WYKŁAD 6 ODDZIAŁYWANIE ŚWIATŁA Z MATERIĄ
PLAN WYKŁADU Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella Energia i moc w polu elektromagnetycznym Fale elektromagnetyczne w próżni Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych; zespolony współczynnik załamania PODSUMOWANIE
Pola elektryczne i magnetyczne w próżni i ośrodkach materialnych - równania Maxwella Klasyczna teoria elektromagnetyzmu: natężenie pola elektrycznego indukcja magnetyczna ładunek elektryczny siła Lorentza gęstość prądu elektrycznego
Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI
Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI
Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI
Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI
Równania Maxwella postać różniczkowa, układ SI gęstości ładunku i prądu, źródła pól. Co w próżni? Co w ośrodkach materialnych?
równanie ciągłości
Ładunki i prądy polaryzacyjne w ośrodkach materialnych Model Lorentza atomu, ładunek dodatni (ciężkie jądro) i ujemny (lekkie elektrony), q niekoniecznie równe +Ze, elektrony silnie i słabo związane
wektor polaryzacji, wyindukowany przez pole zewnętrzne moment dipolowy na jednostkę objętości
ładunek przesunięty przez jednostkową powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P
wektor polaryzacji, wyindukowany przez pole zewnętrzne moment dipolowy na jednostkę objętości ładunek przesunięty przez jednostkową powierzchnię zależy od P i cosinusa kąta pomiędzy N i P Zamiast δ musimy wstawić δcosα
wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa
wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa
wstawiamy minus bo polaryzacja „wypycha” ładunek dodatni z objętości V stosujemy twierdzenie Gaussa
w 1-szym równaniu Maxwella całkowity ładunek dzielimy na „swobodny” i „polaryzacyjny”
podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy:
w 1-szym równaniu Maxwella całkowity ładunek dzielimy na „swobodny” i „polaryzacyjny” podstawiając za gęstość ładunku polaryzacyjnego wyrażenie z P otrzymamy: Jeśli wprowadzimy nowy wektor:
otrzymamy nową wersję I-ego równania Maxwella z wektorem indukcji elektrycznej
By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć: gdziejest podatnością elektryczną ośrodka mat.
otrzymamy nową wersję I-ego równania Maxwella z wektorem indukcji elektrycznej By rozwiązać to równanie musimy uwzględnić zależność P od E. W najprostszym wypadku możemy przyjąć: gdziejest podatnością elektryczną ośrodka mat. Mamy wówczas: gdzie stała ε r to stała dielektryczna, a ε przenikalność elektryczna ośrodka materialnego
CO Z PRĄDAMI? DIELEKTRYKI
CO Z PRĄDAMI? Z równania ciągłości: DIELEKTRYKI
CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: DIELEKTRYKI
CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: Otrzymamy: DIELEKTRYKI
CO Z PRĄDAMI? Korzystając z: Z równania ciągłości: Otrzymamy: DIELEKTRYKI
CO Z PRĄDAMI? MATERIAŁY MAGNETYCZNE
CO Z PRĄDAMI? MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów
CO Z PRĄDAMI? Można pokazać, że: MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1
CO Z PRĄDAMI? Można pokazać, że: Całkowity prąd: MATERIAŁY MAGNETYCZNE namagnesowanie a momenty magnetyczne atomów Feynman, tom II, cz. 2, podrozdz. 36.1
Uwzględniamy wszystkie prądy
i otrzymujemy:
Uwzględniamy wszystkie prądy i otrzymujemy:
Uwzględniamy wszystkie prądy i otrzymujemy:
Ostatecznie:
Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego):
Ostatecznie: Wprowadzamy nowe pole (natężenie pola magnetycznego): i otrzymujemy 4-te równanie Maxwella: [H] = A/m, inne definicje H: Feynman, t.II, cz.2, podrozdz. 36.2
Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka
Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni,
Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni, mamy:
Potrzebny jest związek pomiędzy M i H, przyjmujemy: gdzie: to podatność magnetyczna ośrodka Wykorzystując: i wprowadzając nową stałą: nazywaną przenikalnością magnetyczną próżni, mamy: gdzie: to przenikalność magnetyczna ośrodka a to względna przenikalność mag. ośrodka
DYGRESJA; wyznaczanie stałej c
Mierząc te siły możemy wyznaczyć wartość c:
DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy
DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy z eksperymentu
DYGRESJA; wyznaczanie stałej c obecnie przyjmujemy z eksperymentu Pomiar μ 0 i ε 0 : 1856 W. Weber i R. Kohlrausch, Lipsk
RÓWNANIA MAXWELLA w ośrodkach materialnych
plus równania materiałowe: przenikalności elektryczne i magnetyczne próżni, skalary ośrodka materialnego – mogą być tensorami
ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM
Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM
Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek:
Moc przekazana cząstce: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek: Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:
Moc przekazana cząstce: W polu elektrycznym i magnetycznym: ENERGIA I MOC W POLU ELEKTROMAGNETYCZNYM Moc przekazana układowi cząstek: Moc przekazana ciągłemu rozkładowi ładunku:
Ponieważ:i
i oraz: i
Mamy: Ponieważ:i oraz: i
Z 2-iego i 4-tego równania Maxwella, po przemnożeniu:
Wykorzystamy następujące związki:
Otrzymujemy:
Uwzględniając twierdzenie Gaussa:
Otrzymujemy: Uwzględniając twierdzenie Gaussa: otrzymamy:
BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M
moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M
moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M
moc chwilowa tracona przez pole e-m na rzecz układu ładunków wektor Poyntinga, gęstość mocy wypływającej z układu gęstość energii pola e-m BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M
Dla próżni: BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M
A dla ośrodka materialnego: BILANS ENERGETYCZNY POLA E-M Energia pola w próżni plus energia na polaryzację i namagnesowanie
Fale elektromagnetyczne w próżni
w próżni nie ma ładunków i prądów
Fale elektromagnetyczne w próżni w próżni nie ma ładunków i prądów weźmiemy rotację z obu stron
Fale elektromagnetyczne w próżni w próżni nie ma ładunków i prądów weźmiemy rotację z obu stron i wykorzystamy równanie 4-te
Fale elektromagnetyczne w próżni
wykorzystujemy następującą tożsamość:
Fale elektromagnetyczne w próżni wykorzystujemy następującą tożsamość: i otrzymujemy:
Fale elektromagnetyczne w próżni
ponieważ:
Fale elektromagnetyczne w próżni ponieważ: więc:
Podobnie dla pola B
r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron
Podobnie dla pola B r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron i wykorzystujemy równanie 2-gie
Podobnie dla pola B r-nie 4, bierzemy rotację z obu stron i wykorzystujemy równanie 2-te otrzymując:
Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych
Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami
Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami
Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami równania materiałowe
Monochromatyczne fale płaskie w ośrodkach materialnych Ośrodki jednorodne i izotropowe z prądami i ładunkami PRAWO OHMA, przewodnictwo właściwe równania materiałowe
Szukamy rozwiązań w tej postaci:
z częścią czasową i przestrzenną
Z równania ciągłości: Szukamy rozwiązań w tej postaci: z częścią czasową i przestrzenną
Z równania ciągłości: Szukamy rozwiązań w tej postaci: z częścią czasową i przestrzenną po scałkowaniu:
Z 1-ego równania:
po wstawieniu:
i: Z 1-ego równania: po wstawieniu:
i: Z 1-ego równania: po wstawieniu: otrzymamy równanie:
i: Z 1-ego równania: po wstawieniu: otrzymamy równanie: albo podobne, tylko na część przestrzenną:
2-gie i 3-cie równanie dadzą: po zróżniczkowaniu po t
2-gie i 3-cie równanie dadzą: po zróżniczkowaniu po t a 4-te: po uwzględnieniu prawa Ohma i zróżniczkowaniu po t
Równania 1-sze i 3-cie (z div), dla ośrodków jednorodnych:
Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich:
Równania 1-sze i 3-cie (z div), dla ośrodków jednorodnych: Szukamy rozwiązań w postaci fal płaskich: ponieważ:
Zatem równania: sprowadzą się do: E, H prostopadłe do k
Zatem równania: sprowadzą się do: Podobnie dla rotacji:a więc: E, H prostopadłe do k
oraz:
Podstawiając 2-gie do 4-tego:
oraz: Podstawiając 2-gie do 4-tego: Korzystając z tożsamości:
oraz: Podstawiając 2-gie do 4-tego: Korzystając z tożsamości: oraz wykorzystując: μ = μ r μ 0 ; ε = ε r ε 0 ; ε 0 μ 0 = c 2
otrzymamy: Ponieważ: Mamy: gdzie
Równanie to będzie spełnione gdy: gdzie to zespolony współczynnik załamania Niechi mamy wówczas:
Stąd mamy dalej:
wobec tego:
Stąd mamy dalej: wobec tego:
Stąd mamy dalej: wobec tego:
Rozwiązanie w ośrodku materialnym:
i
i tłumiona amplituda: Rozwiązanie w ośrodku materialnym:
i tłumiona amplituda: Rozwiązanie w ośrodku materialnym: zmodyfikowana część przestrzenna:
PODSUMOWANIE Pełny opis pól elektrycznych i magnetycznych w ośrodkach materialnych, w tym fal elektromagnetycznych rozchodzących się w takich ośrodkach, wymaga wprowadzenia czterech pól wektorowych: Pole elektryczne E i magnetyczne H wywołują w ośrodku materialnym polaryzację P (podatność elektryczna ) i namagnesowanie M (podatność magnetyczna ) tworząc pola D i B.
PODSUMOWANIE Dzięki zapisowi zespolonemu różniczkowe równania Maxwella dla fal harmonicznych opisanych częstością ω i zespolonym wektorem falowym stają się równaniami algebraicznymi. Z równań tych wynika, że: gdzie:
PODSUMOWANIE Rozwiązanie w postaci fali płaskiej harmonicznej ma w ośrodku materialnym tłumioną amplitudę (urojona część współczynnika załamania) i zmodyfikowaną część przestrzenną (rzeczywista część współczynnika załamania):