain bnk Def. 13 (macierzy transponowanej) Macierz transponowana AT do macierzy A aTik = aki np. Def. 14 (mnożenia macierzy przez liczbę) cA=c[aik]=[c aik] np. Tw. 6 (rozdzielność mnożenia macierzy przez liczbę) (m+n)A=mA+nA n(A+B)=nA+nB Def. 15 (mnożenia macierzy) Niech A – macierz o wymiarach m x n niech B – macierz o wymiarach n x p AB=C gdzie C – macierz o wymiarach m x p cik = ai1 b1k + ai2 b2k + ai3 b3k + ... + ain bnk albo w skrócie