KALEJDOSKOP PROBABILISTYCZNY Ryszard Szekli

Niezależność: P(AB)=P(A)P(B) Gra: jeden z grających losowo wybiera jedną z liczb a<b i pokazuje ją drugiemu graczowi, który ma zgadnąć, czy jest to większa z liczb, czy też mniejsza. Jaką ma szansę zgadujący gracz na trafną odpowiedź? Czy niezależny eksperyment może pomóc w odgadywaniu? Odpowiedź brzmi : TAK Losując niezależnie wielkość o rozkładzie normalnym, Traktując wynik jakby była to liczba ukryta, Szansa prawdziwej odpowiedzi wynosi (1/2)(1-F(a))+(1/2)F(b)=(1/2)(1+F(b)-F(a))>1/2 Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

FRAKTALE Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Roztwór HyHEL-5:Lysozyme Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Błądzenie losowe 16 cząstek-symulacja Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kurs DAX Dane roczne 6-miesięcy 3-Miesiące Dzień 24.4.2002 Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Zmienne losowe X, Y, Z o identycznych rozkładach (jednostajnych) i korelacjach r(X,Y) = r(X,Z) = 7/15, łączny rozkład zupełnie inny Zakładając, że U,V są niezależne: Przy warunku U + V < 1 definiujemy: X = 1  2U + U2 Y = 2V  V2 Z = 1 + b  X  1[0,b)(X) przy b = 1/2 + 1/30 5 b Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

dla funkcji C zwanej Copula (tutaj Fi(xi) = P(Xi £ xi)) Niech X1,...,Xm będą wielkościami szkód o dystrybuantach F1,...,Fm Wtedy można napisać, iż: P(X1 £ x1,..., Xm £ xm) =C(F1(x1),...,Fm(xm)) dla funkcji C zwanej Copula (tutaj Fi(xi) = P(Xi £ xi)) Gdzie: C(x1,..., xm) = P(F1(X1) £ x1,..., Fm(Xm) £ xm) Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Copula Archimedesa: Dana jest wzorem: Gdzie tak zwanym generatorem jest  , dla której  -1 jest absolutnie monotoniczna, tzn. Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Przykład Copuli Archimedesa Gumbel-McFadden-Copula : Generator: Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

xxxxxxxxxxxxx. Zagęszczanie Rozrzedzanie Symulacja rozkładu Gumbel-McFaddena dla m=2, l = 2 Zagęszczanie Rozrzedzanie Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Hüsler-Reiss-Copula : Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Szkody po burzach i powodziach w centralnej Europie w Milionach € Lata o najwyższych szkodach obu typów burza powódź rok rok Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Oszacowanie na podstawie danych powódź Hüsler-Reiss- model Oszacowanie na podstawie danych Gęstość dwuwymiarowa burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Gumbel-McFadden-Model powódź Gumbel-McFadden-Model Oszacowanie z danych Dwuwymiarowa gestość burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

burza 124 symulowane pary w modelu Gumbela-McFaddena Dane oryginalne symulacja 125 Mio € 250 Mio € burza Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli 47. Tagung der Deutschen ASTIN-Gruppe 15.11.2002, Hamburg Uniwersytet Wrocławski Dietmar Pfeifer

P(X > x, Y > x) Strukturalna zależność Gumbel-McFadden-Model X = burza Y = powódź P(X > x, Y > x) Gumbel-McFadden-Model Przy zależności 6,6 % 3 % Przy założeniu niezależności 100 Mio € 150 Mio € 200 Mio € 50 Mio € Szanse przekroczenia ustalonej wartości x przez obie szkody Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli 47. Tagung der Deutschen ASTIN-Gruppe 15.11.2002, Hamburg Uniwersytet Wrocławski Dietmar Pfeifer

Proces rezerwy R(t)=u+ct-S(t), gdzie S(t)=X_1+...+X_N(t) Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Przykład z Matematyki Finansowej Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Reakcje na zmieniające się kursy: spekulacja (w nadziei na szybkie zyski) konserwatyzm Instrumenty finansowe: Pochodne: na przykład Futures Opcje Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

W ustalonym przedziale czasowym (amerykańska opcja) lub Prawo, by pewne ustalone dobro, po z góry ustalonej cenie, w ustalonej ilości W ustalonym przedziale czasowym (amerykańska opcja) lub W ustalonej chwili (europejska opcja) kupić (Call-Option) lub sprzedać (Put-Option). Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

St: wartość kursu w chwili t Opis symboli: T: czas wykonania X: cena wykupu St: wartość kursu w chwili t Strategie: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Cel: Wyznaczenie „właściwej” ceny opcji W chwili realizcji (t=T): Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

CT+=20 CT-=0 Przykład: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

C0 = h(S0-vTST-)=E*[v·CT] = v·p*·(ST+-X) dla Własność takiej wyceny: Możliwość tak zwanego arbitrażu. Cena (uczciwa)-nie pozwalająca na zysk bez wkładu kapitału- nie zależy jedynie od p. “Klasyczna wartość oczekiwana” nie jest dobrą wyceną Stosuje się poprawioną „wartość oczekiwaną”: C0 = h(S0-vTST-)=E*[v·CT] = v·p*·(ST+-X) dla Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Model Coxa-Rossa-Rubinsteina (n kroków): założenia: przykład: n=3 1. Stałe warunki zmiany kursu: ST+/S0=S2T++/ST+=...= 1+k+>1 ST-/S0 = S2T--/ST- =...= 1+k-<1 2. Stochastycznie niezależne zmiany kursu: SnT=(1+k+)N(1+k-)n-N S0 mit N=liczba wzrostów kursu Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Ogólny wzór przy n okresach: oraz iT=(1+i)T-1 (stopa procentowa w czasie T) Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Uproszczenie: z Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Wzór Blacka - Scholes’a : Cena opcji Call: Używając przybliżenia rozkładem normalnym: Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski

Cena opcji kupna w zależności od n Wartość graniczna: Cena opcji kupna w zależności od n C0=9.52 C0as=7.78 Prof. Dr. Dietmar Pfeifer Teilprojekt “Diskrete Finanzmathematik“ Kalejdoskop Probabilistyczny Wrocław, 17 maja 2003 Ryszard Szekli Uniwersytet Wrocławski