INSTRUMENTY DŁUŻNE

Cena brudna obligacji Obligacje są notowane na giełdzie. Cena giełdowa (rynkowa) podawana jest procentowo w stosunku do wartości nominalnej, nie uwzględnia narosłych odsetek Cena czysta obligacji to cena giełdowa Cena brudna obligacji jest sumą ceny giełdowej i naliczonych odsetek Cena brudna pomnożona przez wartość nominalną jest ceną zakupu obligacji Odsetki I nalicza się także procentowo w stosunku do wartości nominalnej - wg wzoru:

Cena czysta, cena brudna Przykład Obligacja kuponowa o nominale 1000 zł, rocznych kuponach, oprocentowaniu w wysokości 6%, na kwartał przed kolejnym kuponem ma cenę giełdową 98,20 %. Jaka jest cena brudna tej obligacji ? Po jakiej cenie można nabyć tę obligację ? Narosłe odsetki: (270/360)*6% = 4,5 % Cena brudna: 98,20 % + 4,5 %= 102,70 % Cena zakupu 102,70 % * 1000 zł =1027 zł

Zakup obligacji na giełdzie, między wypłatami kuponów (n kuponów do wykupu) cena zakupu obligacji (P) = = cena brudna * wartość nominalna obligacji Dzieląc przez M równanie definiujące stopę YTM w tym przypadku otrzymujemy gdzie lewa strona oznacza cenę brudną obligacji, zaś prawa jest sumą zaktualizowanych stopą YTM przyszłych przepływów w ujęciu procentowym (C/M oznacza oprocentowanie obligacji)

Stopa rentowności obligacji a jej cena brudna (inne sformułowanie) Stopa rentowności obligacji – zanualizowana (obliczona w stosunku rocznym) stopa procentowa, taka że obliczona za jej pomocą wartość bieżąca przyszłych przepływów z obligacji w ujęciu procentowym jest równa cenie brudnej

Ryzyko inwestycji w obligacje Ryzyko reinwestycyjne – możliwość uzyskania niskiej stopy zwrotu z wypłaconych odsetek Ryzyko ceny – występuje w przypadku handlu obligacjami na rynku wtórnym (ceny podlegają fluktuacjom związanym z popytem, podażą i przewidywaniami co do bazowej stopy procentowej a także wahaniom przypadkowym)

Ryzyko inwestycji w obligacje Ryzyko kredytowe – związane z emitentem, ryzyko niedotrzymania warunków umowy (tj. niezapłacenia odsetek bądź niewykupienia obligacji) Ryzyko stopy procentowej – możliwość zrealizowania stopy dochodu z inwestycji różniącej się od oczekiwanej np. w wyniku zmiany obowiązujących stóp procentowych (dotyczy obligacji o zmiennym oprocentowaniu lub obligacji o stałym oprocentowaniu przy sprzedaży na rynku wtórnym)

Rating krajów europejskich wykonany przez S&P, czerwiec 2011 (ciemnonieb.-AAA, jasnonieb. BBB, pom.- BB, czerw. B, róż- CCC, szary – brak oceny)

Ryzyko inwestycji w obligacje Ryzyko płynności (jeśli planowana jest wcześniejsza odsprzedaż na rynku wtórnym) Ryzyko inflacji (przy obligacjach długoterminowych o stałym oprocentowaniu)

Średni ważony czas trwania inwestycji C1, C2, Średni ważony czas trwania inwestycji C1, C2,..,Cn,- wpływy w chwilach 1,2,..,n (1) Rozważmy dwie 10-letnie obligacje o rocznych wypłatach kuponu i wartości nominalnej 100 zł. Oprocentowanie pierwszej wynosi 6%, drugiej 8%. Obliczymy średnie ważone czasy trwania tych obligacji

Duracja (średni czas trwania) obligacji przynoszącej regularne wpływy Ct po roku, dwóch,..,n latach. Założenie: do wygaśnięcia pozostało n pełnych lat YTM - stopa do wykupu. Kapitalizacja roczna duracja (duration) D zdefiniowana jest wzorem lub inaczej gdzie P jest wyceną obligacji, dokonaną przy użyciu stopy YTM (2)

(3) Duracja jest liczbą okresów bazowych (niekoniecznie całkowitą) Duracja (średni czas trwania) inwestycji przynoszącej regularne wpływy Ct w chwilach 1,2,…,n. Duracja jest liczbą okresów bazowych (niekoniecznie całkowitą) (3) lub krócej

Duracja inwestycji przynoszącej regularne wpływy Ct w chwilach 1,2,…,n.

Duracja - uwagi Bezpośrednio z analizy wzorów wynikają następujące wnioski: Gdy stopa procentowa użyta do dyskontowania jest równa zeru, to duracja jest równa średniemu ważonemu czasowi trwania Jeżeli następuje tylko jeden wpływ w chwili t, to duracja rozważanego instrumentu wynosi t. Duracja jako funkcja YTM (IRR) jest funkcją malejącą

Duracja obligacji przy niepełnym pierwszym okresie odsetkowym Zakładamy, że obligacja przyniesie n wypłat, pierwszy okres odsetkowy jest niepełny i wynosi a

Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej Suma w mianowniku wzoru definiującego durację jest wyceną przepływów przy stopie YTM. Rozważmy taką sumę ze stopą procentową r.

Obliczmy pochodną funkcji P względem r Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z użyciem duracji Obliczmy pochodną funkcji P względem r

Wrażliwość wyceny przepływów finansowych Ostatni wzór wyraża wrażliwość wyceny na zmianę stopy procentowej Lewa strona oznacza względną zmianę wyceny (ceny) Jej bezwzględna wartość jest proporcjonalna do duracji Iloraz D/(1+r) nazywany jest zmodyfikowaną duracją Przy wzroście r o jeden punkt procentowy względna procentowa zmiana ceny jest w przybliżeniu równa minus zmodyfikowana duracja Przy spadku r o jeden punkt procentowy względna zmiana ceny jest w przybliżeniu równa zmodyfikowanej duracji

Wrażliwość wyceny obligacji Ryzyko stopy procentowej Oznaczmy zmodyfikowaną durację przez DM: Bezwzględna wartość względnej zmiany ceny obligacji jest proporcjonalna do zmodyfikowanej duracji. Zmodyfikowana duracja jest nazywana współczynnikiem zmienności wartości bieżącej przepływów

Duracja nieskończonego ciągu przepływów ( r > 0)

Duracja nieskończonego ciągu jednakowych przepływów

Współczynnik P’/P dla nieskończonego ciągu przepływów

Wypukłość obligacji podejście propedeutyczne (Wzrost stopy dochodu (YTM) powoduje spadek wartości (ceny) obligacji, zaś spadek YTM powoduje wzrost jej wartości.) Wzrost wartości obligacji wywołany spadkiem YTM o 1 punkt procentowy jest większy niż spadek jej wartości wywołany wzrostem YTM o 1 punkt procentowy

Zależność ceny obligacji od rentowności (oś X)

Cena obligacji a rentowność (wykres 1) Zmiana ceny przy zmianie rentowności o 1 punkt procentowy (wykres 2)

Współczynnik wypukłości C

Wzór Taylora dla dwóch składników

Wypukłość nieskończonego ciągu przepływów

Wypukłość nieskończonego ciągu jednakowych przepływów Ct=C, t=1,2,…

Przybliżona wartość wyceny aktywa z użyciem duracji i wypukłości Pp

Wrażliwość wyceny (wartości bieżącej przyszłych przepływów) na zmianę stopy procentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości Z ostatniego wzoru wynika że jeżeli r wzrośnie o 1 punkt procentowy, to względna procentowa zmiana ceny wyniesie: Jeżeli zaś r spadnie o 1 punkt procentowy to względna procentowa zmiana ceny wyniesie

Wrażliwość wyceny na zmianę stopy rocentowej z uwzględnieniem duracji i wypukłości Analogicznie można stwierdzić że, jeżeli r wzrośnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny maleje o ( p DM – C p2 / 200 ) % Jeżeli r spadnie o p punktów procentowych, to względna zmiana ceny wzrośnie o ( p DM + Cp2 / 200 ) %

Duracja ciągu przepływów przy kapitalizacji ciągłej

Duracja jako funkcja zmiennej delta

Duracja jako funkcja zmiennej delta () - kapitalizacja ciągła Wniosek 1. Przy kapitalizacji ciągłej duracja jest malejącą funkcją zmiennej . Wniosek 2. Duracja (przy kapitalizacji rocznej) jest malejącą funkcją zmiennej r (złożenie funkcji rosnącej i malejącej jest funkcją malejącą)

Efektywna duracja Jeśli wycena instrumentu (ciągu przepływów nie jest możliwa) ze względu np.. na zależność wielkości przepływów od zmiennej stopy procentowej lub brak możliwości ustalenia chwili przepływów (opcja przedterminowego wykupu), wówczas obliczamy tzw. efektywną durację według wzoru

Efektywna wypukłość W podobnej sytuacji definiujemy efektywną wypukłość jako Jest to przybliżenie wypukłości definiowanej jako C=P’’/P