Trochę algebry liniowej. Geometria Obrazu Wykład 1 Trochę algebry liniowej. 1. Przekształcenia liniowe. 2. Macierze. 3. Układ współrzędnych. 4. Przekształcenia liniowe. 5. Norma i iloczyn skalarny. 6. Wyznacznik. 7. Przestrzeń afiniczna. 8. Przekształcenia afiniczne.

Obiekty, które można pomnożyć przez elementy pewnego ciała (zazwyczaj ciała liczb rzeczywistych), tzn. skalary, i dodawać nazywamy wektorami. Dowolny zbiór wektorów nazywamy przestrzenią liniową, jeśli jest zamknięty na operacje mnożenia przez skalary i dodawanie, zawiera wyróżniony wektor zerowy oraz dla dowolnych wektorów x, y, z i skalarów a, b spełnione są warunki: x+(y+z) = (x+y)+z, x+y = y+x, x+0 = x, 0x = 0, a(bx) = (ab)x, 1x = x, a(x+y) = ax+by, (a+b)x =ax+bx.

Dla dowolnych wektorów x1,. , xn i skalarów a1, Dla dowolnych wektorów x1, ... , xn i skalarów a1, ... , an można określić kombinację liniową x = a1x1+ ... +anxn . Zbiór wektorów {x1, ... , xn}w danej przestrzeni nazywamy liniowo niezależnym, jeśli z równości a1x1+ ... +anxn = 0 wynika a1, ... , an = 0. W przeciwnym razie zbiór jest zależny. Liniowo niezależny zbiór wektorów taki, że każdy wektor danej przestrzeni liniowej jest kombinacją liniową elementów tego zbioru, nazywamy bazą przestrzeni. Wszystkie bazy danej przestrzeni liniowej są równoliczne a liczbę wektorów je tworzących nazywamy wymiarem przestrzeni. Wymiar przestrzeni liniowej V oznaczamy dim V.

Macierzą o m wierszach i n kolumnach nazywamy prostokątną tablicę rozmiaru mxn. Dane wpisane w macierz nazywa się jej elementami lub współczynnikami. Każdy element można jednoznacznie zidentyfikować podając jego wskaźniki lub indeksy − zwykle w kolejności: wiersza i kolumna macierzy, w której stoi. Para złożona z liczby wierszy i kolumn nazywana jest typem macierzy. Jeśli n jest liczbą kolumn macierzy A i liczbą wierszy macierzy B oraz współczynniki tych macierzy można mnożyć, to macierz C nazywamy iloczynem tych macierzy, gdy cij = aikbkj. Mnożenie macierzy jest łączne, ale zwykle nieprzemienne. Rzędem macierzy nazywamy maksymalną liczbę niezależnych liniowo wierszy lub kolumn. Macierz, której wszystkie wiersze i kolumny są liniowo niezależne nazywamy macierzą pełnego rzędu.

Macierz kwadratowa to macierz, której liczba kolumn jest równa liczbie wierszy. Macierz kwadratową pełnego rzędu nazywamy macierzą nieosobliwą. Macierz kwadratowa, której wszystkie współczynniki aii = 1 a pozostałe są zerowe nazywamy macierzą jednostkową. Oznaczamy ją przez I. Macierz transponowana to macierz, której wiersze i kolumny zostały zamienione rolami. Oznacza się ją AT. Macierz odwrotna macierzy kwadratowej A, to taka macierz A-1, że AA-1 = A-1A = I.

Jeśli zbiór E={e1, … , en} jest bazą przestrzeni liniowej V, a v dowolnym wektorem tej przestrzeni, to liczby v1, … , vn takie, że v = vkek, nazywamy współrzędnymi wektora v w bazie E. Przyporządkowanie każdemu wektorowi jego ciągu współrzędnych nazywamy układem współrzędnych, a bazę, względem której określamy układ współrzędnych nazywamy układem odniesienia. Przekształcenie : V1  V2 nazywamy przekształceniem liniowym wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych wektorów x,y  V i skalarów a, b zachodzi równość (ax+by) = a(x) + b(y). Zbiór wszystkich wektorów x  V takich, że (x) = 0  V2 nazywamy jądrem przekształcenia  i oznaczamy ker  . Zbiór wszystkich wektorów y  V2, które są wartościami  nazywamy obrazem przekształcenia  i oznaczamy im . dim ker  + dim im  = dim V1

Gdy zapiszemy wektory x  V1 i y = (x)  V2 w postaci jednowymia-rowych macierzy związanych z bazami współrzędnych X = {x1, … , xn} i Y = {y1, … , yn} odpowiednio przestrzeni V1 i V2, to każdemu przekształceniu liniowemu odpowiada macierz A taka, że y = Ax. Obrazem wektora xi przy przekształceniu  jest kombinacja liniowa wektorów z bazy Y: (xi) = aikyi . Różnowartościowe przekształcenie liniowe przestrzeni V1, którego obrazem jest cała przestrzeń V2, nazywamy izomorfizmem przestrzeni liniowych V1 i V2. Jeśli izomorfizmowi  odpowiada macierz A, to przekształceniu odwrotnemu -1 odpowiada macierz A-1.

Dowolną funkcję ||||: V  R spełniającą dla dowolnych wektorów x i y oraz liczby a warunki ||x||  0 oraz ||x|| = 0  x = 0 (dodatniość), ||ax|| = |a|||x|| (półliniowość), ||x+y||  ||x|| + ||y|| (nierówność trójkąta) nazywamy normą, a przestrzeń liniową, w której jest określona – przestrzenią unormowaną. Przekształcenie < ,  >: VxV  R nazywamy iloczynem skalarnym, jeśli dla dowolnych wektorów x, y i z oraz liczb rzeczywistych a, b spełnione są następujące warunki <x,y> = <y,x> (symetria), <x,x>  0 oraz <x,x> = 0  x = 0 (dodatnia określoność), <ax+by,z> = a<x,z> + b<y,z> (liniowość). Przestrzeń liniowa z określonym iloczynem skalarnym nazywa się przestrzenią euklidesową.

W dowolnej przestrzeni liniowej o wymiarze n, dla ustalonego układu współrzędnych związanego z bazą X = {x1, … , xn}, iloczyn skalarny można obliczać stosując wzór <x,y> = yTAx, gdzie A jest pewną symetryczną, dodatnio określoną macierzą o wymiarach nxn. Wektory x i y są prostopadłe (ortogonalne), gdy <x,y> = 0. Jeśli <x,y> = yTx (tzn. A = I), to bazę związana z układem współrzędnych nazywamy ortonormalną. Współrzędne dowolnego wektora v w bazie ortonormalnej {x1, … , xn} wynoszą <v,x1>, … , <v,xn>. Każdą bazę można zortonormalizować z pomocą algorytmu ortogonalizacji Grama-Schmidta. Dla danego zbioru wektorów v1, … , vn macierzą Grama nazywamy macierz G(v1, … , vn), w której gij = <vi,vj>.

W przestrzeni euklidesowej określamy normę ||x||2 = <x,x>1/2 W przestrzeni euklidesowej określamy normę ||x||2 = <x,x>1/2 . Długość wektora oznacza wartość tej normy. Możemy określić też miarę kąta między wektorami v1 i v2 jako , gdzie [0,].

Przekształcenie liniowe f: V  R nazywamy funkcjonałem liniowym. Wyznacznikiem stopnia n nazywamy funkcję detn określona na przestrzeni macierzy kwadratowych nxn o wartościach rzeczywistych, spełniającą następujące warunki: funkcja detn jest funkcjonałem liniowym ze względu na każdą kolumnę macierzy (przy ustalonych pozostałych), zamiana miejscami dwóch kolumn powoduje zmianę znaku wyznacznika (przy ustalonych pozostałych), wyznacznik macierzy jednostkowej wynosi 1. Powyższe warunki jednoznacznie definiują wyznacznik. Fakt. det A = det AT , det A = 0, gdy macierz jest osobliwa.

Dla danego zbioru n+1 liniowo niezależnych punktów p0, … , pn w prze-strzeni n wymiarowej definiujemy wektory v1 = p1 – p0, … , vn = pn – p0. Niech macierz G będzie macierzą Grama układu wektorów v1, … , vn. Wtedy objętość sympleksu S wyznaczanego przez punkty p0, … , pn wynosi: n(S) = (detn G)1/2/n!.

Niech h będzie hiperpłaszczyną, a g jej przekształceniem, któremu odpowiada macierz A. Dowolny wektor n  0 prostopadły do wszystkich wektorów będących elementami hiperpłaszczyzny h nazywamy jej wektorem normalnym. Rozważmy wektor n będzie postaci [(-1)n+1detA, …, (-1)n+ndet A]T, gdzie macierze A1, … , An o wymiarach (n-1)x(n-1) powstają w wyniku skreślenia kolejnych wierszy macierzy A=[x1, … , xn-1]. Wektor n nazywamy iloczynem wektorowym wektorów {x1, … , xn-1}. wyznaczających hiperpłaszczyznę. W przypadku powierzchni zadanej parametrycznie przez funkcje x(t1,t2), y(t1,t2) i z(t1,t2) wektor normalny w punkcie (x,y,z) określony jest przez iloczyn wektorowy wektorów i .

Niech P oznacza zbiór, którego elementy nazwiemy punktami, a V będzie przestrzenia liniową. Zbióe P z działaniem odejmowania punktów p-q V nazywamy przestrzenia afiniczną, gdy spełnione są następujące warunki: dla każdego p  P i v  V istnieje dokładnie jeden punkt q  P taki, że v = q – p, dla każdych trzech punktów p, q, r  P zachodzi równość trójkata (q - p) + (r - q) = r – p. Przestrzeń V nazywamy przestrzenią wektorów swobodnych przestrzeni P. Wymiar przestrzeni afinicznej jest równy wymiarowi przestrzeni wektorów swobodnych. Niech p, q, r będą punktami w przestrzeni dwuwymiarowej wzbogaconymi o trzecią współrzędną równą 1. Wtedy znak wyznacznika det3[pqr] położenie punktu r względem wektora q-p (r znajduje się po lewej stronie, gdy wyznacznik jest dodatni).

Niech p0, … , pn będą punktami n-wymiarowej przestrzeni afinicznej P takimi, że wektory v1 = p1 – p0, … , vn = pn – p0 są liniowo niezależne, to dla dowolnego punktu p  P istnieją jednoznacznie określone liczby a1, … , an takie, że p = p0 + akvk. Liczby te nazywamy współrzędnymi kartezjańskimi punktu p w układzie odniesienia określonym przez punkt p0 (początek układu) i wektory v1, …, vn (wektory wyznaczające osie układu). Układ współrzędnych, w którym każde dwa wektory jego układu odniesienia są do siebie prostopadłe nazywamy układem prostokątnym. W przeciwnym razie mówimy o układzie skośnym.

Rozważmy przestrzenie afiniczne P1 i P2 o wymiarach odpowiednio n i m Rozważmy przestrzenie afiniczne P1 i P2 o wymiarach odpowiednio n i m. Przekształcenie afiniczne jest odwzorowaniem f: P1  P2, dla którego dowolny układ punktów p1, … , pn i liczb a1, … , an takich, że a1+ … +an = 1, spełnia równanie f( akpk) = akf(pk). Korzystając ze współrzędnych kartezjańskich, dowolne przekształcenie afiniczne można zapisać w postaci f(p) = Lp + t, gdzie L jest macierzą o wymiarach mxn opisującą liniową część przekształcenia a t wektorem określającym przesuniecie. Macierze obrotu o kąt  wokół odpowiedniej osi w przestrzeni trójwymiarowej mają postać Rx, = , Ry, = , Rz, = , gdzie s = sin i c = cos .

Macierz przesunięcia o wektor t = [x,y,z]T ma postać Tt = Macierz przesunięcia o wektor t = [x,y,z]T ma postać Tt = . Macierz skalowania ma postać Sa,b,c = . Obrazem wektora [x,y,z]T jest wektor [ax,by,cz]T. Rzut prostopadły wzdłuż osi układu współrzędnych jest skalowaniem, w którym współczynniki przyjmują wartość 0 lub 1. Symetryczne odbicie punktu p względem płaszczyzny prostopadłej do wektora v zadane jest wzorem p-2v<v,p>. Macierz symetrii względem prostej o kierunku v ma postać 2vvT-I. Symetryczne odbicie względem punktu jest równoważne skalowaniu ze współczynnikami -1,-1,-1.

Dziękuję za uwagę.