SOC - model bloków poślizgowych Zbiór bloków, każdy o masie m ciągniony po powierzchni ze stałą prędkością. Każdy blok jest sprzężony z płaszczyzną ciągnącą i z sąsiednimi blokami sprężynami. Rozkład częstość - rozmiar zdarzeń związanych z SOC przypomina rozkład trzęsień w strefie aktywnej tektonicznie, co sugeruje, że oddziaływanie między uskokami gra zasadniczą rolę w zachowaniu takich stref.

Równania opisujące stan pojedynczego bloku to równanie równowagi statycznej: siły sprężystości i tarcia oraz równanie ruchu: drugie prawo dynamiki. Wprowadzając zmienne bezwymiarowe Równanie przybiera postać

Wykresy obrazują stany spoczynku i przemieszczenia dla modelu dwu bloków przy warunkach: m 1 = m 2 =m, F S1 / F D1 = F S2 / F D2 =   = k c /k  = F S2 / F S1

Układy dynamiczne W różnych dziedzinach fizyki od połowy XVIII w. prawa formułowane są w postaci równań różniczkowych łączących wielkości fizyczne z szybkością ich zmian. Przyroda modelowana jest poprzez równania różniczkowe liniowe tzn. suma dwu rozwiązań nadal jest rozwiązaniem. Zamiast "układ równań różniczkowych" Smale wprowadził termin "układ dynamiczny". W klasycznym determinizmie równania jednoznacznie wyrażają ewolucję układu - bez żadnych zewnętrznych zakłóceń jego zachowanie jest jednoznacznie określone dla całego czasu gdy znane są położenia i prędkości początkowe układu. Cechą równań dynamiki nieliniowej jest zdolność generowania, nawet przez proste równania, ruchu tak złożonego, że wydaje się przypadkowy - jest on nazywany chaosem deterministycznym. Jest to tzw. "efekt motyla": gdy warunki początkowe zmienią się minimalnie rozwiązania początkowo prawie identyczne dynamika chaotyczna doprowadzi do niezależnych bardzo różnych trajektorii. Predykcja staje się niemożliwa i mamy doczynienia ze zjawiskiem przypadkowym. "Trzepotanie jednego skrzydła motyla dzisiaj wytwarza drobną zmianę w stanie atmosfery. W pewnym okresie czasu, to co dzieje się z atmosferą odbiega od tego co działoby się bez tego trzepotania: tornado nie niszczy wybrzeży lub dzieje się to co nie miało nastąpić” (Steward)

definicje chaosu -nieuporządkowana bezpostaciowa materia, o której sądzono, że istniała przed uporządkowanym wszechświatem, -całkowity nieporządek, zupełny nieład, - stochastyczne zachowanie występujące w układzie deterministycznym (zachowanie przypadkowe, losowe całkowicie rządzone przez prawo). - Załamanie się możliwości przewidywania (Peitegen).

równanie oscylatora Van der Pola m jest masą, k stałą sprężystości, x wydłużeniem sprężyny,  i  reprezentują liniowe i nieliniowe tłumienie. Dla  =  =0 równanie opisuje drgania masy m wzdłuż osi x pod działaniem sprężyny o stałej sprężystości k. - amplituda ruchu, - jego częstość,  - faza.

oscylator Przyjmując zmienne bezwymiarowe:   = (k/m) 1/2 - naturalna częstość oscylatora naturalna skala długości dla danego problemu oraz: równanie przybiera postać:

Przestrzeń fazowa układu dynamicznego jest abstrakcyjną przestrzenią o ortogonalnych współrzędnych, z których każda przedstawia zmienną potrzebną do określenia stanu układu. Przestrzeń, nazywana jest przestrzenią fazową. Rozwiązanie układu ma postać: = x 0 cos t = -x 0 sin t Rozwiązanie to w przestrzeni R + xR 2 przedstawia linię śrubową, a w przestrzeni fazowej rodzinę okręgów. Zcałkowanie równania dla  = 0 daje: Dla  skończonego równanie musi być rozwiązywane numerycznie.

Równanie logistyczne wprowadzając zmienne bezwymiarowe redukuje się ilość parametrów. Równanie przybiera postać: i nie ma w nim zależności od parametrów. Rozwiązanie ma postać: gdzie = dla = 0 jest warunkiem początkowym. Rozwiązanie równania ewoluuje w czasie, zależność od czasu zanika gdy zbliża się do wartości zwanej stałą stabilną. Punkty stałe rozwiązania otrzymuje się kładąc w równaniu = 0 Rozwiązania dla różnych wartości

atraktor Matematycy patrzą na chaos i porządek jako na dwa odrębne przejawy zasadniczego determinizmu. Typowy układ może istnieć w różnorodnych stanach, niektóre są uporządkowane, niektóre chaotyczne. Stan stabilny równania jest to rozwiązanie stabilne względem małych zmian warunków początkowych. Układ stabilny strukturalnie to układ stabilny w stosunku do drobnych zmian całego układu - stabilność strukturalna jest własnością całego układu. Najważniejszą własnością układu jest jego zachowanie długookresowe - układ dynamiczny w długim okresie czasu zbliża się do atraktora. Na płaszczyźnie, dla układów typowych, jedynymi atraktorami są pojedyncze punkty i stabilne cykle graniczne. Rozwiązaniom okresowym odpowiadają w przestrzeni fazowej krzywe zamknięte, rozwiązania takie nazywamy cyklami granicznymi. Jeśli rozważa się ruch wahadła (np. zegara) gdzie energia dostarczana jest równa energii traconej, ustalony jest stan stabilny. W przestrzeni fazowej ruch ten opisany jest cyklem granicznym. Gdy wahadło wytrącone jest z pozycji stabilnej, przez uderzenie dające wychylenie lub prędkość większe niż wartości cyklu granicznego, rozpraszanie energii jest większe niż jej dostarczanie - trajektorie zbiegają się do trajektorii stabilnej. Przy wartościach wychylenia lub prędkości mniejszych od wartości cyklu granicznego energia dostarczana będzie większa niż tracona i znów trajektorie dążą do stabilnej. Trajektorie z pewnego obszaru (basenu przyciągania) są przyciągane (attracted) do trajektorii asymptotycznej (cykl graniczny).

atraktory Dla większej ilości wymiarów można spotkać strukturalnie stabilny atraktor, który nie jest ani punktem, ani okręgiem - mówimy o atraktorze dziwnym (np. atraktor Lorenza - będący atraktorem układu równań różniczkowych o zmiennych x,y,z,t opisujących dynamikę konwekcji płynu w 3-D. Trajektorie w przestrzeni fazowej tworzą dwie pętle i punkty na trajektorii po kilku cyklach na jednej pętli przeskakują do drugiej. Wymiar atraktora Atraktor He’nona jest uproszczeniem poprzedniego opisując konwekcję w 2-D. Inny model przepływu daje model 3-D Ro”slera. Jego atraktor podobny jest do wstęgi Moebiusa. Są dwa wymagania dla rozwiązań, które wykazują chaos deterministyczny: - rozwiązywane być muszą równania deterministyczne z określonymi warunkami początkowymi i/lub brzegowymi, - rozwiązania, które mają warunki początkowe nieskończenie bliskie ewoluując rozchodzą się eksponencjalnie. Dynamiczne układy nisko-wymiarowe o zachowaniu chaotycznym są znacznym uproszczeniem systemów naturalnych takich jak np. zjawiska termodynamiczne.

atraktor Układ dynamiczny może być chaotycznym gdy wymiary przestrzeni fazowej są  3. Rozwiązanie z upływem czasu dąży do podzbioru przestrzeni fazowej do zwanego atraktorem. Na atraktorze sąsiednie trajektorie są rozbieżne Podzbiór A w przestrzeni fazowej, który jest osiągalny asymptotycznie przez trajektorię x(t) układu chaotycznego gdy t  jest atraktorem dziwnym (fraktalem). W R 2 jeżeli trajektoria jest zawarta w ograniczonym obszarze D jedynymi możliwymi atraktorami są punkt krytyczny lub cykl graniczny. Jeżeli cykl graniczny jest osiągany przez rozwiązanie gdy t  to jest on stateczny i jest atraktorem. Wiele układów dynamicznych osiąga stan chaotyczny jako zachowanie długookresowe (np. po pewnej liczbie okresowych lub quasiokresowych oscylacji). Jeśli chaos związany jest z dużą liczbą stopni swobody – jest losowy (random). Gdy liczba stopni swobody jest mała jest to chaos deterministyczny – trajektorie przestrzeni fazowej dążą do atraktora o strukturze fraktalnej.

Twierdzenie Takensa Charakter atraktora można odtworzyć na podstawie czasowych zmian pojedynczych zmiennych. Badając układ dynamiczny o wielowymiarowej przestrzeni fazowej, analizuje się przestrzenie zanurzone. Ze zbioru obserwacji szeregu czasowego s(n) jakieś skalarnej wielkości tworzone są w d-wymiarowych przestrzeniach Euklidesowych wektory o składowych będących wartościami obserwacji z opóźnieniem czasowym T: Dla układów chaotycznych pozycje dwu punktów daleko od siebie na trajektorii są zupełnie nieskorelowane. Jeśli jednak punkty leżą na atraktorze istnieje między nimi korelacja. Określając wymiar atraktora w przestrzeniach zanurzonych badany jest ciąg przestrzeni o wzrastających wymiarach d. Oblicza się wymiar korelacyjny D 2 od tak zrekonstruowanego atraktora przestrzeni fazowej. Dla białego szumu lub układu lub układu o dużej liczbie stopni swobody D 2 wzrasta stale gdy wzrasta wymiar przestrzeni d. Gdy wartości wymiaru D 2 stają się niezależne od d układ wykazuje chaos deterministyczny, a atraktor jest atraktorem dziwnym o wymiarze D. Liczba punktów do obliczeń powinna być bardzo duża – kilka lub kilkadziesiąt tysięcy.