Układy dynamiczne Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ  dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają ewolucję układu – bez żadnych zewnętrznych zakłóceń +jego  zachowanie jest jednoznacznie określone dla całego czasu gdy znane są położenia i prędkości początkowe układu. Cechą równań dynamiki nieliniowej jest zdolność generowania,  nawet przez proste równania, ruchu tak złożonego, że wydaje się przypadkowy - jest on nazywany chaosem deterministycznym. Chaos deterministyczny to stochastyczne zachowanie występujące w układzie deterministycznym (zachowanie losowe całkowicie rządzone przez prawo).

Zcałkowanie równania dla e = 0 daje: Przestrzeń , nazywana jest przestrzenią fazową. Rozwiązanie układu ma postać: = x0 cost = -x0 sint Rozwiązanie to w przestrzeni R+xR2 przedstawia linię śrubową, a w przestrzeni fazowej rodzinę okręgów. Przestrzeń fazowa układu dynamicznego jest abstrakcyjną przestrzenią o ortogonalnych współrzędnych, z których każda przedstawia zmienną potrzebną do określenia stanu układu.

atraktor Chaos i porządek to dwa odrębne przejawy determinizmu.  Typowy układ może istnieć w różnorodnych stanach, niektóre są  uporządkowane, niektóre chaotyczne. Najważniejszą własnością układu jest jego zachowanie długookresowe - układ dynamiczny w długim okresie czasu zbliża się do  atraktora. Na płaszczyźnie,  dla układów typowych, jedynymi atraktorami są pojedyncze punkty i stabilne cykle graniczne. Trajektorie z basenu przyciągania są przyciągane (attracted) do trajektorii asymptotycznej. Dla większej ilości wymiarów można spotkać strukturalnie stabilny atraktor, który nie jest ani punktem, ani okręgiem - mówimy o atraktorze dziwnym. Są dwa wymagania dla rozwiązań, które wykazują chaos deterministyczny:  - rozwiązywane być muszą równania deterministyczne z określonymi  warunkami początkowymi i/lub brzegowymi, - rozwiązania, które mają warunki początkowe nieskończenie bliskie ewoluując rozchodzą się eksponencjalnie. Dynamiczne układy nisko-wymiarowe o zachowaniu chaotycznym są znacznym uproszczeniem systemów naturalnych takich jak np. zjawiska  termodynamiczne.

atraktor Układ dynamiczny może być chaotycznym gdy wymiary przestrzeni fazowej są  3. Rozwiązanie z upływem czasu dąży do podzbioru przestrzeni fazowej do zwanego atraktorem. Na atraktorze sąsiednie trajektorie są rozbieżne Podzbiór A w przestrzeni fazowej, który jest osiągalny asymptotycznie przez trajektorię x(t) układu chaotycznego gdy t jest atraktorem dziwnym (fraktalem). W R2 jeżeli trajektoria jest zawarta w ograniczonym obszarze D jedynymi możliwymi atraktorami są punkt krytyczny lub cykl graniczny. Jeżeli cykl graniczny jest osiągany przez rozwiązanie gdy t to jest on stateczny i jest atraktorem. Wiele układów dynamicznych osiąga stan chaotyczny jako zachowanie długookresowe (np. po pewnej liczbie okresowych lub quasiokresowych oscylacji). Jeśli chaos związany jest z dużą liczbą stopni swobody – jest losowy (random). Gdy liczba stopni swobody jest mała jest to chaos deterministyczny – trajektorie przestrzeni fazowej dążą do atraktora o strukturze fraktalnej.

Twierdzenie Takensa Charakter atraktora można odtworzyć na podstawie czasowych zmian pojedynczych zmiennych. Badając układ dynamiczny o wielowymiarowej przestrzeni fazowej, analizuje się przestrzenie zanurzone. Ze zbioru obserwacji szeregu czasowego s(n) jakieś skalarnej wielkości tworzone są w d-wymiarowych przestrzeniach Euklidesowych wektory o składowych będących wartościami obserwacji z opóźnieniem czasowym T: Określając wymiar atraktora w przestrzeniach zanurzonych badany jest ciąg przestrzeni o wzrastających wymiarach d. Oblicza się wymiar korelacyjny D2 od tak zrekonstruowanego atraktora przestrzeni fazowej. Dla białego szumu lub układu o dużej liczbie stopni swobody D2 wzrasta stale gdy wzrasta wymiar przestrzeni d. Gdy wartości wymiaru D2 stają się niezależne od d układ wykazuje chaos deterministyczny, a atraktor jest atraktorem dziwnym o wymiarze D.. Wymiary korelacyjne D2 atraktora w zależności od wymiaru d przestrzeni euklidesowych zanurzonych w przestrzeni fazowej

DYNAMO GEOMAGNETYCZNE Rikitake - układ dynamiczny Teoria pola geomagnetycznego to teoria dynama hydromagnetycznego samowzbudnego. Płynne jądro zewnętrzne składające się głównie z żelaza działa jak dynamo. Schemat strumienia cieczy, prądów elektrycznych i pola magnetycznego w   przybliżeniu opisuje dysk - dynamo. Model Rikitake posiada dwa dyski symetryczne w których prąd wytworzony w jednym działa na drugi. Dynamo to może podlegać losowym samoodwróceniom i zachowuje się chaotycznie.  Prądy elektryczne w jądrze generują pole magnetyczne. Ruch przewodnika elektrycznego w polu magnetycznym indukuje pole elektryczne. Lepkość płynnego jądra zewnętrznego jest na tyle mała, że ruch strumienia cieczy jest turbulentny.

DYNAMO GEOMAGNETYCZNE Rikitake Model tworzą dwa obracające się z prędkością w, wokół równoległych osi, przewodzące dyski i dwie pętle prądowe szczotkami połączone z osiami i obrzeżem przeciwległego dysku. Do obu dysków przyłożony jest,taki sam moment siły obracających G. Prąd I wytworzony w jednym z obwodów poprzez pole magnetyczne działa siłą elektrodynamiczną na drugi dysk. W stanie stabilnym moment siły jest zrównoważony z momentem G.

Równania opisujące procesy zachodzące w układzie w stanie stabilnym W stabilnym stanie dynama Rikitake prąd I2 przepływając przez pętlę generuje pole magnetyczne B1. Pole to  obejmuje obracający się przewodzący dysk. Powoduje  to wyindukowanie sily elektromotorycznej i przepływ pradu I1 w kierunku  radialnym. W stanie stabilnym:   gdzie R jest oporem, wzajemną indukcyjnością między dyskiem i pętlą  prądową. Prad I i pole magnetyczne B wywołują siłę elektrodynamiczną  na jednostkę długości przewodnika. Oddziaływanie między polem magnetycznym B i skierowanym o środka prądem I powoduje powstanie momentu siły elektrodynamicznej, który w stanie stabilnym jest zrównoważony z momentem G. Dla pierwszego dysku Analogicznie dla drugiego dysku i pętli.  

gdzie L - samoindukcja każdego obwodu W stanie niestabilnym gdzie L - samoindukcja każdego obwodu J - jego moment bezwładności, Wprowadzając zmienną: 0=1-2 oraz bezwymiarowe zmienne i parametry: otrzymuje się:

. Przyjmując pochodne po czasie równe zero otrzymuje się rozwiązania stanu stacjonarnego gdzie Znak  odpowiada normalnemu (+) i odwróconemu (-) polu geomagnetycznemu. Punkty osobliwe równania są niestabilne dla  wszystkich wartości parametrów Przykład takiego rozwiązania W płaszczyźnie fazowej X2Y1 pokazane są punkty osobliwe X2=1/2, Y1=4 dla K=2 i m=1.   Oscylacje  przy jednej biegunowości pola narastają aż do przeskoczenia do drugiej biegunowości

W stanie niestabilnym Statystyka inwersji dynama Rikitake i pola geomagnetycznego nie jest podobna, lecz model jest wielkim uproszczeniem złożonych prądów cieczy w  ziemskim jądrze i jest układem nisko-wymiarowym podczas gdy ziemskie dynamo układem bardzo wysokiego rzędu. Samoodwrócenia modelu istotnie  podobne do samoodwróceń pola geomagnetycznego mogą być traktowane jako przesłanka, że dynamo w jądrze zachowuje się chaotycznie. Model taki został w latach 1970 skonstruowany i Cook i Roberts zademonstrowali zachodzenie samoodwróceń.