Porównanie metod prognozowania parametrów orientacji Ziemi Wiesław Kosek Seminarium Centrum Badań Kosmicznych PAN, 25 październik 2007

CIP – Celestial Intermediate Pole IRP – Instantaneous Rotation Pole y x IRP y xp Greenwich południk CIP yp x

Transformacja pomiędzy Niebieskim i Ziemskim Systemami Odniesienia Q(t) ruch niebieskiego bieguna pośredniego (CIP) w systemie niebieskim (model precesji nutacji IAU2000 + poprawki dX, dY) W(t) Ruch bieguna CIP w systemie ziemskim (współrzędne xp, yp bieguna) R(t) rotacja Ziemi wokół osi biegunowej (UT1-UTC)

IERS Rapid Service/Prediction Centre W celu uzyskania informacji o pozycji obiektu znajdującego się poza rotującą Ziemią w czasie rzeczywistym należy wiedzieć jaki mają się do siebie współrzędne stacji obserwacyjnej określone w układzie ziemskim względem współrzędnych tego obiektu określonych zwykle w układzie niebieskim. Nawiązanie układów jest możliwe dzięki prognozom parametrów orientacji Ziemi (x, y, UT1-UTC, dX, dY). Prognozy parametrów ruchu obrotowego Ziemi pozwalające na transformację układów służą do precyzyjnego pozycjonowania radioteleskopów (DSN), które utrzymują łączność z sondami kosmicznym (Cassini, Opportunity, Spirit, Mars Global Serveyor, Rosetta, Stardus, Voyager-1, Voyager-2). Obserwacje technikami: VLBI, SLR, GPS, DORIS nie pozwalają na wyznaczenie parametrów orientacji Ziemi w czasie rzeczywistym dlatego konieczne jest ich prognozowanie. Wyznaczaniem prognozy tych parametrów zajmuje się IERS RS/PC (Rapid Service/Prediction Centre) w US Naval Observatory w Waszyngtonie. - czas UT1-UTC prognozowany jest z wykorzystaniem prognozy składowej osiowej momentu pędu atmosfery (Johnson et al., 2005) otrzymywanej w procesie dynamicznego wyznaczenia modelu cyrkulacji atmosfery oraz prognozy pogody. - współrzędne x, y bieguna prognozowane są kombinacją metody najmniejszych kwadratów i autoregresji (Kosek i in., 2004). - obecna dokładność modelu precesji-nutacji IAU2000 jest bardzo wysoka dlatego residua precesji-nutacji dX, dY pokazują jedynie niedeterministyczny sygnał z okresem ok.. 430 dni i o amplitudzie rzędu 0.3 mas pochodzący od rotacji ciekłego jądra Ziemi. Prognoza precesji i nutacji wyznaczana jest zatem jako ekstrapolacja modelu IAU2000.

Dane EOP x, y, Δ, UT1-UTC, dX, dY - IERS (1962.0 - 2007.7), Δt = 1 dzień χ3, AAM (1948-2007.5) Δt=0.25 dni, AER

Błąd wyznaczenia czasu UT1-UTC SLR 1976 VLBI 1980 Nowe bazy VLBI 1984 GPS 1992

Błędy wyznaczenia parametrów orientacji Ziemi w latach 1976-2004 1980 1984 1988 1992 1996 2000 2004 x [mas] 16.3 2.6 0.72 0.53 0.29 0.12 0.074 0.058 y [mas] 14.3 1.5 0.60 0.47 0.15 0.060 UT1 [ms] 0.406 0.238 0.069 0.044 0.016 0.010 0.012 0.006 ~1.8 mm ~2.8 mm Błędy prognozy oraz ich relacje do błędów wyznaczenia w 2000 roku Dni w przyszłości 1 7 20 40 80 160 320 x, y [mas] 0.5 2.7 6.3 11 17 25 32 UT1-UTC [ms] 0.12 0.7 3.6 6.9 13 67 błąd prognozy błąd wyznaczenia x, y ~7 ~36 ~85 ~140 ~230 ~340 ~430 UT1 ~10 ~58 ~300 ~580 ~1100 ~2700 ~5600

Prognozowanie EOP – aktywność międzynarodowa Earth Orientation Parameters Prediction Comparison Campaign (EOPPCC) - (07. 2005 – IERS Message No 74) (H. Schuh (Chair), W. Kosek, M. Kalarus) IERS Working Group on Predictions – (04. 2006 – EGU) (W. Wooden (Chair), T. Van Dam (Input data) , W. Kosek (Algorithms)

Czynniki wpływające na wzrost błędu prognozy parametrów orientacji Ziemi Obecność zmian nieregularnych (w różnych zakresach częstotliwości) we współrzędnych x, y bieguna ziemskiego i zmianach czasu UT1-UTC. Zmienne w czasie amplitudy i fazy oscylacji Chandlera, rocznej i półrocznej we współrzędnych x, y bieguna ziemskiego oraz oscylacji rocznej i półrocznej w zmianach długości doby (LOD) lub UT1-UTC. Szerokopasmowy charakter wyżej wymienionych oscylacji.

Widma amplitudowe FTBPF współrzędnych x, y bieguna ziemskiego

Chandler Amplitudy Annual Semi-annual Chandler Annual Fazy Semi-annual Amplitudy i fazy oscylacji Chandlera, rocznej i półrocznej we współrzędnych x, y bieguna ziemskiego wyznaczone metodą CD+FTLPF Chandler Amplitudy Annual Semi-annual Chandler Annual Fazy Semi-annual

Amplitudy Annual Semi-annual Semi-annual Fazy Annual Amplitudy i fazy oscylacji rocznej i półrocznej w zmianach długości doby ziemskiej wyznaczone metodą CD+FTLPF Amplitudy Annual Semi-annual Semi-annual Fazy Annual

Techniki prognozowania Najmniejszych kwadratów (LS) Autokowariancyjna (AC) Autoregresji (AR) Wielowymiarowa autoregresji (MAR) Algorytmy prognozowania 1) Kombinacja metod LS i AR (LS+AR), [x, y, Δ, UT1-UTC] - rząd autoregresji wyznaczony z kryterium AIC - rząd autoregresji wyznaczony empirycznie 2) Kombinacja metod LS i MAR (LS+MAR), [Δ, UT1-UTC, χ3AAM] 3) Kombinacja metod DWT i AC (DWT+AC), [x, y, Δ, UT1-UTC] Sposoby prognozowania współrzędnych x, y w układzie Kartezjańskim w układzie biegunowym

Prognoza współrzędnych x, y bieguna metodą LS+AR Model LS x, y Residua x, y x, y LS AR Prognoza x, y Ekstrapolacja x, y Prognoza residuów x, y

Metoda autoregresji (AR) Współczynniki autoregresji: wyznaczane są z estymatora autokowariancji :   Rząd autoregresji:

Błędy prognoz LS i LS+AR dla współrzędnej x

Błędy prognoz LS i LS+AR dla współrzędnej y

Średnie błędy prognoz danych x, y wyznaczonych metodami LS (linie przerywane) i LS+AR (linie ciągłe) w latach 1980-2007 (Model LS wyznaczony z 5 lat, 10 lat i 15 lat danych x – iy)

Błędy prognoz x, y wyznaczonych metodami LS i LS+AR (różna liczba harmonik w modelu LS)

Optymalny rząd autoregresji w funkcji długości prognozy AR dla danych EOP (Kalarus)

Średnie błędy prognoz x, y wyznaczonych metodą LS+AR w latach 1980-2007

Prognoza danych Δ i UT1-UTC metodą DWT+AC diff Δ UT1-TAI UT1-UTC -- skoki sekundowe -- Model pływowy DWT BPF Δ-ΔR(ω1), Δ-ΔR(ω2),…, Δ-ΔR(ωp) Δ-ΔR AC Prognoza Δ-ΔR Prognoza składowych częstotliwościowych Δ-ΔR(ω1) + Δ-ΔR(ω2) + … + Δ-ΔR(ωp) + Model pływowy Prognoza Δ Prognoza UT1-TAI Prognoza UT1-UTC int + skoki sekundowe

Dekompozycja sygnału x(t) metodą DWT BPF na składowe częstotliwościowe (Popiński 1996) - indeks skali - indeks translacji Współczynniki transformaty: gdzie - dyskretna funkcja falkowa, której transformata Fouriera wynosi: - Transformata Fouriera funkcji falkowej Meyer’a

Dekompozycja Δ-ΔR metodą DWT BPF z funkcją falkową Meyer’a

Prognoza autokowariancyjna (Kosek 1993) - Stacjonarny proces zespolony - prognoza

Przykładowe 100-dniowe prognozy zmian długości doby ziemskiej wyznaczone metodą DWT+AC Prognozy LOD LOD

Średni błąd prognozy Δ i UT1-UTC (EOPPCC)

Prognozowanie x, y w układzie biegunowym Średni biegun Transformacja z układu biegunowego do Kartezjańskiego (liniowe wcięcie w przód)

Prognoza x, y metodą DWT+AC w układzie biegunowym Średni biegun xm, ym Ekstrapolacja LS xm, ym LS LPF x, y transformacja DWT BPF R(ω1), R(ω2) , … , R(ωp) xn, yn R – promień polhodii A – prędkość kątowa A(ω1), A(ω2), … , A(ωp) AC Prognoza składowych częstotliwościowych Prognoza Rn+1, An+1 Rn+1(ω1) + Rn+1(ω2) + … + Rn+1(ωp) liniowe wcięcie w przód An+1(ω1) + An+1(ω2) + … + An+1(ωp) Prognoza xn+1, yn+1

Średni biegun, promień polhodii i prędkość kątowa 2007

Średnie błędy prognozy x, y (EOPPCC)

Prognoza metodą autoregresji wielowymiarowej - macierze autoregresji, - rząd autoregresji: - macierz kowariancji residuów.

Prognoza zmian długości doby Δ-ΔR metodami LS+AR i LS+MAR model LS Δ-ΔR residua ε(Δ-ΔR) residua εAAMχ3 Model LS AAMχ3 & Δ-ΔR AAMχ3 LS AR MAR Ekstrapolacja LS Δ-ΔR Prognoza Δ-ΔR Prognoza AR ε(Δ-ΔR) Prognoza MAR ε(Δ-ΔR)

Porównanie błędów prognoz danych Δ i UT1-UTC wyznaczonych metodami LS, LS+AR i LS+MAR (T. Niedzielski)

Wnioski Dokładność prognozy danych EOP zależy od momentów czasu, w którym rozpoczynamy prognozowanie ze względu na występujące zmiany nieregularne, zmienne w czasie amplitudy i fazy energetycznych oscylacji oraz szerokopasmowy charakter tych oscylacji. Kombinacja metod LS+AR dostarcza prognoz współrzędnych x, y bieguna ziemskiego z najwyższą dokładnością. Zwiększenie liczby harmonik w modelu LS nie poprawia dokładności prognozy danych x, y (bardziej dokładna aproksymacja nie gwarantuje bardziej dokładnej prognozy). Średnie błędy prognoz danych x, y dla prognozy o określonej długości zależą od wyznaczonego rzędu autoregresji. Prognozowanie współrzędnych x, y bieguna ziemskiego może być zrealizowane w układzie biegunowym z dokładnością porównywalną do innych metod. Prognozowanie danych EOP w różnych zakresach częstotliwości może być zrealizowane poprzez zastosowanie dekompozycji sygnału za pomocą filtru środkowo-przepustowego transformaty falkowej. Prognoza danych EOP jest sumą prognoz składowych częstotliwościowych. Prognoza danych UT1-UTC i LOD może zostać poprawiona poprzez zastosowanie kombinacji LS+MAR, która bierze pod uwagę składową osiową momentu pędu atmosfery.

Comparison the Kalman filter and LS+AR prediction errors of x, y data

Comparison of LS+AR and LS+MAR prediction errors of UT1-UTC data in 1990-2007

CD+FTLPF In the combination of complex demodulation and FT low pass filter determination of the instantaneous phases in real-valued time series can be made in the following steps: 1) Multiplication of the signal by complex-valued harmonic with the frequency 2) Filtration of the transformed signal using the FTLPF for complex-valued series: where is the parabolic transmittance function with window half-width . 3) Computation of instantaneous phases: