Astronomia pozagalaktyczna Wykład 7 Wstęp do kosmologii

Kosmologia Kosmologia zajmuje się Wszechświatem jako całością. Próbuje odpowiedzieć m.in. na następujące pytania: Jaki jest skład i struktura Wszechświata ? Jak powstał ? Jaki będzie jego ostateczny los ? Kiedyś kosmologia była domeną filozofii. Obecnie zbliżyła się do astrofizyki. Jest to związane z: odkryciem ucieczki galaktyk, odkryciem mikrofalowego promieniowania tła, poznaniem przestrzennego rozkładu galaktyk, poznaniem składu chemicznego Wszechświata. Podczas interpretacji obserwowanych faktów zakładamy, że Ziemia nie zajmuje wyróżnionego miejsca we Wszechświecie (zasada kopernikańska).

Skład Wszechświata: materia Materia barionowa (protony, neutrony) stanowi ogromną większość masy widzialnej materii. Występuje ona najczęściej w postaci jąder wodoru (protonów, ~75% masy) oraz jąder helu (~25% masy). Tę wzajemną zależność obfitości H/He musi wyjaśnić model kosmologiczny. MH / MHe ≈ 4 NH / NHe ≈ 12 Obecnie wierzymy, że dominującą formą materii we Wszechświecie jest ciemna materia. Może ona częściowo występować w postaci barionowej ciemnej materii, ale najprawdopodobniej jest to niebarionowa ciemna materia.

Skład Wszechświata: promieniowanie EM Wszechświat wypełnia promieniowanie elektromagnetyczne. Wnioskujemy o tym z tego, iż obiekty na odległościach kosmologicznych widzimy we wszystkich kierunkach oraz przyjmując zasadę kosmologiczną. Promieniowanie EM obserwujemy obecnie w całym zakresie λ. Jego obecny rozkład też musi być tłumaczony przez model kosmologiczny i teorię ewolucji (gwiazd, galaktyk). Promieniowanie tła w zakresie mikrofalowym nosi nazwę kosmicznego mikrofalowego promieniowania tła (CMBR) i w sensie całkowitej energii, którą niesie, jest dominującą formą promieniowania we Wszechświecie.

Jednorodność Wszechświata Wszechświat nie jest jednorodny lokalnie. Jeśli jednak rozważymy dostatecznie dużą skalę, odstępstwa od jednorodności nie są duże. Założenia jednorodności w skali kosmologicznej nie podważają żadne współczesne obserwacje.

Jednorodność Wszechświata: kwazary

Ekspansja Wszechświata Slipher, 1915, Popular Astronomy 23,21 4:15 Slipher, 1917, Proc. Amer. Phil. Soc. 56, 403 4:25 Vesto M. Slipher (1875 – 1969)

Ekspansja Wszechświata Slipher (1917) Było to 8 lat przed rozdzieleniem M31 na gwiazdy przez Hubble’a i stwierdzeniem, że jest to obiekt pozagalaktyczny.

Ekspansja Wszechświata Lundmark, 1924, MNRAS 84,747

Ekspansja Wszechświata Prawo Hubble’a vr = H0d Hubble, 1929, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 15, 168

Prawo Hubble’a

Przesunięcie ku czerwieni, z vr/c = Δλ/λ (prawo Dopplera), gdzie: Δλ = λobs - λem Przesunięcie ku czerwieni (redshift) definiujemy jako: z ≡ (λobs – λem)/λem = Δλ/λem = Δλ/λ Jeśli zastosujemy tu prawo Dopplera, to otrzymamy liniowy związek między z a vr : z = Δλ/λ = vr/c, a korzystając z prawa Hubble’a, między z a odległością d: z = (H0/c) d Zależności te są prawdziwe tylko dla małych z (z ≲ 0.2). Dla większych z (przypadek relatywistyczny) zależność ta jest następująca:

Przesunięcie ku czerwieni, z Po przekształceniu dostaniemy: co dla z ≪ 1 daje:

Ucieczka galaktyk Obserwowane przesunięcia ku czerwieni wskazują, że wszystkie odległe galaktyki oddalają się od nas mimo, że formuła Dopplera nie daje poprawnej prędkości tej ucieczki. Nie dowodzi to, że Ziemia leży w pobliżu centrum ekspansji, ale raczej że rozszerza się cały Wszechświat i dla każdej galaktyki mamy sytuację, że dowolna odległa galaktyka oddala się od niej. Ogólną ekspansję, opisywaną prawem Hubble’a, nazywamy strumieniem Hubble’a (Hubble flow). Galaktyki mają ruchy własne względem strumienia Hubble’a. Skoro Wszechświat jest jednorodny teraz, musiał być jednorodny w ciągu całej swej historii. Stała Hubble’a nie powinna zależeć od miejsca, w którym jest mierzona, zależy jednak od czasu.

Stan obecny Wszechświata: podsumowanie We Wszechświecie znajduje się materia. Około 5/6 tej materii stanowi ciemna materia, najprawdopodobniej niebarionowa. Pozostała 1/6 to materia barionowa, której głównymi składnikami są jądra wodoru i helu. We Wszechświecie znajduje się promieniowanie. Dużą jego część stanowi promieniowanie mikrofalowe tła. Wszechświat jest jednorodny w największej skali (kilkaset Mpc). Twierdzenie to jest zgodne z obserwowanym rozkładem materii i promieniowania. Zakładana jednorodność nosi nazwę zasady kosmologicznej. Wszechświat rozszerza się. Wskutek tego przesunięcia ku czerwieni odległych galaktyk są proporcjonalne do ich odległości. Dla małych z opisuje to prawo Hubble’a: z = (H0/c)•d. H0 mierzy obecne tempo kosmicznej ekspansji.

Modele Wszechświata Model kosmologiczny: matematyczny model Wszechświata. Przyjmuje zwykle postać równań, z których wynikają zależności pomiędzy obserwowanymi wielkościami. Zawiera też parametry (np. stałą Hubble’a), które trzeba wyznaczyć obserwacyjnie. Współczesne modele kosmologiczne oparte są na ogólnej teorii względności (OTW) sformułowanej przez Alberta Einsteina w roku 1916. Połączył on w niej pojęcie czasoprzestrzeni wprowadzone w szczególnej teorii względności (STW, 1905) z grawitacją: masywne ciało zmienia kształt czasoprzestrzeni w swoim otoczeniu, zmiana geometrii czasoprzestrzeni (krzywizny) ma z kolei wpływ na ruch ciał w tym obszarze. O krzywiźnie czasoprzestrzeni decyduje rozkład energii (E = mc2) i pędu (P = E/c dla promieniowania).

Geometria czasoprzestrzeni Geometrię czasoprzestrzeni określa jej metryka. Metryka określa w ogólności sposób pomiaru odległości między dwoma punktami (albo – w czasoprzestrzeni – zdarzeniami). Dla trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej metryka jest równa: (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 W czasoprzestrzeni (płaskiej) przyjmuje postać: (ds)2 = (dx)2 + (dy)2 + (dz)2 – c2(dt)2

Równania pola Einsteina Zgodnie z OTW rozkład energii i pędu określa geometryczne własności czasoprzestrzeni, w szczególności jej krzywiznę. Zależności te określa 16 sprzężonych hiperboliczno-eliptycznych nieliniowych cząstkowych równań różniczkowych nazywanych równaniami pola Einsteina. W postaci tensorowej zapisuje się je jako jedno równanie: Gμν = 8πG Tμν, gdzie: Tμν jest tzw. tensorem energii-pędu (określa rozkład energii i masy), a Gμν = Rμν + gμνR/2 jest tensorem krzywizny Einsteina (określa geometrię czasoprzestrzeni). W powyższym wyrażeniu Rμν nazywany jest tensorem Ricci’ego, gμν – tensorem metrycznym, a R – skalarną krzywizną albo skalarem Ricci’ego.

BH rotujące, bez ładunku – BH Kerra Czarne dziury W rok po sformułowaniu równania pola Einsteina, Karl Schwarzschild znalazł rozwiązanie tych równań dla masy punktowej i sferycznie symetrycznej metryki. Rozwiązanie to odpowiada czarnej dziurze Schwarzschilda (nierotującej, bez ładunku). Czarne dziury (BH) o bardziej skomplikowanych własnościach mają też bardziej skomplikowane metryki. BH rotujące, bez ładunku – BH Kerra Kerr (1963, Phys. Rev. Letters 11,237) BH z ładunkiem, nierotujące – BH Reissnera-Nordströma. BH z ładunkiem, rotujące – BH Kerra-Newmana.

Relatywistyczne modele kosmologiczne: model Einsteina Aby utrzymać statyczny model Wszechświata (w 1916 roku nie wiedziano jeszcze o tym, że Wszechświat się rozszerza), Einstein wprowadził do swoich równań dodatkowy człon: Gμν + Λgμν = 8πG Tμν, gdzie Λ jest tzw. stałą kosmologiczną. Einstein skonstruował pierwszy model kosmologiczny, statycznego jednorodnego Wszechświata. To ograniczenie prowadziło do wyrażenia Λ = 4πGρ/c2, gdzie ρ jest średnią gęstością Wszechświata. Wszechświat w modelu Einsteina jest statyczny i skończony. Jego objętość jest proporcjonalna do Λ-3/2. Przestrzeń w tym modelu jest też nieograniczona. Krzywizna tej czasoprzestrzeni jest dodatnia, a długość zamkniętej drogi jest proporcjonalna do Λ-1/2.

Krzywizna przestrzeni Parametr krzywizny przestrzeni, k, określa wielkoskalowe własności geometryczne modelu kosmologicznego. k = -1 (ujemna krzywizna), k = 0 (zerowa krzywizna), k = +1 (dodatnia krzywizna). Przestrzeń we Wszechświecie z k = +1 jest skończona, z k = 0 lub -1 ― nieskończona.

Relatywistyczne modele kosmologiczne: model de Sittera W rok po modelu Einsteina, Willem de Sitter opublikował nowy model kosmologiczny. Założył jednorodny i izotropowy Wszechświat z Λ > 0, ale bez założenia statyczności. Założył za to, że efekt materii jest zaniedbywalny (P = 0, ρ = 0). W modelu de Sittera, geometryczne własności przestrzeni określone są jedynie przez Λ. Jeśli Λ > 0, to Wszechświat będzie ekspandował w nieskończoność. Istotne jest to, że rozszerza się przestrzeń ! Materia, jeśli jest jej niewiele, jest przez tę ekspansję unoszona.

Sens fizyczny przesunięcia ku czerwieni Z tego powodu, przesunięcia ku czerwieni nie powinno się tłumaczyć efektem Dopplera. Jest ono bowiem konsekwencją rozszerzenia się Wszechświata między momentem, kiedy światło zostało wyemitowane, a momentem, kiedy zostało zarejestrowane. Oznacza to również, że obserwowalny Wszechświat nie musi (i raczej nie obejmuje) całego Wszechświata -> horyzont. Ponadto (prawdopodobnie) istnieją galaktyki, które poruszają się względem nas z prędkościami większymi od prędkości światła. Do opisu takiego Wszechświata wygodnie jest wprowadzić współporuszające się (co-moving) współrzędne, w których obiekty (pomijając ruchy własne) nie poruszają się względem siebie (strumień Hubble’a). R(t) nazywany jest czynnikiem skali: s = R(t) r Dla ekspandującej płaskiej przestrzeni z zerową krzywizną, fizyczną odległość mierzymy jako: (ds)2 = R2(t)[(dx)2 + (dy)2 + (dz)2]

Model de Sittera – c.d. Model de Sittera był pierwszym modelem opisującym ekspandujący Wszechświat. W modelu tym R(t) rośnie eksponencjalnie: R(t) ∝ eHt, gdzie H = (Λc2/3)1/2. De Sitter zdawał sobie sprawę z tego, że jeśli rozszerzająca się przestrzeń unosi materię, to będzie to dawać przesunięcia ku czerwieni w widmach odległych obiektów. Nie podkreślił tego jednak dostatecznie w swoich pracach, nie uważa się go więc za kogoś, kto przewidział ekspansję Wszechświata. Hubble (1929)

Następne modele: Friedmanna-Robertsona-Walkera 1922-1924: Aleksander Friedmann: kosmologiczne modele Einsteina i de Sittera są specjalnymi przypadkami znacznie szerszej klasy modeli spójnych z równaniami OTW i zasadą kosmologiczną. Howard P. Robertson i Arthur G. Walker (późne lata 30-te) niezależnie znaleźli lepsze sposoby opisu tych modeli i udowodnili ich ogólność. Wspomniana klasa modeli kosmologicznych nosi nazwę modeli Friedmanna-(Lamaître’a)-Roberstona-Walkera (modeli FLRW). Opisuje ją następująca metryka Robertsona-Walkera:

Następne modele: Friedmanna-Robertsona-Walkera Metryka RW we współrzędnych sferycznych ma następującą postać: Metryka FLRW odnosi się do wszystkich modeli FLRW. Modele te są parametryzowane wartościami k i Λ. Dla jednorodnego Wszechświata o gęstości ρ i zerowym ciśnieniu (P = 0), zależność R(t) można wyznaczyć z równania Friedmanna:

Wyprowadzenie równania Friedmanna Poprawne równanie Friedmanna można wyprowadzić w ramach newtonowskiej teorii grawitacji. Wyobraźmy sobie jednorodny, izotropowy Wszechświat o gęstości ρ(t). Chcemy zbadać ruch masy m znajdującej się od nas w odległości r, wybierając obserwatora za środek układu współrzędnych (wybór ten jest dowolny). Przyspieszenie, jakiemu będzie poddawana ta masa będzie równe: gdzie M(r(t)) = 4πρ(t)r3(t)/3 jest masą zawartą w sferze o promieniu r(t). r(t) zmienia się z czasem, ale M(r(t)) nie! Zatem: Energia potencjalna cząstki próbnej jest równa: natomiast kinetyczna:

Wyprowadzenie równania Friedmanna (2) Całkowita energia będzie równa: Wprowadzając współporuszające się współrzędne, r = R(t)x, dostajemy: korzystamy z tego, że Stąd mamy: Dzieląc przez R2 dostaniemy: co po podstawieniu

Wyprowadzenie równania Friedmanna (3) daje nam równanie Friedmanna bez stałej kosmologicznej: Równanie Friedmanna jest równaniem na czynnik skali R(t), określa zatem ewolucyjną historię Wszechświata. Nie należy tłumaczyć sensu fizycznego stałej k na podstawie podstawienia pokazanego przy powyższym wyprowadzeniu. W relatywistycznym modelu kosmologicznym jest to stała określająca krzywiznę przestrzeni.

Jednorodne, izotropowe, bezciśnieniowe (P = 0) wszechświaty Λ < 0 Modele FLRW: R(t) Jednorodne, izotropowe, bezciśnieniowe (P = 0) wszechświaty Λ < 0 Λ = 0 ΛE > Λ > 0 Λ = ΛE Λ > ΛE k = +1 k = 0 ΛE = 4πGρ/c2 k = -1

Modele FLRW: własności Dla wszystkich modeli z Λ < 0 ekspansja Wszechświata zostaje zahamowana (nawet dla nieskończonego W-ta z k = 0 lub -1). Dla modeli z Λ = 0 (do niedawna uważanych za najbardziej realne) mamy trzy różne przypadki: k = +1: Wielki Wybuch – ekspansja – wyhamowanie – kontrakcja – Wielka Zapaść (Big Crunch) (model zamknięty). k = -1: Wielki Wybuch – wieczna ekspansja, R(t) asymptotycznie zbliża się do R ∝ t (model otwarty). k = 0: Wielki Wybuch – ekspansja, R(t) ∝ t2/3 (model krytyczny, Einsteina-de Sittera) Modele z Λ > 0 prezentują większe bogactwo zachowań: k = +1: model z Λ < ΛE może zaczynać się od prawie statycznego W-ta, który dopiero po pewnym czasie zaczyna wyraźnie ekspandować (Eddingtona-Lamaître’a). Możliwy też jest model z WW i pseudostatycznym fragmentem dla Λ > ΛE (Lamaître’a). k = 0,-1: Wielki Wybuch – przyspieszająca ekspansja

Własności modeli z Λ = 0 Dla k = 0 mamy: Gdzie „po drodze” skorzystaliśmy z zalezności ρ = ρ0/R3, wynikającej z tego, że iloczyn R3ρ = const. Dostajemy równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych: Po scałkowaniu, przy założeniu, że R(0) = 0, Ostatecznie: Gdzie tH = 1/H0 jest tzw. czasem Hubble’a.

Parametry modeli kosmologicznych Model kosmologiczny jest określony przez: równania -> określają ogólne zależności między obserwowanymi wielkościami, parametry -> muszą być wyznaczone z obserwacji jeśli model ma dać ilościowe przewidywania. Wyznaczanie parametrów kosmologicznych jest domeną kosmologii obserwacyjnej Najważniejsze parametry to: H0 – stała Hubble’a ρ0 – aktualna średnia gęstość Wszechświata Ale... jak stała Hubble’a wiąże się z k i R(t), które występują w modelach ?

Parametry modeli kosmologicznych Kiedy światło podróżuje między dwoma obiektami (galaktykami) w ekspandującym modelu FLRW, nie zmieniają się ich współporuszające się współrzędne. Od momentu wyemitowania światła, tem, do momentu jego detekcji, tobs, czynnik skali rośnie od R(tem) do R(tobs). Rzeczywista odległość między obiektami rośnie więc o czynnik R(tobs)/R(tem). O ten sam czynnik wzrośnie więc długość wyemitowanego światła: λobs = λem R(tobs)/R(tem). Stąd mamy: z = (λobs – λem)/λem = λobs/λem – 1 = R(tobs)/R(tem) - 1. Tutaj widać wyraźnie sens z jako kosmologicznego przesunięcia ku czerwieni.

Z poprzedniej zależności mamy: Prawo Hubble’a Okazuje się, że z modeli FLRW można też wyprowadzić prawo Hubble’a i powiązać H0 z R(t): Weźmy dwie bliskie galaktyki, leżące w niewielkiej odległości d w momencie t. Czas, w którym światło podróżuje między nimi, Δt = d/c, jest niewielki. Z poprzedniej zależności mamy: z = R(t + Δt)/R(t) – 1 = [R(t) + ΔR(t)]/R(t) – 1 = ΔR(t)/R(t) Ponieważ ΔR(t) = Δt ΔR(t)/Δt = Δt dR/dt, możemy zapisać: z = Δt [dR(t)/dt]/R(t) = cΔt/c × [dR(t)/dt]/R(t) = = d/c × [dR(t)/dt]/R(t) = 1/c × [dR(t)/dt]/R(t) × d Z porównania z prawem Hubble’a: z = H0d/c widzimy, że wielkość [dR(t)/dt]/R(t) możemy zidentyfikować jako parametr Hubble’a. H(t). Czyli H0 = [dR/dt](t0)/R(t0)

Parametr spowolnienia Z zachowania R(t) w modelach FLRW widać, że tempo ekspansji jest najczęściej zmienne w czasie. Do opisu zmian tego tempa w czasie użyteczny jest tzw. parametr spowolnienia (deceleration parameter), q(t): Znak „-” w definicji oznacza, że parametr ten będzie ujemny jeśli tempo ekspansji będzie przyspieszać. Prosta proporcjonalność między d a z obowiązuje tylko dla małych z. Dla większych z obowiązuje zależność: Z zależności d vs. z wyznacza się zatem dwie wielkości: H0 i q0. Ostatnie obserwacje wskazują na to, że q0 < 0, co implikuje Λ > 0.

Gęstość krytyczna, Ωm i ΩΛ Model krytyczny (k =0, Λ =0) implikuje zależność między ρ(t) a H(t): ρcrit(t) = 3H2(t)/8πG Możemy teraz odnieść aktualną gęstość materii kosmicznej ρ0 do ρcrit(t0) i wprowadzić parametr Ωm (czasami wyróżnia się materię barionową Ωb i ciemną materię, Ωd: Ωm = ρ(t)/ρcrit(t) W podobny sposób można przedstawić wartość stałej kosmologicznej (równanie Friedmanna) i wprowadzić ΩΛ: ΩΛ= ρΛ/ρcrit(t), gdzie ρΛ = Λc2/8πG. Wielkość ρΛc2 = Λc4/8πG ma wymiar [J/m3], może więc być interpretowana jako gęstość energii, przy czym energię tę można uznać za własność samej przestrzeni. Zwykle określa się ją jako gęstość energii próżni. Ma to związek z ciemną energią w modelach kosmologicznych.

Gęstość krytyczna, Ωm i ΩΛ – c.d. Równanie Einsteina zapisuje się wtedy w następującej postaci: Wyznaczenie ΩΛ,0 i Ωm,0, czyli obecnych wartości obydwu parametrów, to jedno z ważniejszych zadań kosmologii obserwacyjnej. Można pokazać, że ΩΛ,0 + Ωm,0 = 1 dla k = 0. Jeśli ΩΛ,0 + Ωm,0 > 1, to k = +1, a jeśli ΩΛ,0 + Ωm,0 < 1, to k = -1. Można też pokazać, że prawdziwa jest zależność: Z obserwacji supernowych da się więc teoretycznie wyznaczyć te wielkości.

Gęstość krytyczna, Ωm i ΩΛ – c.d. kolaps ekspansja przyspieszanie spowalnianie Bez WW Z WW ΩΛ,0 Ωm,0

Wiek Wszechświata Można pokazać, że dla modeli z Λ = 0:

Wiek Wszechświata – c.d. Podstawiając z = 0, dostajemy wiek Wszechświata: Dla k = 0, zakładając h = 0.72, dostajemy tH = 13,66 mld lat i t0 = 9,18 mld lat.

Wiek Wszechświata – c.d. Kłopot ?

Wiek Wszechświata – c.d.

Podsumowanie Zgodnie z OTW geometryczne własności czasoprzestrzeni określone są przez rozkład w niej energii i pędu. Geometryczne własności czasoprzestrzeni zawierają jej krzywiznę. Zwykle jest ona definiowana poprzez parametr krzywizny k. Zakłada się, że rozkład energii i pędu jest we Wszechświecie jednorodny. Stan gazu opisuje ciśnienie P i gęstość ρ, zmienne w czasie. Stosując OTW do kosmologii, Einstein wprowadził stałą kosmologiczną Λ. Przez długi czas uważano, że Λ = 0. Najnowsze obserwacje wskazują na Λ > 0, choć sens fizyczny stałej kosmologicznej jest zupełnie inny. Prace Friedmanna, Robertsona i Walkera zaowocowały wyspecyfikowaniem klasy modeli kosmologicznych zgodnych z OTW i zasadą kosmologiczną. W zależności od k, Λ i charakteru R(t) modele te można klasyfikować jako otwarte, zamknięte, krytyczne i przyspieszające. Zachowanie R(t) w bezciśnieniowym Wszechświecie określa równanie Friedmanna.

Podsumowanie – c.d. Modele FLRW prowadzą do naturalnego wyjaśnienia przesunięć ku czerwieni w postaci rozciągnięcia fal EM podczas podróży przez ekspandujący Wszechświat. Parametr Hubble’a, H(t) mierzy tempo ekspansji modelu. Jest on równy [dR/dt]/R. W szczególności, obecna wartość tego parametru, H0, mierzy obecne tempo ekspansji Wszechświata. Parametr spowolnienia, q0, mierzy tempo zmiany tempa kosmicznej ekspansji. Parametry Ωm i ΩΛ w przystępny sposób pozwalają na ocenę gęstości materii i gęstości związanej ze stałą kosmologiczną w danym czasie. Wiek Wszechświata jest w modelu krytycznym równy 2/3H0. Dla innych modeli może stanowić inną część czasu Hubble’a, w zależności od Ωm i ΩΛ. Różne parametry kosmologiczne nie są całkiem niezależne. W szczególności q = Ωm/2 - ΩΛ.