Drogi i cykle Eulera w grafach nieskierowanych Niech G = (V, E) będzie spójnym grafem nieskierowanym. Drogą Eulera w grafie nazywamy drogę prostą, która zawiera wszystkie krawędzie grafu. Cyklem Eulera w grafie nazywamy cykl prosty, który zawiera wszystkie krawędzie grafu. Graf, w którym istnieje cykl Eulera, nazywamy grafem eulerowskim. Graf, w którym istnieje droga Eulera, ale nie cykl Eulera, nazywamy grafem półeulerowskim.

Problem mostów królewieckich Mosty na Pregole Rysunek odpowiedniego grafu

Drogi i cykle Eulera Warunki istnienia Graf spójny G ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy stopień każdego z jego wierzchołków jest parzysty. (Euler, 1736) Graf spójny, który ma dokładnie dwa wierzchołki stopniu nieparzystego albo nie ma wcale takich wierzchołków, ma drogę Eulera. Graf nie eulerowski Graf półeulerowski Graf eulerowski

Drogi i cykle Eulera w grafach skierowanych Graf skierowany spójny ma cykl Eulera wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego wierzchołka grafu jego stopień wejściowy jest równy stopniowi wyjściowemu. Graf skierowany spójny ma drogę Eulera w przypadkach, gdy albo dla każdego wierżchołka jego stopień wejściowy jest równy stopniowi wyjściowemu, albo istnieją dokładnie dwa wierzchołki nie spełniające tego warunku, przy czym stopień wejściowy jednego z tych wierzchołków jest o jeden wyższy niż jego stopień wyjściowy, a równocześnie dla drugiego z tych wierzchołków stopień wejściowy jest o jeden niższy niż jego stopień wyjściowy.

Drogi i cykle Hamiltona w grafach nieskierowanych Drogą Hamiltona w grafie G nazywamy drogę elementarną, która zawiera wszystkie wierzchołki grafu. Cyklem Hamiltona nazywamy cykl elementarny, który zawiera wszystkie wierzchołki grafu.

Cykle Hamiltona w grafach pełnych Graf pełny Kn dla n ≥ 3 zawiera dokładnie ½(n-1)! cykli Hamiltona. Wszystkie możliwe cykle Hamiltona w grafie K4

Cykle Hamiltona Warunki istnienia Jeśli graf nieskierowany ma n wierzchołków, gdzie n≥3, oraz dla każdej pary wierzchołków niezależnych v, w zachodzi nierówność d(v) + d(w) ≥ n, to graf ten jest hamiltonowski. (Ore, 1960) Jeśli graf ma n wierzchołków, gdzie n≥3, oraz stopień każdego z wierzchołków jest równy co najmniej n/2, to graf ten jest hamiltonowski. (Dirac, 1952) Jeśli dla n≥3 graf ma n wierzchołków i co najmniej ½(n-1)(n--2)+2 krawędzi, to graf ten jest hamiltonowski.

Ilustracje twierdzenia Ore’a vn d(2)=4 vi d(1)=4 d(3)=4 vi-1 d(7)=4 d(4)=3 v2 d(6)=3 d(5)=4 v1 Ilustracje twierdzenia Ore’a

Cykle Hamiltona w grafach skierowanych Jeśli graf D jest silnie spójnym grafem skierowanym bez pętli, mającym n wierzchołków, gdzie n≥2, i dla dowolnej pary wierzchołków niezależnych suma ich stopni jest równa co najmniej 2n-1, to graf ten zawiera cykl Hamiltona. (Meynel, 1973) Jeśli graf skierowany o n wierzchołkach nie zawiera pętli i dla każdego wierzchołka v zachodzą nierówności d-(v)≥n/2 oraz d+(v)≥n/2, to graf ten zawiera cykl Hamiltona. (Nash-Williams, 1969)

Drzewa Lasem nazywamy dowlony graf nieskierowany, który nie zawiera cykli. Drzewem nazywamy dowlony graf nieskierowany spójny, który nie zawiera cykli.

Drzewa Niech G będzie grafem o n wierzchołkach. Wówczas następujące stwierdzenia są równoważne: Graf G jest drzewem. Graf G nie zawiera cykli i ma n-1 krawędzi. Graf G jest spójny i każda krawędź jest mostem. Dowolne dwa róźnie wierzchołki grafu G są połączone dokładnie jedną drogą. Graf G nie zawiera cykli, lecz dołączenie dowolnej nowej krawędzi do G tworzy dokładnie jeden cykl elementarny.